1、- 1 -教 学 设 计学科：数学 授课班级：13 级酒店班 学校： 兰州商贸职业学校 教师姓名：杨小英 章节名称 9.8.1 三垂线定理 计划学时 1 课时学习内容分析“三垂线定理”是立体几何中的重要定理，它是在研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时本节课对培养学生空间想象能力和逻辑思维能力有重要意义。本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。本节课对定理的引出改变了教材中直接给出定理的做法，通过一道练习题的结论引出三垂线定理的内容这样
2、，学生感到自然，容易接受。例题的难易程度适中，符合学生的学情。学习者分析立体几何本身是一门比较抽象的学科，要求解题过程要严谨，而我们的学生基础较薄弱，缺乏空间想象能力，不习惯做证明题，因此学习起来有一定困难。学生的学是教学的主要方面，学是中心，学会是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习。课程标准：理解点在平面上的射影，斜线（段）在平面上的射影等概念。理解三垂线定理，并进行简单应用。教学目标知识与技能：1.理解并掌握三垂线定理及其证明，准确把握几个垂直关系的实质，初步学会应用三垂线定理解决相关问题。2.使学生掌握三垂线定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达。3.初步掌握运用三垂线定理
3、证空间两直线垂直的思考方法。- 2 -过程与方法：1.通过对三垂线定理的探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，具体体现在线线垂直与线面垂直的辨证关系上：线 线 判定 线 面 性质 线 线2.培养学生严密而准确的数学表达能力。3.培养学生逆向思维和发散思维能力。4.培养学生的观察能力，逻辑推理能力。情感态度与价值观：通过数学严密的逻辑推理教学，使学生感受数学的严谨性，体会数学的美。教学重点 三垂线定理的理解和应用。教学难点1.构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。2.变换位置下的三垂线定理的应用。教学设计思路本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。由生活
4、中实际的例子，引出射影的概念。本节课对定理的引出改变了教材中直接给出定理的做法，通过一道练习题的结论引出三垂线定理的内容，这样学生感到自然容易接受。例题有所增加，处理方式也有适当改变。学法分析教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此在教学中要不断指导学生学会学习。根据立体几何教学的特点，本节课主要是教给学生“动手做、动脑想、大胆猜、严格证、多训练、勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思” ， “思”有所“得” ， “练”有新“获” ，学生也才
5、会逐步感受到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。- 3 -授课类型 新授课教学方法 讲授法，数学建模，情景式教学，合作交流式教 学 过 程教学环节教学内容所用时间教师活动 学生活动 设计意图创设情境引入课题生活中我们注意到，在太阳光的照射下，人、树、电线杆等在地面上都有影子，当太阳不是正午时，人、树、电线杆的影子就在地面上形成的一条线段。通过实例给出射影的概念。3分钟教师提出问题，并分析。组织学生观察思考其中的几何元素，及元素之间的关系学生活动一：认识射影的概念创设实际情境，引发学生学习兴趣。引出射影的概念讲授新课一
6、、射影的概念1.垫在平面上的射影。2.平面的垂线段。3.斜线。4.斜足。5.斜线段。6.斜线的射影。二、试一试。1.点 D1在平面 ABCD 上的射影是哪个点？2.斜线 D1B 在平面 ABCD 上的斜足是哪个点？3.斜线 D1B 在平面 ABCD 上的射影是哪条直线？4.斜线段 D1B 在平面 ABCD 上的射影是哪条线段线？5.AC 和 DB 垂直吗？6.AC 和 D1B 垂直吗？20分钟教师 PPT 演示射影的概念。引导学生探究、发现新知。教师设计问题情境让学生探索三垂线定理。教师和学生共同探讨问题，引出三垂线定理。观看幻灯片学生活动二：掌握射影的概念。学生活动三：学生根据问题情境思考探
7、索三垂线定理。合作交流解决试一试中的问题。学生回答熟练掌握概念，为定理的提出奠定基础。根据问题情境思考问题，形成严谨的数学思维，通过数学思维的升华，自然- 4 -三、论证三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的垂直当且仅当它就和这条斜线的射影垂直。 MP111求 证 ： 引 垂 线 ， 垂 足 为平 面 向上 一 点。的 斜 线 ， 斜 足 为 是内 一 条 直 线 ，是 平 面已 知 ：MPVPMv1 1110)(0,的 一 个 方 向 向 量 。 于 是是 的 一 个 方 向 向 量 为证 明 ： 设教师板演三垂线定理的证明过程。分析三垂线定理的基本图形的特点。找出定
8、理的特征，通过分析加深学生对定理的理解。学生活动四：跟随教师思路了解三垂线定理的证明过程。地得出三垂线定理。让学生养成严格论证问题的习惯和正确的书写格式，培养学生思维的严谨性。例题讲解例 1：已知：点 O 是ABC 的三条高的交线，PO 与平面 ABC 垂直求证：PABC.证明：PO 为平面 的一条垂线，PA为平面 的一条斜线，斜线 PA 在平面 上的射影为 AO15分钟教师板演例 1，例 2是对定理的正用，解题的关键是找出图形中的线-垂线、斜线、和射影。教会学生证明题的一般学生回答体会用三垂线定理证明线线垂直的方法。体会用三垂线定理解决问题的关键。学习推理论证的书写。通过这两道例题，使学生能
9、够熟练地掌握立即为三垂线定理。能在具体的问题中找到满足定理条件的几何元素。- 5 -BCPAO例 2.已知 P 是平面 ABC 外一点，PA 平面 ABC，AC BC。求证：PC BCBCPAABCP上 的 射 影 为 在 平 面的 斜 线 ，为 平 面 的 垂 线 ，是 平 面证 明 ：方法和步骤。通过例题体会定理的实际应用价值。随堂练习课本第 166 页 A 组第 1 题,第 2 题。5分钟教师巡视学生课堂练习完成情况，并及时给予评价和指导。学生活动五学生独立完成课堂练习。紧追例题，进行跟踪练习。使学生进一步掌握利用三垂线定理证明垂直的方法。课时小结本节主要学习了三垂线定理：如果平面内的一
10、条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。即垂影则垂斜。三垂线定理解题的关键：定面、找线！解题口诀：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见。2分钟教师进行点评提出本节课利用三垂线定理解题的关键。学生活动六学生自己归纳总结梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结PA BC- 6 -布置作业课本第 166 页 A 组第 3 题，第 4 题。板书设计9.8.1 三垂线定理一射影的概念 例 1 例 2二三垂线定理的证明（随堂练习）教学反思课堂教学流程图 - 7 -教 学 内 容 与教 师 的 活 动 媒 体的 运 用 学 生的 活 动 教 师 进 行逻 辑 选 择开始导入新课探索三垂线定理否是三垂线定理的论证例题讲解随堂练习学生思考 教师引导完成发现问题 探索问题课堂小结结束
