1、初三二次函数归类复习一、二次函数与面积面积的求法：公式法：S=1/2*底*高 分割法/ 拼凑法1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ 2、抛物线 与 轴交与 A、B（点 A 在 B 右侧） ，与 轴交与点 C， D 为抛物线的32xy y顶点，连接 BD，CD，（1）求四边形 BOCD 的面积.（2）求BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）xyOMENA图五O xyDC图四xyODCEB图六PxyOA BD图二ExyOA BC图一xyOA B图三3、已知抛物线 与 轴交与 A、C 两
2、点，与 轴交与点 B，421xy y（1）求抛物线的顶点 M 的坐标和对称轴；（2）求四边形 ABMC 的面积.4、已二次函数 与 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，顶点为32xyP.（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求 A、B、C、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；（3）在抛物线上（除点 C 外） ，是否存在点 N，使得 ,ABCNS若存在，请写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。变式一：在抛物线的对称轴上是否存点 N，使得 ，若存在直接写出 N 的坐标；若不存ABCNS在，请说明理由.变式二：在双曲线 上是否存在点 N，使得
3、，若存在直接写出 N 的坐标；若不存3yxABCNS在，请说明理由.A xyBOC变式一图A xyOBC变式二图CPxOA By5、抛物线 与 轴交与A 、B（点A在B 右侧） ，与 轴交与点C，若点E为第二象限抛32xy y物线上一动点， 点E运动到什么位置时，EBC的面积最大 ,并求出此时点E的坐标和EBC 的最大面积【模拟题训练】1 （2015三亚三模）如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经过点 B、C 和点 A（ 1，0） （1）求 B、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 D，则在抛物
4、线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标二、二次函数与相似【相似知识梳理】二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图 1-1 的几
5、种基本型。若是非直角三角形有如图 1-2 的几种基本型。利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。【例题点拨】【例 1】如图 1-3，二次函数 的图像与 轴相交于点 A、B，与 轴相交于点 C，经2bxayxy过点 A 的直线 与 轴相交于点 D，与直线 BC 垂直于点 E，已知 AB=3，求这个二次函数2kxy的解析式。【例 2】如图 1-4，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为 C ，且在 轴上截得的线段3,4xAB 的长为 6.（1）求二次函数解析式；（2）在 轴上方的抛物线上，是否存在点 D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与ABC 相似？x若存在，求出点 D
6、 的坐标，若不存在，请说明理由。图1-3BEADOCxyYXED2D1HCBAO【例 3】如图 1-6，在平面直角坐标系中，二次函数 -的图像经过点 A（4,0） ，cbxy241C（0,2） 。（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点 B（-2,0）是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与 轴交于点 D，点 E 在对称轴上，若以点 C、D 、E 为顶点的三角形x与ABC 相似，试求点 E 的坐标。图1-6CA1Oyx【模拟题训练】2 （2015崇明县一模）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过直线 y= +1 与坐标轴的两个交点A、B，点 C 为抛物线上的一点，且ABC=9
7、0（1）求抛物线的解析式；（2）求点 C 坐标；（3）直线 y= x+1 上是否存在点 P，使得BCP 与OAB 相似？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由(图26图)y xOCBA三、二次函数与垂直【方法总结】应用勾股定理证明或利用垂直 三垂直模型【例 1】：如图，直线 l 过等腰直角三角形 ABC 顶点 B，A 、C 两点到直线 l 的距离分别是 2 和 3，则 AB 的长是（ ）【例 2】：在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A（-3 ，0） 、B （1，0） ，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H.（1）直接填写：a= ，b=
8、，顶点 C 的坐标为 ；（2）在 y 轴上是否存在点 D，使得ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；【例 3】 、 （2011 山东烟台）如图，已知抛物线 y=x2+bx-3a 过点A（1,0） ，B(0,-3), 与 x 轴交于另一点 C.（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【模拟题训练】3 （2015普
9、陀区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（m ，0）和点 B（0，2m） （m0） ，点 C 在 x 轴上（不与点 A 重合）（1）当BOC 与AOB 相似时，请直接写出点 C 的坐标（用 m 表示）（2）当BOC 与AOB 全等时，二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 A、B、C 三点，求 m 的值，并求点 C 的坐标（3）P 是（2）的二次函数图象上的一点， APC=90，求点 P 的坐标及ACP 的度数4如图，已知抛物线 y=x21 的顶点坐标为 M，与 x 轴交于 A、B 两点（1）判断MAB 的形状，并说明理由；（2）过原点的任意直线（不与 y 轴重合）交抛物线于 C
10、、D 两点，连接 MC、MD，试判断MC、MD 是否垂直，并说明理由四、二次函数与线段题目类型：求解线段长度（定值，最值）：充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角（30，45，60，90，120等） 、特殊三角形（等腰、等腰直角、等边） 、特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等） 、对称、函数（一次函数、反比例函数、二次函数等）等知识。判断线段长度关系：a=b, a=2b, a+b=c, a+b=2c, a 2+b2=c2 , a*b=c2【模拟题训练】5 （2015山西模拟）如图 1，P（m，n）是抛物线 y= x21 上任意一点，l 是过点（0，2）且与 x 轴平行的直线，过点 P 作直线
11、PHl，垂足为 H【特例探究】（1）填空，当 m=0 时，OP= _ ，PH= _ ；当 m=4 时，OP= _ ，PH= _ 【猜想验证】（2）对任意 m，n，猜想 OP 与 PH 大小关系，并证明你的猜想【拓展应用】（3）如图 2，如果图 1 中的抛物线 y= x21 变成 y=x24x+3，直线 l 变成 y=m（m1） 已知抛物线y=x24x+3 的顶点为 M，交 x 轴于 A、B 两点，且 B 点坐标为（3，0） ，N 是对称轴上的一点，直线y=m（m1）与对称轴于点 C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线 y=m 的距离等于该点到点N 的距离用含 m 的代数式表示 MC、MN 及
12、 GN 的长，并写出相应的解答过程；求 m 的值及点 N 的坐标五、二次函数与角度结题方法总结角度相等的利用和证明：直接计算 平行线 等腰三角形 全等、相似三角形 角平分线性质 倒角（1=3，2=31= 2）【构造三垂直模型法】例 1：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为抛物线 上一动点，点A 的坐标为（4，2） ，若AOP=45，则点 P 的坐标为( )【直接计算】例 2.如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的对称轴 与 x 轴的交点，点 P 是抛物线上一点，且DCP=30，则符合题意的点 P 的坐标为( )【与几何图形结合】例 4、二
13、次函数 32xy的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与y 轴交于 C 点，在二次函数的图象上是否存在点 P，使得 PAC 为锐角？若存在，请你求出 P 点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。【利用相似】例 3、已知抛物线2yaxbc的图象与 x轴交于 A、 B两点（点 A在点 B的左边） ，与 y轴交于点 C（0，3） ，过点 C作 轴的平行线与抛物线交于点 D，抛物线的顶点为 M，直线5x经过 D、 M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接 A、 、 B，试比较 AB和 C的大小，并说明你的理由.【模拟题训练】6 （2015松江区一模）已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点（1，3）和点（1，5） ；
