1、1线性规划专题一、命题规律讲解1、 求线性（非线性）目标函数最值题2、 求可行域的面积题3、 求目标函数中参数取值范围题4、 求约束条件中参数取值范围题5、 利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得,xy最大值和最小值的点的坐标 即简单线性规划的最优解。,例 1 已知 ， ，求 的最大值和最小值4352xyzxyz例
2、2 已知 满足 ，求 z= 的最大值和最小值,xy1246y5xy二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标,xy即最优解。,xy例 3 已知 满足， ，求 的最大值和最小值,2432xy例 4 求函数 的最大值和最小值。4yx1,52三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解
3、决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段） ，区域内的各点的点坐标 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 即,xy ,xy最优解。例 5 已知实数 满足不等式组 ，求 的最小值。,10xy248xy例 6 实数 满足不等式组 ，求 的最小值,xy02yx1yx四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段） ，区域内的各点的点坐标 即可行解，在可行解中的
4、使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 即最,xy ,xy优解。例 7 已知 满足 ，求 的最大值和最小值,21xy31. “截距”型考题方法：求交点求最值在线性约束条件下，求形如 的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在(,)zaxbyR轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效y避免因画图太草而造成的视觉误差.1.【广东卷 理 5】已知变量 ,xy满足约束条件241xy，则 3zxy的最大值为( )()A12()B1 ()C ()D2. (辽宁卷 理 8)设变量 ,xy满足-0+25xy，则 +3xy的最大值为A20 B35 C45
5、D553.(全国大纲卷 理) 若 ,xy满足约束条件103xy，则 3zxy的最小值为 。4.【陕西卷 理 14】 设函数 ln,0()21xf， D是由 x轴和曲线 ()yfx及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 zy在 上的最大值为 5.【江西卷 理 8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 计，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A50，0 B30，20 C20，30 D0，506. (四川卷 理 9 ) 某公司生产甲、乙两
6、种桶装产品. 已知生产甲产品 1 桶需耗 A原料 1 千克、 B原料 2千克；生产乙产品 1 桶需耗 A原料 2 千克， 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 B原料都不超过 12 千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元2 . “距离”型考题方法：求交点求最值年产量/ 亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元4
7、10.【福建卷 理 8】 设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是 与 关于直线x1-2y+30121对称,对于 中的任意一点 A 与 中的任意一点 B, 的最小值等于( )3490xy12|ABA. B.4 C. D.22851511.( 北京卷 理 2) 设不等式组 20,yx，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是A 4 B C 6 D 43. “斜率”型考题方法：现求交点，再画图 （包括 90 取两边，不包括 90 取中间）当目标函数形如 yazxb时 ,可把 z 看作是动点 (,)Pxy与定点 (,)Qba连线的斜率，这样目标函数
8、的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。12.【高考福建卷 理 8】 若实数 x、y 满足 则 的取值范围是 （ ）10,yxyxA.(0,1) B. C.(1,+ ) D.0,11,13.（江苏卷 14）已知正数 abc， ， 满足： 4ln53lbcacab ， ， 则 ba的取值范围是 4.求可行域的面积题14.【重庆卷 理 10】设平面点集 221(,)()0,(,)1()1AxyBxyyx，则AB所表示的平面图形的面积为A 34 B 35 C 47 D 215.（江苏卷 理 10）在平面直角坐标系 ，已知平面区域xOy(,)|1,Axy且 ，则平面区域 的面积为 （ ）0,xy(,)|
9、(,A B C D211214516.（安徽卷 理 15） 若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从2 连续变化到 1 时，动A02xya直线 扫过 中的那部分区域的面积为 .xya17.（安徽卷 理 7） 若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等034xy 43ykx的两部分，则 的值是k（A） （B） （C ） （D） 3733418.（浙江卷 理 17）若 ，且当 时，恒有 ，则以 ,b 为坐标点0,ba1,0yx1byaxa所形成的平面区域的面积等于_.(,)Pab5.求目标函数中参数取值范围题一、必考知识点讲解规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜
10、率”、 “点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.二、经典例题分析21.（高考山东卷 ）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，使函数219084xy， M的图象过区域 的 的取值范围是（ ）(01)xya， MaA1，3 B2， C2 ，9 D ，901022.（北京卷 理 7）设不等式组 1350xy9表示的平面区域为 D，若指数函数 y= xa的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是A (1，3 B 2，3 C (1，2 D 3， 25.（陕西卷 理 11）若 x，y 满足约束条件12xy，目标函数 2zaxy仅在点（1，0）处取得6最小值，则 a 的取值范围是 （ ）A （
11、1，2） B （ 4，2） C (4,0 D (2,4) 26.（湖南卷 理 7）设 m1，在约束条件 目标函数 z=x+my 的最大值小于 2，下 ，1yxm则 m 的取值范围为A B C （1，3） D)21,(),21(),3(6.求约束条件中参数取值范围题一、必考知识点讲解规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定 ”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.二、经典例题分析19.（福建卷 ）在平面直角坐标系中，若不等式组10xya（ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a的值为A. 5 B. 1 C.
12、2 D. 3 20.【福建卷 理 9】若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy02，则实数 m的最大值为（ ）A 21 B1 C 23 D223.（浙江卷 理 17）设 为实数，若 ，则 的取值范m50(,)xym2(,)|5xym围是_.24.（浙江卷 理 7） 若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 9，则实数xy30,21,xyxyA B C 1 D 2277. 其它型考题27. （山东卷 理 12） 设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 0,263yx (0,)zaxby的值是最大值为 12，则 的最小值为（ ） 23abA. B. C. D. 462583128. （
13、安徽卷 理 13）设 满足约束条件 ，若目标函数 的,xy208 ,xy0,zabxy最大值为 8，则 的最小值为_.ab6、 利用线性规划解答应用题. (2012 年高考四川卷 理 9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 1 桶需耗 A原料 1 千克、B原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A原料 2 千克， B原料 1 千克. 每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 B原料都不超过 12 千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元
