1、第 13 章全等三角形13.1 命题、定理与证明1、命题一.教学目标： 1. 知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。知道判断一个命题是假命题的方法。2. 过程与方法： 结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。3、情感、态度与价值观： 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。二.教学要点：找出命题的条件（题设）和结论。三.教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。四.教学难点：命题概念的理五教学过程：一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于 180 度”，“等腰三角形两底角相
2、等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子 1、2、5 是正确的，句子 3、4 水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.，那么.”的形式。用“如果
3、”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题 1 中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。 有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.，那么.”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题 5 可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。”（二）实例讲解1、教师提出问题 1（例 1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.，那么.”的形式，并分别指出命题的题设和结论。学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角
4、形是等边三角形”。2、教师提出问题 2：把下列命题写成“如果.，那么.”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。（1）对顶角相等；（2）如果 a b,b c, 那么 a=c；（3 ）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。 学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。（1）条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等，这是真命题。（2）条件：如果 a b,b c；结论：那么 a=c；这是假命题。（3）条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等。这是真命题。（4）条件：如果两个三角形全等；结论：那么它们的面积相等，这是真命题。（三）假命题的证
5、明教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”。 例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60 度角是锐角，100 度角是钝角，但它们的和不是 180 度即可。三、随堂练习 课本 P55 练习第 1、2 题。四、总结1、什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？2、命题都可以写成“如果.，那么.”的形式。3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。五、布置作业 课本习题 1
6、3.1 第 1 题、第 2 题。六教学反思：2定理与证明一.教学目标：1. 知识与技能：了解命题、公理 、定理的含义；理解证明的必要性。2. 过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。3、情感、态度与价值观： 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。二.教学要点：知道什么是公理，什么是定理。三.教学重点：知道什么是公理，什么是定理。四.教学难点：理解证明的必要性。五.教学过程一、复习引入教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题。二、探究新知（一）公理教师讲解
7、：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角相等。在本书中我们将这些真命题均作为公理。（二）定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的。从而说明证明的重要性。1、教师讲解：请大家看下面的例子：当 n=1 时，（n2-5n+5)2=1;当 n=2 时，（n2-5n+5)2=1；当 n=3 时，（n2-5n+5)2=1 。我们能不能就此下这样的结论：对
8、于任意的正整数（n2-5n+5)2 的值都是 1 呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当 n=5 时，（n2-5n+5)2=25。2、教师再提出一个问题让学生回答：如果 a=b,那么 a2=b2.由此我们猜想：当 a b 时，a2 b2。这个命题是真命题吗？答案：不正确，因为 3 -5，但 3 2 （-5 ）2教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质。但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性。也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题。教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可
9、以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。(三）例题与证明 例如，有了 “三角形的内角和等于 180”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余。教师板书证明过程。教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。三、随堂练习 课本 P58 练习第 1、2 题。四、课时总结 1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理。2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理。五、布置作业 课本习题 13.1 第 3
10、题。六、教学反思：13.2 全等三角形的判定（1）一.教学目标： 1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会如何探索研究问题。培养学生合作的精神，让学生体验分类的思想；2. 使学生懂得如何提出问题，分类讨论，并为以后研究提出问题。3、情感、态度与价值观： 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。二.教学要点：培养学生探索问题能力；三.教学重点：培养学生探索问题能力；四.教学难点：掌握探索问题的方法。五.教学过程：一、复习1、请一位同学叙述上一节所学的知识。2、如图，ABCAEC， ， ，求出AEC 各内角的度数。3、你是如何来识别两个三角形全等的？从学生的回答中，提出：我们能不能找到一些较
11、为简便的方法用来识别三角形的全等呢？有没有类似于相似三角形的识别方法呢？回想一下，相似三角形有哪些识别方法？本节开始，我们就一起来研究，探讨19.2 全等三角形的识别。二、新授要画一个三角形与老师在黑板上画的三角形 ABC 全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件1、做一做（1）只给一个条件：一条边，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？一个角 ，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？（2）给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？这两个三角形一定会全等吗？分别按照下面条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等。三角形的一个
12、内角为 60，一条边为 3 cm； 三角形的两个内角分别为 30和 70； 三角形的两条边分别为 3 cm 和 5 cm你们在画图和同学比较过程中，你能得出什么结论？学生各抒己见后，教师归纳：你们一定会发现，如果只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）。2、议一议如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？（有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边）对于按以上每一种可能画得三角形是否全等，以后我们一起分别逐个探讨研究，现在我们先一起来完成以下几个练习。三、巩固练习 1、如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线的交
13、点，AOB 绕 O 旋转 180，可以与_重合，这说明AOB_.这两个三角形的对应边是 AO 与_，OB 与_，BA 与_；对应角是AOB 与_，OBA 与_, BAO 与_。2、如图，ABC 是等腰三角形，AD 是底边上的高， ABD 和ACD 全等吗？试根据等腰三角形的有关知识说明理由四、小结让学生谈收获、体会、疑惑后，教师总结：本节通过画图实践可得，对于两个三角形的三条对应边、三个对应角中，只有满足其中一个条件或两个条件相等，两个三角形不一定全等。至于满足其中的三个条件相等的情况如何呢？五、作业 16 页练习 2、3 题六、教学反思：13.2 全等三角形的判定（2）一.教学目标： 1.使
14、学生掌握 SAS 的内容，会运用 SAS 来识别两个三角形全等；2.通过识别全等三角形的识别的学习，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法；3、经历如何总结出全等三角形识别方法，体会如何探讨、实践、总结，培养学生的合作能力。二.教学要点：三角形全等的识别：SAS；三.教学重点：三角形全等的识别：SAS；四.教学难点：对全等三角形的识别的理解和运用。五.教学过程一、复习 1、什么叫全等图形？什么叫做全等三角形？（能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）。2、将全等的ABC 与DEF重合，再沿 BC 方向将DEF 推移如图位置，问线
15、段 AD 与 BE 数量关系怎样？BC 与 EF位置关系怎样？为什么？3、已知：如图， ， ， ，求 的大小。二、新授1、引入；上一节课，我们已经知道两个三角形满足三个条件的三条边对应相等和三个角对应相等的情况。情况如何呢？（三条边对应相等两个三角形；三个角对应相等的两个三角形不一定全等）如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？-这就是本节课我们要探讨的课题。2、问题 1：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？（应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角。）每一种情况下得到的三角形都全等吗？
16、3、做一做（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为 和 ，它们的夹角为 ，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴画的一定全等吗？换两条线段和一个角试试，你发现了什么？同学们各抒己见后总结：发现对于已知的两条线段和一个角，以该角为夹角，所画的三角形都是全等的。这就是判别三角形全等的另外一种简便的方法：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简写成“边角边”或简记为（S.A.S. ）你能用相似三角形的识别法来解释这种“SAS”识别三角形全等的方法吗？（一个角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为 1 时，夹这个角的两边对应相等
17、，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形）（2）如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为 和，长度为 的边所对的角为 ,情况会怎样呢?请画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？（两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。）4、范例如图，ABC 中，AB AC，AD 平分BAC ，试说明ABDACD.三、巩固练习四、小结学生谈收获、体会、疑惑后，进一步总结本节学习了三角形全等的识别的另一种SAS，而两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，注意观察图形的特征，找出是否具备满足两个三角形全等的条件。5、作业 六
18、、教学反思：13.2 全等三角形的判定（3）一.教学目标： 1. 使学生理解 ASA 的内容，能运用 ASA 全等识别法来识别三角形全等进而说明线段或角相等；2. 通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立学生知识源于实践用于实践的观念。使学生体会探索发现问题的过程3、经历自己探索出 AAS 的三角形全等识别及其应用。二.教学要点：利用三角形全等的识别法，间接说明角相等或线段相等。三.教学重点：利用三角形全等的识别法，间接说明角相等或线段相等。四.教学难点：三角形全等的识别法 ASA 和 AAS 及应用。五.教学过程：一、复习1、什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？（能够完全重合的两个
19、三角形叫做全等三角形。识别两个三角形全等的方法有：SAS）。2、叙述 SSS、SAS 的内容。3、已知：如图， ， ，请问再加上什么条件下，ABC，并说明理由。 （ ，根据 SAS）。二、新授1、引入：请问到本节为止，我们探讨两个三角形满足三个条件的哪几种情况，情况如何呢？（如果两个三角形有三条边分别对应相等或两个三角形有两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形就一定全等。如果两个三角形有三个角分别对应相等，或两个三角形的两边及其一边所对的角对应相等，那么这两个三角形不一定全等。）还有哪些情况还没有探讨呢？（如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？）本节我们探讨
20、两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形是否全等的课题。2、问题 1：如果把已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？（一种情况是两个角及两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边。）每一种情况下得到的三角形都全等吗？3、请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组。（1）共同商定画出任意一条线段 AB，与两个角 、 （ ）（2）两位同学各自在硬纸板上画线段的长等于商定的线段 AB 的长，在 的同旁，画 等于商定的 ，画等于商定的 ，设 与 相交于 ，便得 。（3）用剪刀各自剪出 ，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？同学
21、们各抒己见后，总结：对于已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。4、问题 2：试说明 ASA 全等识别法与相似三角形的识别法有什么类似的。（两个角对应相等的两个三角形相似，当这两个角的公共边相等时，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形。）5、思考：如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？动手画一画：比如 ， ， ，你能画这个三角形吗？提示：这里的条件与实验中的条件有什么相同
22、点与不同点？你能将它转化为实验中的条件吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？现在两组同学按如果 角所对的边为 画，另两组同学换两个角和一条线段，试试看，你们得出什么结论？同学们各抒己见后，总结：对于已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简写成：“角角边”或简记为(A.S.A.)。6、问题 3：你能说说 ASA 与 AAS 这两种全等识别法间的关系吗？（AAS 识别法可由ASA 识别法推导出来，如上图中，因为 ， ，由于， ，所以 ，于是ABC 与DEF 具备 ASA 全
23、等。）7、范例如图， ， ，试说明ABCDCB三、巩固练习 68 练习 1、2四、小结 用采访的形式访问一些同学，本节学到什么知识，对这些知识有什么体会，对本节的知识存在着哪些疑问。五、作业 六、教学反思：13.2 全等三角形的判定（4）一.教学目标： 1. 使学生理解边边边公理的内容，能运用边边边公理证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；2. 继续培养学生画图、实验，发现新知识的能力。3、经历自己探索出 AAS 的三角形全等识别及其应用。二.教学要点：灵活运用 SSS 识别两个三角形是否全等。三.教学重点：灵活运用 SSS 识别两个三角形是否全等。四.教学难点：学生掌握边边边公理内
24、容和运用公理的自觉性。五.教学过程：一、创设问题情境，引入新课请问同学，老师在黑板上画得两个三角形，ABC 与全等吗？你是如何识别的。（同学们各抒己见，如：动手用纸剪下一个三角形，剪下叠到另一个三角形上，是否完全重合；测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等，三个角对应相等。）上一节课我们已经探讨了两个三角形只满足一个或两个边、角对应相等条件时，两个三角形不一定全等。满足三个条件时，两个三角形是否全等呢？现在，我们就一起来探讨研究。二、实践探索，总结规律1、问题 1：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形会全等吗？做一做：给你三条线段 、 、 ，分别为 、 、 ，你能画出
25、这个三角形吗？先请几位同学说说画图思路后，教师指导，同学们动手画，教师演示并叙述书写出步骤。步骤：（1）画一线段 AB 使它的长度等于 c（4.8cm）.（2）以点 A 为圆心，以线段b（3cm）的长为半径画圆弧；以点 B 为圆心，以线段 a（4cm）的长为半径画圆弧；两弧交于点 C.（3）连结 AC、BC.ABC 即为所求把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会发现什么？换三条线段，再试试看，是否有同样的结论请你结合画图、对比，说说你发现了什么？同学们各抒己见，教师总结：给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的。这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法： 如
26、果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简写为“边边边”，或简记为（S.S.S. ）。2、问题 2：你能用相似三角形的识别法解释这个（SSS）三角形全等的识别法吗？（我们已经知道，三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为 1 时，三条边就分别对应相等了，这两个三角形不但形状相同，而且大小都一样，即为全等三角形。）3、问题 3、你用这个“SSS”三角形全等的识别法解释三角形具有稳定性吗？（只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了）4、范例：例 1 如图 19。2.2，四边形 ABCD 中，ADBC，ABDC，试说明ABCCDA.5、练习： 73 练习 1、26、试一试：已知一个三角形的三个内角分别为 、 、 ，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，你发现了什么？（所画出的三角形都是相似的，但大小不一定相同）。三个对应角相等的两个三角形不一定全等。三、加强练习，巩固知识1、如图， ， ，ABCDCB 全等吗？为什么？2、如图，AD 是ABC 的中线， 。 与 相等吗？请说明理由。四、小结本节课探讨出可用（SSS）来识别两个三角形全等，并能灵活运用（ SSS）来识别三角形全等。三个角对应相等的两个三角不一定会全等。5、作业 六、教学反思：13.2 全等三角形的判定（5）一.教学目标：
