1、1某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ，现安排甲23 35组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望阿解：记 E 甲组研发新产品成功 ，F乙组研发新产品成功由题设知 P(E) ，P( ) ，P(F) ，P( ) .23 E 13 35 F 25且事件 E 与 F，E 与 ， 与 F， 与 都相互独立F E E F(1)记 H至少有一种新产品研发成功 ，则
2、，于是H EFP( )P( )P( ) ，H E F13 25 215故所求的概率为 P(H)1P( )1 .H215 1315(2)设企业可获利润为 X(万元 )，则 X 的可能取值为 0,100,120,220.P(X0)P( ) ，EF13 25 215P(X100)P( F) ，E13 35 315P(X120)P(E ) ，F23 25 415P(X220)P(EF ) .23 35 615故所求的 X 分布列为X 0 100 120 220P 215 315 415 615数学期望为 E(X)0 100 120 220 140.215 315 415 615 300 480 1 3
3、2015 2 100152现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下游戏规则为：若小球最终落入 A 槽，得 10 张奖票；若落入 B 槽，得 5张奖票；若落入 C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过 3 次(1)求投球一次，小球落入 B 槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望解：(1)由题意可知投一次小球，落入 B 槽的概率为 2 2 .(12) (12) 12(2)落入 A 槽的概率为 2 ，落入 B 槽的概率为 ，落入 C 槽的概率为 2 .(12) 14 12 (12) 14X 的所有可能取
4、值为 0,5,10，P(X0) 3 ，(14) 164P(X5) 2 ，12 14 12 (14) 12 2132P(X10) 2 ，14 14 14 14 (14) 2164X 的分布列为X 0 5 10P 164 2132 2164E(X)0 5 10 .164 2132 2164 105163.在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至
5、 5 号中随机选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列及数学期望解：(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手” ，B 表示事件 “观众乙选中 3 号歌手” ，则 P(A) ，P(B) .C12C23 23 C24C35 35事件 A 与 B 相互独立，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A )P (A)P( )B BP( )1P(B)A .23 25 415(或 PAB C12C34C23C35 415)(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”
6、，则 P(C) ，C24C35 35X 可能的取值为 0,1,2,3，且取这些值的概率分别为 P(X0)P ( )ABC ，13 25 25 475P(X1)P(A )P( B )P( C)BC AC AB ，23 25 25 13 35 25 13 25 35 2075P(X2)P(AB )P(A C)P( BC)C B A ，23 35 25 23 25 35 13 35 35 3375P(X3)P(ABC) ，23 35 35 1875X 的分布列为：X 0 1 2 3P 475 2075 3375 1875X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .475 2075 3375 1875
7、14075 28154一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望 (注：若三个数a，b，c 满足 abc ，则称 b 为这三个数的中位数)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P .C34 C3C39 584(2)X 的所有可能值为 1,2,3，且 P(X1) ，C24C15 C34C39 1742P(X2) ，C13C14C12 C23C16 C3C39 43
8、84P(X3) ，C2C17C39 112故 X 的分布列为X 1 2 3P 1742 4384 112从而 E(X)1 2 3 .1742 4384 112 47285.已知一个口袋中装有 n 个红球(n1 且 nN *)和 2 个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖(1)当 n3 时，设三次摸球中( 每次摸球后放回)中奖的次数为 X，求 X 的分布列；(2)记三次摸球中(每次摸球后放回 )恰有两次中奖的概率为 P，当 n 取多少时，P 最大？解：(1)当 n3 时，每次摸出两个球，中奖的概率 P .32C25 35P(X0)C 3 ；03(25
9、) 8125P(X1)C 2 ；1335(25) 36125P(X2)C 2 ；23(35) 25 54125P(X3)C 3 .3(35) 27125X 的分布列为X 0 1 2 3P 8125 36125 54125 27125(2)设每次摸球中奖的概率为 p，则三次摸球( 每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(X2) C p2(1p) 3p 33p 2,0p1，23P9p 26p3p(3p 2)，知在 上 P 为增函数，在 上 P 为减函数，当(0，23) (23，1)p 时，P 取得最大值23所以 p ，C1nC12C2n 2 23即 n23n20，解得 n1 或 n2.6某市一次全
10、市高中男生身高统计调查数据显示：全市 100 000 名男生的身高服从正态分布 N(168,16)现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 160 cm 和 184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第 1 组160,164)，第 2 组164,168)，第 6 组180,184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；(2)求这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数；(3)在这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人中任意抽取 2
11、 人，将该 2 人中身高排名( 从高到低)在全市前 130 名的人数记为 X，求 X 的数学期望参考数据：若 XN(， 2)，则P( X )0.682 6，P(2X 2)0.954 4，P(3X 3)0.997 4.解：(1)由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为162 166 170 174 178 182 4168.72，5100 7100 8100 2100 2100 1100高于全市的平均值 168.(2)由频率分布直方图知，后 3 组频率为(0.02 0.020.01)40.2，人数为0.25010，即这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10.(3)P(16834X16834)0.997 4，P(X180) 0.001 3，1 0.997 420001 3100 000130.全市前 130 名的身高在 180 cm 以上，这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人随机变量 X 可取 0,1,2，于是P(X0) ，P(X1) ，C28C210 2845 C18C12C210 1645P(X2) ，C2C210 145E(X) 0 1 2 .2845 1645 145 25
