1、- 352 -第 12 章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。正交小波有许多好的性质，如， ， ，此)(),(, ktkjkj )(),(, kttkjkj 0)(, ttkjkj外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如 DBN，SymN ，CoifN) 。但是，正交小波也有不足之处，即 和 都不是对称的，尽管 SymN 和 CoifN 接近于对称，但毕竟不是)(t真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。 和 的不)(t对称性来自所使用的共轭正交滤波器组
2、和 的不对称性。我们已在 7.8 节讨论了)(0zH1具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。所谓“小波变换的需要”是指在用 对 分解时需要将 和)(0zH0a)(0zH的系数作时间上的翻转，即用的是 及 ，或 ,)(1zH1)1nh，见(10.6.1)式及图 10.6.2。将图 10
3、.6.2 的正变换和图 10.6.3 的反变换结合起nh来，我们可得到如图 12.1.1 所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。注意，图中用于重建的滤波器不再是图 10.6.3 中的 和 ，而是 和 ，)(0zH1)(0zH)(1它们分别是 和 的对偶滤波器。有关“对偶” 的概念见 1.6 节，在下面的讨论中)(0zH1将涉及对偶滤波器的作用。现在我们来分析该图中各信号之间的关系及实现 PR 的条件。由第七章关于两通道滤波器组的理论，我们有- 353 -图 12.1.1 双正交滤波器组)2()(01nhan(12.1.1a) )2(),0nkhakk )2()(101nhand
4、(12.1.1b)2(,10nkhakk )()( 1010 ndhna(12.1.2)l l lh)2(2将(12.1.1)式代入(12.1.2) 式，有 )()(),)( 000 lnlkhanl(12.1.3)2,110lll (12.1.1)式是用一组向量 对 作分析，(12.1.3) 式是用Zknhnk,)()2( )(0na一组对偶向量 对 作综合。(12.1.3)式还可表为llnh,),(10 (0)(2),( 000 klkal(12.1.4),2011alnhll)(1na)(1d 2H0 (z-1) 2H1 (z-1) 2 2)(0na )(1na)(1dH0(z) )(0
5、naH1(z)- 354 -显然，如果(12.1.5a)()2(),(00 knlhlk(12.1.5b),11ll则 )(2)(00na从而实现了准确重建。(12.1.5)式的含意是，在图 12.1.1 中，同一条支路上的两个滤波器或 的偶序号位移之间是正交的。但是该式没有涉及上下支路两个)(,0nh)(,1nh滤波器之间的关系。我们更关心的是这些滤波器系数的移位可否构成小波分析中的基函数。下面的两个定理清楚地回答了该问题。定理 12.1 对图 12.1.1 所示的两通道滤波器组，对任意的输入信号 ，其准确重)(0na建的充要条件是：(12.1.6a)()( 1*10*0 HH及 (12.1
6、.6b)2)1*0*证明：仿照(7.1.5)式的导出，有 )()()(21)( 010100 zAHzzHzA(12.1.7)011010式中 、 分别是 和 的 变换， 是混迭分量。因此，为消除混)(0z0)(0na0z)(0z迭失真，应有(12.1.8a)()(11010 zHzH为保证系统的准确重建，应有(12.1.8b)kczzz 2)()(11010式中 和 均为常数。令 ， ，(12.1.8)式对应的频率表示是：ckck0)()( 1*10*0 HH- 355 -2)()(1*0* HH于是定理得证。对比图 7.1.1 的两通道滤波器组，其对应的 PR 条件是（见 (7.1.5)式
7、）：(12.1.9a)0)()(10zGz(12.1.9b)21将(12.1.9)和(12.1.8)式相比较可以看出，在双正交滤波器组的情况下，我们分别用、 代替了 和 ，并在分析滤波器组中，用 、 分别)(0zH1)(0zG1 )(10zH)(1z代替了 和 。其实，(12.1.8)式导出的原理和(12.1.9)式是完全一样的。由(12.1.6a)式，有(12.1.10)02)()()(1010 HH可求出(12.1.11) )()(det2)(0110 式中(12.1.12)()()(det 0110 HH显然，为了保证对偶滤波器 和 是稳定的， 在 的范围内zdet应该非零。为了保证 和
8、 是 FIR 的， 应取纯延迟的形式。)(01 )(t仿照(7.2.16)式对 和 的定义，我们可给出在双正交条件下对偶滤波器和分zG析滤波器之间的关系：(12.1.13a)()(0)12(1 Helj(12.1.13b)0)12(1lj或(12.1.14a)()(10)12(1zHzl- 356 -(12.1.14b)()(10)12(1zHzl假定 ，它们对应的时域关系是0l(12.1.15a)()(011nhnhn(12.1.15b)011n注意，上述时域、频域关系均是在图 12.1.1 中的交叉方向上给出的，它正好反映了双正交滤波器组的特点。将(12.1.13)式代入(12.1.6)
9、式，我们可得到如下的关系：(12.1.16a)2)()()(000 HH或 (12.1.16b)111及(12.1.17a)0)()()(1010 HH或 (12.1.17b)0101至此，我们给出了在双正交滤波器组中的若干基本关系，即(1) 去除混迭条件：(12.1.6a) 式；(2) PR 条件 ：(12.1.6b)式；(3) 保证 PR 条件和滤波器均为 FIR 的情况下，四个滤波器在时域和频域的关系：(12.1.13)式(12.1.17) 式。回顾在共轭正交滤波器组的情况下，我们经常用到的功率互补关系，即，2)()(020H或 (12.1.18)(000显然，若 ，则(12.1.16a
10、) 式即变成(12.1.18)式，也即双正交滤波器组变成了正)(00zH交滤波器组。有了以上讨论的基础，我们可给出在小波分析中要用到的“基”的概念。- 357 -定理 12.28 如果图 12.1.1 中的四个滤波器 ， ， 和 满足准)(0zH1)(0z1H确重建条件，且它们的傅里叶变换均是有界的，则和 Zlnhl),2(),(10 Zlnhl),2(),(10是 中的双正交 Riesz 基。)(2RL证明：为证明 、 、 及 的偶序号项移位是双正交的，我们需要证明如下三个关0101系成立：(12.1.19a)(2(),0nkh(12.1.19b),1及(12.1.19c)0)2(),)2(
11、), 0110 nkhnkh由(12.1.16a)式，有 1)()()(2000 HH该式对应的时域关系是(12.1.20)(2()(00 nkhnhk 于是(12.1.19a)式得证。同理，由 (12.1.16b)式可证明(12.1.19b)式，而(12.1.17) 式对应的时域关系即是(12.1.19c)式。这样， (12.1.19)式给出了三组正交关系。若 ， ， ， 的偶序号位移能够构成 中的双正交 Riesz 基，它们还需满足0h1h)(2RL如下的条件：，有 (12.1.21),AkBk1)(12此即(10.2.11)式。式中 ， ， 是 的傅里叶变换，此处 代表 ， ，0A)0h
12、或 。由本定理所给的条件，即它们的傅里叶变换都是有界的，所以(12.1.21)式满足，因1h- 358 -此 ， ， 及 的偶序号移位构成 中的双正交 Riesz 基。于是定理得证。0h1h)(2RL我们之所以说这些序列为“双正交”基，是因为在图 12.1.21 中的滤波器组中，上下支路各自是正交的，即 和其对偶 正交， 和其对偶 正交；同时，上下支路交叉正交，00h11h即 正交于 ， 正交于 。注意，在双正交滤波器中，我们并没有强调 和0h1h0 )(0zH之间的正交关系，而这一正交关系是共轭正交滤波器组中的基本关系。由此读者可)(1zH搞清正交和双正交的区别。总之，在小波的多分辨率分析中
13、，使用正交滤波器组时，分解滤波器和重建滤波器是相同的，而在双正交小波分析中，分析滤波器是 和 ，而综合01滤波器是它们的对偶，即 和 。0H1此外，(12.1.19a)和 (12.1.19b)的双正交关系与本章开头所给出的(12.1.5)式的关系是一致的，只不过(12.1.19)式更简洁。12.2 双正交小波上一节我们讨论了双正交滤波器的基本概念、PR 条件及各滤波器时域、频域的关系。本节，我们将把双正交滤波器组的概念引入双正交小波变换，给出类似第十章的多分辨率分析。由(9.8.18)和 (9.8.19)式，信号 的离散小波变换是：)(tx(12.2.1)ZkjttxdkjWTkjkjx ,)
14、(,),(, 令 ，则 称为小波系数，也即 的 DWT。我们可由 重建,)(jkdxjdj t )(kdj。由(9.8.20)式，有tx(12.2.2)00, )()()()(jkjkkjkjkjj tttxtt 式中 是 的对偶小波。由以上两式可以看出，小波 用于信号的分析，)(,tkj,tkj ,tkj对偶小波 用于信号的综合。在正交小波的情况下， 。,tkj )()(,ttkjkj我们在第十章详细讨论了离散小波变换的多分辨率分析，引出了尺度函数 ，证明- 359 -了在 中存在正交基 和 ，给出了 、 和正交滤波器组的关)(2RL)(,tkj)(,tkj)(,tkj)(,tkj系，即二尺
15、度差分方程和(10.4.7)和(10.4.8)式的频域关系。在双正交滤波器组的情况下，分解滤波器( ， )和重建滤波器( ， )将产生两个尺度函数( ， )和两个小波函数(0H10H1， )。其中 和 对应信号的分解，而 和 对应信号的重建。它们和 ， ， 0H及 相应的时域和频域的关系是：1(12.2.3a)nntht )2()(0(12.2.3b)ntt0(12.2.4a)nntht )2()(1(12.2.4b)ntt1及(12.2.5a)(2)(0H(12.2.5b)10(12.2.6a)(2)(1(12.2.6b)1H定理 10.3 给出了在正交滤波器组情况下 和 的关系，即(10.
16、5.1)式。对应)(0)(1双正交滤波器组，这一关系变成：(12.2.7)2)()()(0*00* 此即(12.1.6a)式。由(12.1.13)式，令 ，则分解和重建滤波器之间有如下关系：l，或 (12.2.8a)()(1011zHz )()(01Hej- 360 -，或 (12.2.8b)()(1011zHz )()(01Hej同正交小波时一样，我们要求 和 都是低通的， 和 都是带通的。对tt应的，要求 和 是低通的， 和 是高通的，即)(0z)(0)(1z1(12.2.9a)00H(12.2.9b)()(011(12.2.10a)dtt(12.2.10b)0)()(tt由(12.1.1
17、6)式，有，及 (12.2.11a)2)(00H2)()(00H，及 (12.2.11b)111类似(10.4.14)式，可由(12.2.5)式导出(12.2.12a)102)()(jj(12.2.12b)10jjH类似(10.4.15)式，可由(12.2.6)式导出(12.2.13a)201)()/()(jj(12.2.13b)201/jjH由上面的讨论可知，在“双正交”的情况下，我们在第七章及第十章所讨论的滤波器组及两尺度差分方程各增加了一套“对偶” ，即 ， ； ， ； ， 和 ，01。上面各节给出了它们所应满足的时域及频域关系。下面的定理将给出双正交小波基的- 361 -存在性。定理
18、12.342,5,8 假定存在两个恒正的三角多项式 和 ，使得)(p(12.2.14a)2)2()(200 Hp(12.2.14b)()( pp并假定 、 在 内非零，则)(0H)(021 由(12.2.12)式定义的 和 属于 ，且满足双正交关系t)()(2RL(12.2.15),nt2 两个小波函数序列 和 是 中的双正交 Riesz 基，即)(,tkj)(,tkj2L(12.2.16)(, , kjttkjkj 该定理的证明见文献42。有了 中的双正交基，我们可对 作如下的分解：)(2R(tx)(),0ttxtxkjjkkj(12.2.17),0ttkjjkkj既然 ， 是 中的 Riesz 基，则必然存在常数 ， ，使得)(,tkj)(,tkj2RL0AB(12.2.18a)22, )()(txttxtxAkjkj(12.2.18b)22,2 1)(1tAtttBkjkj由上面的讨论可知，在双正交的情况下，我们并不要求 和 之间是正交的，,kj,kj也不要求 和 之间，以及其对偶函数 和 之间是正交的，仅要求,kj,kj,kj,kj和 之间以及 和 之间是正交的，也即(12.2.15)和(12.2.16) 式。正交,kj,kj ,kj,kj
