1、2.1.2椭圆的简单几何性质第一课时科 目： 高 二 数 学授 课 教 师：张 晶 晶指 导 教 师：韩 学 奎完成时间：2018 年 11 月 6 日教材分析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是圆锥曲线与方程的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。第二，对椭圆定义与方程的研究，
2、将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。学情分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础.2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力
3、都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，学生对椭圆的离心率的理解是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导.3.学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映.教学重、难点教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法 教学方法：讲授法、探究法教学课型、工具课型：新授课 教学工具：多媒体设备教学目标 知识与技能目标通过对椭圆标准方程的讨 论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的
4、对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念. 过程与方法目标能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；由方程的性质得到椭圆的对称性；先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；通过 的思考问题，39P探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实
5、现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，充分利用图形对称性，注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能 能力目标（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力（2） 思维
6、能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径教学过程设计教学步骤教师活动 学生活动 设计意图（一）导入一、情景导入：1.国家大剧院的半椭圆正视图；1. 2.椭圆的标准方程.在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学
7、习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.（二）椭圆的大小思考 1：如何将一个长、宽分别为 10cm，cm 的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式 1, 12ax2by即 x2a 2, y2b 2所以 |x|a， |y|b即 axa, byb这说明椭圆位于直线 xa, yb 所围成的矩形里。2.对称性点（x,y）关于 x 轴对称的点的坐标为(x,y) ；点（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为(x, y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(x,y) ；（1） 在曲线的方程里，如果以y 代 y 方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，
8、它关于 x 的轴对称点 P(x,y)也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称。（2） 如果以x 代 x 方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？曲线关于 y 轴对称。 通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.复习关于 x轴，y 轴，研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x，y 的范围就知道了.（3） 如果同时以x 代 x、以y 代 y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？ 曲线关于原点对称。 椭圆关于 x 轴，y 轴和原点都是对称的。这时，椭圆的对称轴是什么？坐标轴椭圆的对称中心是什么？原点 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3
9、.顶点在椭圆 的标准方程里，令 x=0,得 y=b。这说明了 B1(0,b),B 2(0,b)是椭圆与 y 轴的两个交点。令 y=0,得 x=a。这说明了 A1(a,0),A 2(a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点。因为 x 轴，y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的 顶点。线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长|A 1A2|=2a,|B1B2|=2b (a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)在 R t OB2F2 中，由勾股定理有 来源:Zxxk.Com|OF2|2=|B2F2|2|OB 2|2 ，即 c2a 2b 2这就是在
10、前面一节里，我们令 a2c 2b 2 的几何意义。原点 对称的点的坐标之间的关系发现在椭圆的标准方程中以y 代 y以x 代x同时以x 代 x、以y 代 y.求曲线与 x轴、y 轴的交点.观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长.归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性.归纳出：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性.研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与 x 轴，y 轴的交点坐标.（三）椭圆的形思考 2:对于椭圆 与椭圆369:21yxC更接近圆的是 ？26:2yxC4.离心率状 定
11、义：椭圆的焦距与长轴长的比 e ，叫做椭圆的离心率。ac因为 ac0,所以 0e1.来源:Zxxk.Com得出结论：(1)e 越接近 1 时，则 c 越接近 a，从而 b 越小，因此椭圆越扁；(2)e 越接近 0 时，则 c 越接近 0，从而 b 越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 ab 时，c 0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。当 e1 时，图形变成了一条线段。观察图形,说明当离心率e 变化时,椭圆形状是怎样随之变化的.为什么？留给学生课后思考.调用几何画板，演示离心率变化(分越接近 1 和越接近 0 两种情况讨论)对椭圆形状的影响三、例题 例 1 求椭圆 16x2+25
12、y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长 2a，短轴长 2b，该方程中的 a？b？c？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质解：把已知方程化为标准方程 , 这里 a5，b4，1452yx所以 c 31625因此，椭圆的长轴和短轴长分别是 2a10，2b8离心率 e ac5两个焦点分别 是 F1(3,0),F 2(3,0)，四个顶点分别是 A1(5,0) A 1(5,0) A1(0, 4) F1(0,4).根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状
13、和大小的草图：(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；(3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。例 2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于 20,离心率等于 0.6学生演板，教师点评.画图时要注意它们的对称性及顶点例 3：椭圆的一个顶点为 A(2.0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程焦点在 x 轴、y 轴上的椭圆的几何性质对比.附近的平滑性.四、小结(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;(2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.学生思考并总结.培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径五、布置作业课本习题 2.1 (A)组 第 4、 5 题
