1、第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定 第 1 课时一、教学目标：探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.二、教学重难点：【重点】 菱形的概念和性质.【难点】 菱形性质的灵活应用.三、教学过程：1.新课导入：1.提问:什么是平
2、行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?设计意图 通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.提高学生发现数学、应用数学的意识和学习兴趣.2.新知构建情景交流结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】 通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】 投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.3.学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上
3、述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】 (1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】 像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.4.共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗? 【生】 菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】 分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】 教师巡视,并
4、参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线 三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?5.展示交流【教师活动】 例题讲解.(教材例 1)如图所示,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, BAD60,BD6,求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长.解析 因为菱形的邻边相等,一个内角是 60,这样就可以得到等边三角形 ABD,由 BD6 知菱形的边长也是 6.菱形
5、的对角线互相垂直,可以得到直角三角形 AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到 OB3,根据勾股定理就可以求出 OA 的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即 AC2OA,求出 AC.解:四边形 ABCD 是菱形,ABAD(菱形的四条边相等),ACBD(菱形的对角线互相垂直),OBODBD63(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形 ABD 中,BAD60,ABD 是等边三角形.ABBD6.在 RtAOB 中,由勾股定理,得:OA2OB 2AB 2,OA3,AC2OA6.知识拓展 (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定
6、方法.6.小结1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.7.作业、第 2 课时一、教学目标：1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.二、教学重难点：【重点】 探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】 明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.三、
7、教学过程：1.新课导入：人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?2.新知构建由菱形的定义判定【学生活动】 明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】 除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?菱形的判定(1)已知:在ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,
8、ACBD.求证ABCD 是菱形.证明:四边形 ABCD 是平行四边形,OAOC.ACBD,BD 所在的直线是线段 AC 的垂直平分线.BABC.ABCD 是菱形(菱形的定义).【思考】 从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定(2)问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段 AB,AD,然后分别以 B,D 为圆心,AB 长为半径画弧,得到两弧交点 C,连接 BC,CD 即可.3.小结4.练习1.下列命题正确的是 ( )A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四
9、边形是菱形答案:D2.用两个边长为 a 的等边三角形纸片拼成的四边形是 ( ) A.等腰梯形 B.正方形 C.长方形 D.菱形5.作业第 3 课时1、教学目标：1.菱形面积的特殊计算方法.2.通过三角形、平行四边形等特殊图形面积的计算,类比推导出菱形面积的计算方法.3.培养类比推导的数学思维习惯,鼓励探索尝试精神.二、教学重难点：【重点】 菱形面积计算的特殊方法.【难点】 菱形面积计算的特殊方法的总结.三、教学过程：1.新课导入：导入一:同学们已经了解了三角形、正方形、平行四边形等图形面积的计算,那么菱形的面积怎样计算呢?导入二:如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形
10、ABCD,若 AD6 cm,ABC60,则四边形 ABCD 的面积等于 . 2.新知构建菱形的面积计算问题(教材例 3)如图所示,四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形,其中对角线 BD 长 10 cm.求:3.学生活动菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.4.小结菱形是特殊的平行四边形,所以平行四边形的面积公式同样适用于菱形,即“底高”,要注意底与高必须是相互对应的.另外由于菱形的特殊性,它的面积等于其两条对角线长的乘积的一半.5.练习1.菱形的两条对角线长是 8 cm 和 10 cm,则菱形的面积是 cm 2. 答案:402.一个菱形的两条对角线长分别为 7 cm 和 8 cm,则
11、这个菱形面积为 ( )A.56 cm 2 B.28 cm2 C.14 cm 2 D.36 cm26.作业2 矩形的性质与判定 第 1 课时一、教学目标：1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别和联系.2.会初步运用矩形的概念和性质解决有关问题.二、教学重难点：【重点】 矩形的性质.【难点】 矩形的性质的灵活应用.三、教学过程：1.新课导入：回答下列问题:【问题 1】 什么叫做平行四边形?它具有哪些性质?【问题 2】 想一想,这里面展示的物体都是一些什么形状的图形?2.新知构建矩形的定义教师演示活动的平行四边形框架,学生观察并思考:(1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗?(2)在运
12、动过程中四边形不变的是什么?改变的是什么?(3)在角的大小改变过程中有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形?3.学生活动矩形的性质思路一1.观察试验,发现问题教师在平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,作为它的对角线,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.学生观察并思考:4.动手操作,完善性质问题 1请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,转一转,观察并思考以下问题:(1)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么?(2)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?结论:矩形是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.5
13、.直角三角形的性质定理1.议一议:观察右图中的矩形 ABCD,你能得出哪些结论?图中存在哪些特殊的三角形?矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,那么 BO 是 RtABC 中一条怎样的特殊线段?它与 AC 边的长度有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论?生总结结论,师板书:定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.6.小结名称特征 矩形定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形边 对边平行且相等角 四个角都是直角对角线 对角线互相平分且相等轴对称性 轴对称图形,有两条对称轴性质推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7.练习已知矩形的一条对角线长为 10 cm,两条对角线所成的
14、角为 120,则矩形的边长分别为 . 8.作业第 2 课时一、教学目标：1.经历并了解矩形判定方法的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法.2.掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用.二、教学重难点：【重点】 矩形的判定定理.【难点】 矩形的判定定理的证明及灵活应用.三、教学过程：1.新课导入：【问题 1】 投影图片展示门窗、建筑物墙砖、数学教材,观察所展示物体的形状都是什么图形?【问题 2】 一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个人的合影,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么用什么方法可以确定她
15、们拿的就是矩形的相框呢?2.新知构建矩形的判定(一)处理方式 边说明、边演示,用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗?还要满足什么条件?教具演示由平行四边形 矩形 平行四边形的过程,得出“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”.矩形的判定(二)【教师活动】 提出问题,激发学生探索的积极性,还有没有其他的判定方法呢?下面我们再来做一做这样的试验,用刚才演示的木条框,对角线用橡皮筋连接.教师逐渐演示,配合多媒体课件的呈现,引导学生得出结论.矩形的判定(三)【教师活动】 通过谈话,引导探索其他判定方法,判定方法 2 实际上是矩形的对角线性质定理的逆
16、定理,那么矩形的其他性质的逆命题,能否作为矩形的判定方法呢?引导从矩形性质的逆命题中探索.得出结论之后,引导证明结论.设置问题:想一想:矩形的四个角是直角,反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?3.学生活动积极探索多种解题方法,尝试用不同的方法解决问题,小组合作交流探索的成果,体验成功的喜悦.4.小结1.矩形的判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.5.练习1.下列说法正确的是 ( )(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形
17、;(4)有三个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩形;(6)对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形;(7)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形. A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5) C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(7)6.作业第 3 课时一、教学目标：1.矩形的性质与判定方法的应用.2.在复习的过程中,提升推理论证能力,通过复习,提高学生运用知识的能力.二、教学重难点：【重点】 矩形的有关性质与判定方法.【难点】 如何运用矩形的性质与判定来解决问题三、教学过程：1.新课导入：回答下列问题.问题 1 矩形有哪些性质?问题 2 如何判定一个平行四边形是矩形?问题 3 如何判定一个四边形是矩形?处理方式 3 个问题由学生口答完成,在学生口答时先让学生叙述出文字语言,再让学生结合图形说出如何用数学符号来表达矩形的性质及判定,教师适时点评、矫正.2.新知构建矩形性质的应用(教材例 3)如图所示,在矩形 ABCD 中,AD6,对角线 AC 与 BD 相交于 点O,AEBD,垂足为 E,ED3BE.求 AE 的长.矩形判定的应用(教材例 4)已知:如图所示,在 ABC 中,ABAC,AD 是 ABC 的一条角平分线,AN 为 ABC 的外角CAM 的平分线,CEAN,垂足为 E.求证:四边形 ADCE 是矩形.
