1、 图形的相似（一）一、教学目标1 理解并掌握两个图形相似的概念2 了解成比例线段的概念，会确定线段的比二、重点、难点1 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念2 难点：成比例线段概念3 难点的突破方法（1）对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相同的图形说成是相似图形” ，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还要强调：相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形） ；相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；两个图形相似，其中一
2、个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形（2）对于成比例线段：我们是在学生小学学过数的比，及比例的基本性质等知识的基础上来学习成比例线段的；两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数；四条线段 a,b,c,d 成比例，记作 或 a:b=c:d；若dcba四条线段满足 ，则有 ad=bc（为利于今后的学习，可适当补充：反之，若四条线段dcba满足 ad=bc，则有 ，或其它七种表达形式） 三、例题的意图本节课的三道例题都是补充的题目，例 1 是一道判断图形相似的选择题，通过讲解要使学生
3、明确：（1）相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；（3）在识别相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同” ；例 2 通过分别采用 m、cm 、mm 三种不同的长度单位，求得的 的值相ba等，使学生明确：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；例 3 是求线段的比的题，要使学生对比例尺有进一步的认识：比例尺=，而求图上距离与实际距离的比就是求两条线段的上上比 四、课堂引入1 （1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的
4、大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系 （还可以再举几个例子）（2）教材 P36 引入（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形 （强调：见前面）（4）让学生再举几个相似图形的例子（5）讲解例 12问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段 AB 和 CD，那么这两条线段的长度比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比3成比例线段：对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 （即 ad=bc） ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段dcba【注意】 （1）两条线段的比与所采用
5、的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段 a,b,c,d 成比例，记作 或dcbaa:b=c:d；（4）若四条线段满足 ，则有 ad=bcdcba五、例题讲解例 1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）分析：因为图 A 是把图拉长了，而图 D 是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B 是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图 B 与左图也不相似；而图 C 是将左图绕正五边形的中心旋转 180 后，再按一定比例缩小得到的，因此图 C 与左图相似，故此题应选 C.例 2（补充）一张桌面的长 a=1.25m，
6、宽 b=0.75m，那么长与宽的比是多少？（1）如果 a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？（2）如果 a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？解：略 （ ）35ba小结：上面分别采用 m、cm、mm 三种不同的长度单位，求得的 的值是相等的，所ba以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致例 3（补充）已知：一张地图的比例尺是 1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为 3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少 km？分析：根据比例尺= ，可求出北京到上海的实际距离上解： 略答：北京到上海的实际距离大约是1120
7、km 六、课堂练习1下列说法正确的是（ ）A小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似 .B商店新买来的一副三角板是相似的.C所有的课本都是相似的.D国旗的五角星都是相似的 .2如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1） （小）长是_cm，宽是_cm； （大）长是_cm，宽是_cm；（2） （小） ；（大） 上 上（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？（答：相似的长方形的宽与长之比相等）3在比例尺是 1:8000000 的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时 7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？4AB 两地的实际距离为 2500m，在一张平面图上的距离是 5c
8、m，那么这张平面地图的比例尺是多少？七、课后练习1观察下列图形，指出哪些是相似图形：（答：相似图形分别是：(1)和(8)；(2) 和(6)；(3)和(7) ）2练习 1、2 3练习 1 与习题 1 图形的相似（二）一、教学目标1知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等2会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算二、重点、难点1重点：相似多边形的主要特征与识别2难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算3难点的突破方法（1）判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；可以以矩形、菱
9、形为例说明：仅有对应角相等，或仅有对应边的比相等的两个多边形不一定相似（见例 1） ，也可以借助电脑直观演示，增加效果，从而纠正学生的错误认识（2）由相似多边形的特征可知，如果已知两个多边形相似，就等于知道它们的对应角相等，对应边的比相等（对应边成比例） ，在计算时要能灵活运用（3）相似比是一个很重要的概念，它实质是把一个图形放大或缩小的倍数（即相似多边形的对应边的长放大或缩小的倍数） 三、例题的意图本节课安排了 3 个例题，例 1 与例 3 都是补充的题目，其中通过例 1 的学习，要让学生了解判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可
10、；而若说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或举出合适的反例，在解决这个问题上，依靠直觉观察是不可靠的；例 2 是教材 P39 的例题，它主要考查的是相似多边形的特征，运用相似多边形的对应角相等，对应边的比相等即可求解；例 3 是相似多边形特征的灵活运用（使用方程思想）的题目，在教学中还可根据自己的学生学习的程度，适当增加一些题目用以巩固相似多边形的性质四、课堂引入1 如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形2 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等3 【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的
11、对应角相等，对应边的比相等反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比问题：相似比为 1 时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为 1 时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形五、例题讲解例 1（补充） （选择题）下列说法正确的是（ ）A所有的平行四边形都相似 B所有的矩形都相似C所有的菱形都相似 D所有的正方形都相似分析：A 中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故 A 错；B 中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故 B 错；C 中菱形虽
12、然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故 C 也错；D 中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故 D 说法正确，因此此题应选 D例 2（教材 P39 例题） 分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式解：略 例 3（补充）已知四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似，且 A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形 ABCD 的周长为 40，求四边形 ABCD 的各边的长分析：因为两个四边
13、形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题解： 四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似， AB:BC:CD:DA= A1B1:B1C1:C1D1:D1A1 A 1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14， AB:BC:CD:DA= 7:8:11 :14设 AB=7m，则 BC=8m，CD=11m，DA=14m 四边形 ABCD 的周长为 40， 7m+8m+11m+14m=40 m=1 AB=7，则 BC=8，CD=11，DA=14六、课堂练习1 练习2、32习题43 （选择题）ABC 与DEF 相似，且相似比是 ，则 DEF 与ABC 与的相似比是（ 32）
14、 A B C D2352944 （选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形A3个 B4个 C5 个 D6个5已知四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 相似，四边形 ABCD 的最长边和最短边的长分别是 10cm 和 4cm，如果四边形 A1B1C1D1 的最短边的长是 6cm，那么四边形 A1B1C1D1 中最长的边长是多少？ 七、课后练习1 教材 习题 3、5、62如图，ABEFCD ，CD=4，AB=9，若梯形 CDEF 与梯形EFAB 相似
15、，求 EF 的长3如图，一个矩形 ABCD 的长 AD= a cm，宽 AB= b cm，E、F分别是 AD、BC 的中点，连接 E、F，所得新矩形 ABFE 与原矩形ABCD 相似，求 a:b 的值 （ :1）2相似三角形的判定（一）一、教学目标1经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力2掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似） 3会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理
16、”解决简单的问题二、重点、难点1重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理2难点：三角形相似的预备定理的应用3难点的突破方法（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面） ，应注意两个相似三角形中，三边对应成比例， 每个比的前项是同一个三角形的三条边，ACB而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为 1两者在定义、记法、性质上稍 有 不 同 ， 但 两 者 在 知 识 学 习 上 有 很 多 类 似 之 处 ， 在 今 后 学
17、 习 中 要 注 意 两 者 之 间 的 对 比 和 类比；（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：如ABCA B C的相似比 ，那么AB CkCBAABC 的相似比就是 ，它们的关系是互为倒数这一点在教学中科k1结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5） “平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理” 这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题
18、中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似三、例题的意图本节课的两个例题均为补充的题目，其中例 1 是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角例 2 是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算） ，学生刚开始可能不熟练，教学中要注
19、意引导四、课堂引入1复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形在ABC 与AB C中，如果A= A, B=B, C=C , 且 kACB我们就说ABC 与AB C相似，记作ABC AB C，k 就是它们的相似比反之如果ABCAB C，则有A= A, B=B, C=C , 且 （3）问题：如果 k=1，这两个三角形有怎样的关系？2课本思考，并引导学生探索与证明3 【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似五、例题讲解例 1（补充）如图ABCDCA， ADBC ，B= DCA （1）写出对应边的比例式
20、；（2）写出所有相等的角；（3）若 AB=10,BC=12,CA=6求 AD、DC 的长分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出 AD 与 DC 的长 解：略（AD=3，DC=5）例 2（补充）如图，在ABC 中，DEBC ，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求 DE 的长 分析：由 DEBC，可得ADEABC ，再由相似三角形的性质，有 ，ACEBD又由 AD=EC 可求出 AD 的长，再根据 求出 DE 的长ABDCE解：略（ ） 310DE六、课堂练习1 （选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）A
21、两个直角三角形 B两个钝角三角形 C两个等腰三角形 D两个等边三角形 2 （选择）如图，DEBC，EFAB，则图中相似三角形一共有（ ）A1 对 B2 对 C3 对 D4 对3如图，在 ABCD 中，EFAB，DE:EA=2:3，EF=4 ，求 CD的长 （CD= 10）七、课后练习1如图，ABCAED, 其中 DEBC，写出对应边的比例式2如图，ABCAED，其中ADE= B，写出对应边的比例式3如图，DEBC，（1）如果 AD=2，DB=3，求 DE:BC 的值；（2）如果 AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求 AE 和 BC 的长相似三角形的判定（二）一、教学目标1初步掌握“三
22、组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法2经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性3能够运用三角形相似的条件解决简单的问题 二、重点、难点1 重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似2 难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似3 难点的突破方法（1）关于三角形相似的判定方法 1“三组对应边的比相等的两
23、个三角形相似” ，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解（2）判定方法 1 的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法（3）讲判定方法 1 时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边（4）判定方法 2 一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习 2 就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA 条件下三角
24、形的不确定性，来达到加深理解判定方法 2 的条件的目的的（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法 2，若不是“夹角” ，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如 的形式，也可以写成CAB的形式CAB（8）由
25、比例的基本性质， “两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供三、例题的意图本节课安排的两个例题，其中例 1 是教材 P46 的例 1，此例题是为了巩固刚刚学习过的两种三角形相似的判定方法， （1）是复习巩固“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；（2）是复习巩固“三组对应边的比相等的两个三角形相似” 的判定方法通过此例题要让学生掌握如何正确的选择三角形相似的判定方法 例 2 是补充的题目，它既运用了三角形相似的判定方法 2，又运用了相似三角形的性质，有一点综合性，由于学生刚开始接触相似三角形的题目，而本节课的内容有较多，故此例题可以选讲四、课堂引入1复习提问：(1)
26、两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？B CAAB C(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4) 如图，如果要判定ABC 与ABC 相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2 （1）提出问题：首先，由三角形全等的 SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）带领学生画图探究；（3） 【归纳】 三角形相似的判定方法 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似3 （1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法4用上面
27、同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的 SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）让学生画图，自主展开探究活动（3） 【归纳】 三角形相似的判定方法 2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似五、例题讲解例 1分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法 2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似” ，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法 1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边 解：略例 2 （补充）已知：如图，在四边形 ABCD 中，B= ACD，AB=6 ，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长217分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明计算得出，结合B=ACD，证明ABCDCA，再利用相似三角形的定义得出关于ACDBAD 的比例式 ，从而求出 AD 的长解：略（AD= ） 425六、课堂练习1教材 P472
