1、三角形综合例题 1：AD，EF，BC 相交于 O点，且 AOOD，BOOC，EOOF求证：AEBDFC例题 2：P 为正方形 ABCD对角线 BD上任一点，PFDC，PEBC求证：APEF例题 3：ABC 的高 AD与 BE相交于 H，且 BHAC求证：BCHABC例题 4：在正方形 ABCD中，P，Q 分别为 BC，CD 边上的点，PAQ45求证：PQPBDQ例题 5：过ABC 的顶点 A分别作两底角B 和C 的角平分线的垂线，ADBD 于D，AECE 于 E求证：EDBC例题 6：如图，P 是等边三角形 ABC内部的一点，PA2，PB ，PC4， 求 ABC 的32边长.例题 7：如图（
2、l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点 P满足APD APB =。且B P C CPD ，则称点 P为四边形 ABCD 的一个半等角点 ( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点 P，且满足 。( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点 P，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点 P1 、P 2（如图（ 2 ) ) ，证明线段 P1 P2上任一点也是它的半等角点 。例题 8：已知：点 O到ABC 的两边 AB、AC 所在直线的距离相等，且 OBOC。（1）如图 1，若点 O在 BC上，求证：ABAC；（2）如图 2，若点
3、 O在ABC 的内部，求证：ABAC；（3）若点 O在ABC 的外部，ABAC 成立吗？请画图表示。练习试题：1如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交ABC ACBOEFBC于 ，交 于 ，过点 作 于 下列四个结论：EFOD；1902O +以 为圆心、 为半径的圆与以 为圆心、 为半径的圆外切；BCF设 则 ；DmAEFn， ， AEFSmn 不能成为 的中位线FC其中正确的结论是_ （把你认为正确结论的序号都填上）2如图 1，AB、CD 是两条线段，M 是 AB的中点， 、 和 分别表示DMCSADBCSDNC、DAC、DBC 的面积。当 AB CD 时，有 (1)2（1）如
4、图 2，若图 1中 AB与 CD不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。（2）如图 3，若图 1中 AB与 CD相交于点 O时， 、 和 有何种相等关系？DMCSADBCS试证明你的结论。图1M BD CA图2M BD CAO图3MBDCA3如图，设ABC 和CDE 都是正三角形，且EBD62 o，则AEB 的度数是【 】（A）124 o （B）122 o （C）120 o （D）118 o4如图，ABC 是等边三角形，BDC 是顶角BDC120的等腰三角形，M 是 AB延长线上一点，N 是 CA延长线上一点，且MDN60.试探究 MB、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明.5如图，在ABC
5、 中，ABC60 0，点 P是ABC 内的一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则 PB_AB CP6如图所示，在ABC 中，ABAC，ADAE， ，则 _60BADEC7 （1）如图 7，点 O是线段 AD的中点，分别以 AO和 DO为边在线段 AD的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O旋转（OAB 和 OCD 不能重叠） ，求AEB 的大小.8两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1所示放置，图 2是由它抽象出的几何图
6、形，在同一条直线上，连结 BCE， ， DC（1）请找出图 2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）证明： DCBE9如图，AD 是ABC 的边 BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC 是等腰三角形的是_。 （把所有正确答案的序号都填写在横线上）BADACD BADCAD ，ABBDACCD ABBDACCD参考答案例题 1、证明：OAE ODF，因为：二边及夹角（对等角）相等，得：AE=DF。同理证得：OBE OCF，OAB OCD ，得：EB=CF，AB=CD 。因为：AE=DF，EB=CF，AB=CD 三边相等。所以：AEBDFC例 2 F 于
7、点 G 延长 EP 交 AB 于 M,延长 FP 交 AD 于 NP 为正方形 ABCD 对角线 BD 上任一点PM=PF,PN=PE又 AMPN 为矩形. AN=PM=PFEPF=BAC=90PEF ANPNAP = PFE又NPA=FPG(对顶角 )NAP +NPA=90PFE+FPG=90PGF=180-(PFE+FPG)=90APEF例 3 BHAC，BDHADC90，HBDCAD（这个知道的吧）BDHADCHDCD，BD=ADHDC 与ABD 是等腰直角三角形BCHABD=45例 4：在 CB 的延长线上取点 G，使 BGDQ，连接 AG正方形 ABCDABAD，BAD ABGD90
8、BG DQABG ADQ （SAS）AQ AG， BAG DAQPAQ45BAP+ DAQBAD-PAQ45PAG BAP+BAGBAP+DAQ45PAG PAQAPAPAPQ APG （SAS）PQ PGPG PB+BGPB+DQPB+DQPQ例 5、例 6 例 7（1） 根据题意可知，所画的点 P 在 AC 上且不是 AC 的中点和 AC 的端点因为在图形内部，所以不能是 AC 的端点，又由于 ，所以不是 AC 的中点（2）画点 B 关于 AC 的对称点 B，延长 DB交 AC 于点 P，点 P 为所求 （因为对称的两个图形完全重合）（3）先连 P1A、P1D、P1B、P1C 和 P2D、
9、P2B，根据题意AP1D=AP1B ，DP1C=BP1C AP1B+BP1C=180 度P1 在 AC 上，同理，P2 也在 AC 上，再利用 ASA 证明DP1P2BP1P2 而，那么P1DP2 和P1BP2 关于 P1P2 对称，P 是对称轴上的点，所以DPA=BPA ，DPC=BPC 即点 P 是四边形的半等角点解答：解：（1）所画的点 P 在 AC 上且不是 AC 的中点和 AC 的端点，即给（ 4 分） （2）画点 B 关于 AC 的对称点 B，延长 DB交 AC 于点 P，点 P 为所求（不写文字说明不扣分）给（3 分） （说明：画出的点 P 大约是四边形 ABCD 的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1 分）（3）连 P1A、P1D 、P1B、P1C 和 P2D、P2B，根据题意，AP1D=AP1B ，DP1C=BP1C ，
