1、小波包算法在电力系统时变谐波检测中的应用目录第 1 章 绪论 .11.1 所研究课题的内容 .11.2 所研究内容的目标 .11.3 研究所实现的方式 .1第 2 章 小波变换 .22.1 小波变换定义 .22.2 连续小波变换 .32.2.1 小波基函数 .32.2.2 连续小波变换 .32.2.3 离散小波变换 .4第 3 章 小波包变换理论 .43.1 小波包基本原理 .43.1.1 小波包的定义 .43.1.2 小波包的正交性质 .53.2 小波包分解 .53.3 小波包的分解和重构 .7第 4 章 基于小波包变换的谐波分析 .84.1 小波母函数的选择方法 .84.2 基于小波包变换
2、谐波电流检测原理 .94.3 基于小波包变换电力系统谐波分析算法 .94.3 基于 Daubechies(dbN)小波谐波分析 .104.5 数字仿真算例及分析 .124.5.1 算例简介 .124.5.2 仿真建模与分析 .134.6 结论 .211第 1 章 绪论1.1 所研究课题的内容谐波检测和谐波治理是电力系统的热门研究课题。其中傅里叶变换是谐波分析的主要方法，改方法运算简洁、有效，但对被分析的信号的采样点数有一定的要求，需要对被分析信号进行同步采样或者用特定的窗函数进行加窗处理。理论上，对于稳态的周期信号，比较容易实现同步采样，FFT 能够精确反映其频谱；而实际应用中，负载大多是动态
3、的，而且由于噪声及各种暂态干扰的存在，被分析信号往往是非稳态的，不仅基波频率有可能产生偏离，使得同步采样很难实现，从而使得 FFT 方法存在“栅栏效应 ”、 “频谱泄漏”等缺点；而且，由于暂态干扰的频谱范围分布很广，使得加窗处理也变得很困难。近年来，由于小波变换（DWT）具有优越的时频局部化功能，常用来进行电能质量的暂态分析，包括暂态干扰信号的定位，暂态信号去噪等。然而基于 DWT 的谐波分析也存在信号频带划分不均匀高频频带宽、低频频带窄的特点，这样不利于准确判断出信号所含有的各次谐波情况。为克服这些缺点，本文提出一种基于小波包变换（WPT）的谐波分析算法，该算法能实现频带的均匀划分，通过选择
4、适当的采样频率和适当的小波包分解树，可以使得关心的谐波频率落在小波包频带的中间，从而最大程度地减少谐波泄漏；同时，为了减少小波包频带间的“串扰” 。小波函数的选择也很关键，在比较研究几种小波基特性的基础上,采用 Daubechies 小波（DB10 ）作为所提算法的小波函数。本文利用小波变换分解出电力系统电流中存在的变化的谐波分量。1.2 所研究内容的目标通过实验表明小波包变换能精确地从谐波信号中分离出基波，并能根据需要分离出任意谐波信号，是一种很好的电力系统谐波分析工具。1.3 研究所实现的方式 以 matlab 工具箱为依托，对采用小波包算法进行谐波检测的方法进行了系2统仿真设计。第 2
5、章 小波变换2.1 小波变换定义小波分析(wavelet analysis), 或小波转换(wavelet transform)是指用有限长或快速衰减的、称为母小波(mother wavelet)的振荡波形来表示信号。该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。小波变换的含义是：把一称为基本小波的函数 做位移 后，再在不同()tb尺度 下与待分析信号 做内积：a()xt*1,()x tbWTabxda0小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet 在 1974 年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如 1807 年法国的热
6、学工程师 J.B.J.Fourier 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace 以及 A.M.Legendre 的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon 表示定理的发现、 Hardy 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且 J.O.Stromberg 还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986 年著名数学家 Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与 S.Mallat 合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学
7、家 I.Daubechies 撰写的小波十讲（Ten Lectures on Wavelets） 对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier 变换、窗口 Fourier 变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis） ，解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜” ，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。32.2 连续小波变换2.2.1 小波基函数小波函数 为一个平方可积函数，若其傅立叶变换 满足小波函数的()
8、t()可容许条件： 2()RCd则小波函数 为一个小波基函数或小波母函数。()t小波函数 所必须具备的条件为：(1) ，即 具有快速衰减特性；2|()|Rtd()t(2) ，即 具有波动性。0将小波母函数 进行伸缩和平移就可以得到函数：()t,1(),;0abtbtdaR小波函数基，它们是由同一母函数 经伸缩和平移后得到的一组函数序t列。2.2.2 连续小波变换将任意 空间中的函数 在小波基下展开，称这种展开为函数 的2()LR()ft ()ft连续小波变换(Continue Wavelet Transform，简称 CWT)，其表达式为：*,1(,)()()f abRtbWTabftxfda
9、连续小波变换是信号时-频分析的另一种重要工具。它的时-频窗表现了小波变换的时-频局部化能力。小波变换的基函数 随尺度 的减小，其时域窗口()t的宽度也减小，而相应的频域窗口宽度增大。即它的时频窗在低频的时候自动变宽，而在高频时自动变窄，具有自动变焦作用。42.2.3 离散小波变换对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量b都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)。为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数的a,b限定在一些离散的点上取值。对尺度进行幂级数的,1()()abtbtda离
10、散化，对位移进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴，b满足Nyquist采样定理。由此得到离散小波变换为： 0*0 ,(,)()(),0,12.,jjf akbWTakbfttdjkZ第 3 章 小波包变换理论由于正交小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信
11、号能够进行更好的时频局部化分析。3.1 小波包基本原理3.1.1 小波包的定义给定正交尺度函数 和小波函数 ，其二尺度关系为：()t()t2)()(kkhttg进一步推广二尺度方程，定义下列的递推关系：52()(2)nknZkwthtg式中 ， 分别为对应的尺度函数 和小波函数 的滤波器系数。当 n=0khg()t()t时， ， 。Z 为整数集。0()wt1()t3.1.2 小波包的正交性质（1）平移正交性设函数族 为标准正交小波基的尺度函数 所产生的小波包，()nZwt 0()wt则它们也具有平移正交性，即()()nnkltkwt,lZ(2) 与 的正交关系2n1与 之间也有类似于 和 之间
12、的正交关系。设函数族 为标准2nw1()nZwt正交小波基的尺度函数 所产生的小波包，它们之间具有下面的正交0()wt关系：221()()0nntktl,;0,12.klZn3.2 小波包分解SMallet 和 YMeyer 等人从不同尺度间信息量表示方法出发，运用多分辨分析思想并结合数字滤波理论，提出了正交小波变换的一种塔式结构快速算法，称为 Mallet 算法。小波包变换为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对在多分辨率分析中没有细分的高频部分可以进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时- 频分解率。因此，小波包变
13、换具有更广泛的应用价值。例如利用小波包变换对信号进行三层小波包树分解，图形的表示如图(3-1)所示。6Tre Decomposition(0,0)(1,0) (1,1)(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)(3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7)图 3-1 三层小波包分解树小波包频带分解规律是信号经小波包分解后，每个节点对应的谐波个数为所能分析的最高谐波次数除以其所在层的节点数；对低频节点进一步分解时，其低频部分向左分解，高频部分向右分解；对高频节点进一步分解时，其低频部分向右分解，高频部分向左分解。对信号进行小波包 N 层分解，第
14、 N 丢有 2N 节点，用一对数(x,y)表示节点，第 1 个数 x 表示层数，第 2 个数 y 表示节点在本层的节点号。信号 3 层小波包分解的分解树如图 3-1 所示。基波每周期 128 点采样可以分析到 64 次谐波。最高谐波次数为 64 次的信号经 3 层小波包分解，第 3 层有 8 个节点。第 1 层分解，将信号(0 ，0)分解成低频部分(1，0) 和高频部分(1， 1)；第 2 层分解，对(1 ，0)的信号分解成低频部分(2，0)和高频部分(2，1) ，对(1，1)的信号分解成低频部分(2， 3)和高频部分 (2，2)；第 3 层分解，对(2，0) 的信号分解成低频部分(3 ，0)
15、和高频部分(3 ，1) ，对(2，1)的信号分解成低频部分(3 ，3)和高频部分(3 ，2)，对(2，2)的信号分解戒低频部分(3，5) 和高频部分(3， 4)，对(2 ，3)的信号分解成低频部分(3 ，6) 和高频部分(3，7) 。用 H 表示每次分解得到的高频部分，用 L表示每次分解得到的低频部分，分解过程中对信号频率的划分如图 3-2 所示，图 3-2 与图 3-1 相对应，用 LLL 对应(3，0)，LHL 对应(3，3)。若 H 用 1 代替，L 用 0 代替，同一层中节点对应的二进值编码的值小，其节点对应的频率低，节点对应的二进值编码的值大，其节点对应的频率高。每次分解的规律是：低
16、位为 L 的节点的信号的低频部分向左分解，高频部分向右分解；低位为 H 的节点的信号的低频部分向右分解，高频部分向左分解。第 3 层 8 个节点对应的频率由低到高的排列顺序是：(3，0)、(3，1) 、(3、3) 、(3 ，2)、(3，6)、(3，7)、(3，5)、(3，4)。若进行 4 层分解，第 4 层有 16 个节点，分别为(4，0)、(4 ，1)、7(4，2)、(4、3)、(4，4) 、(4，5)、(4，6)、(4 ，7)、(4，8)、(4，9)、(4，10)、(4、l1)、(4，l2)、(4，l3)、(4，14)、(4，15)，按照分解规律，l6 个节点对应的频率由低到高的排列顺序是
17、：(4，0)、(4，1) 、(4、 3)、(4 ，2)、(4，6)、(4，7)、(4，5)、(4，4)、(4，12) 、(4，13)、(4，l5)、(4 ， 14)、(4，10)、(4 、11)、(4，9)、(4，8)。用分解规律可以对每层节点的对应的频率进行排序。每个节点对应的谐波个数为所能分析的最高谐波次数除以其所在层的节点数，如基波每周期128 点采样，分解的第 2 层每个节点对应谐波个数为 16，分解的第 3 层每个节点对应谐波个数为 8，第 4 层每个节点对应谐波个数为 4。第 3 层每个节点对应谐波次数和频带如表 3-1 所示。信号LHL LL HH HH LL L L L L H
18、 L H H L H L H H H H H L H L L H L H图 3-2 频率的划分表 3-1 频带与谐波次数节点 频带 /Hz 谐波次数（3,7） 20002400 4048（3,6） 16002000 3240（3,5） 24002800 4856（3,4） 28003200 5664（3,3） 8001200 1624（3,2） 12001600 2432（3,1） 400800 816（3,0） 0400 083.3 小波包的分解和重构由信号 的正交小波分解的公式为：()ft81()()jjjPftftDft其中 ，()()jjkPftxt()jkjDd系数 和 的递推公式为
19、：()jkx()jd()(1)0(2()()1(j jknkj jxhxdd正交小波的重构公式为： ()(1)(1)0(2(2() ()1j j jnnknkkkj jxhxhggd设 ，则 。()nnjjGftU,()(2)njnjjlftdwtl因为 ，所以小波包系数递推公式为：2211nnnjjjftftGft,2,0(2)1, ,1()jnjnklklj jlldhd所以小波包的重构公式为： , 1,21,20(2)1(2), ,jnjnjnllklkj jk kdhdhdgg第 4 章 基于小波包变换的谐波分析4.1 小波母函数的选择方法一般来说，小波库是由许多小波包组成，不同的小波包具有不用的性质，可以用来解决不同的问题。利用小波包变换处理信号的关键技术在于小波母函数的准确选择以及选取最优小波包基。现在常用的有许多种小波，例如正交小波中有 Daubechies，Coiflet，Symlet，Meyer ；复正交小波有 BSpline 和非正交小波 Morlet、Gaussian 。在实际的电力系统谐波检测中，对于滤波器的频率
