1、1.【2017 课标 1，理 10】已知 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l1，l 2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB |+|DE|的最小值为A16 B14 C12 D10【答案】A【解析】试题分析：设 ，直线 方程为1234(,)(,)(,)(,)xyxy1l1()ykx联立方程 得 214()yk2211140k21214kx21同理直线 与抛物线的交点满足2l234xk由抛物线定义可知 1234|ABDExp221221144688kkk当且仅当 （或 ）时，取得等号.12【考点】抛物线的简单性
2、质2.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 2(p0)yx上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 M=2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为( )（A） 3（B） 2（C） （D ）1【答案】C【解析】试题分析：设 2,PptMxy（不妨设 0t） ，则 2,.pFPtt由已知得 13FM，2,36,pxty，2,3pxty，2121OMtkt， max2OMk，故选 C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用3.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 上任2(p0)yx意一点，M 是线段 PF 上的点，且
3、=2 ,则直线 OM 的斜率的最大值为( )M（A） （B） （C） （D ）132【答案】C【解析】试题分析：设 （不妨设 ） ，则 由已2,PptMxy0t2,.pFPtt知得 ， ， ，13FM2,36,pty2,3pxty， ，故选 C.212OMtktmax2OMk考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点 的坐标，利用向量法求出点 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，P因此我们把 斜率用参数 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，kt本题采用基本不等式求出最值
4、4.【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点, 交 C 的准线于D、E 两点 .已知|AB|= ,|DE|= ,则 C 的焦点到准线的距离为425(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B【解析】考点：抛物线的性质。【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.5.【2015 高考四川，理 10】设直线 l 与抛物线 相交于 A，B 两点，与圆24yx相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰
5、有 4 条，则2250xyrr 的取值范围是（）（A） （B） （C） （D ）13， 4， 3， 24，【答案】D【解析】显然当直线 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设 .当直线 的斜率存在时，设斜率为 .设l l k，则 ，相减得12120(,)(,),()AxyBxMy214x.由于 ，所以 ，即 .圆心为121212()4()yyx12x1212yyx02ky，由 得 ，所以 ，即点 M 必在直5,0CMAB000,5ykk05,3线 上.将 代入 得 .因为点 M 在圆3x24x201,32y上，所以 .又2250yr200(5),416r（由于斜率不存在，故 ，所以不取等号） ，
6、所以04y.选 D.216,4xy12342345678934563456ABCFOM利用这个范围即可得到 r 的取值范围。6.【2015 高考浙江，理 5】如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三24yxF个不同的点 ， ， ，其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则 与ABCABCyBCF的面积之比是（ ）CFA. B. C. D. 1BFA21BFA1BFA21BFA【答案】A.【解析】 ，故选 A.1FxCSABAFB【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质
7、，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.7.【2017 课标 II，理 16】已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线FC:28yxMCF交 轴于点 。若 为 的中点，则 。yNMN【答案】6【解析】试题分析：点 A，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那
8、么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。8.【2016 高考天津理数】设抛物线 ， （t 为参数，p0）的焦点为 F，准线为 l.过抛2xy物线上一点A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（ p,0） ，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2|AF| ，且 ACE 的面积为72，则 p32的值为_.【答案】 6【解析】试题分析：抛物线的普通方程为 ， ， ，又2ypx(,0)F732pC，则 ，由抛物线的定义得 ，所以 ，则 ，2CFA3F3ABAx|2Ayp由 得 ，即 ，所以 ，/BE
9、C2A6CEFS，所以 ， 92ACFFSS139pp考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若 P(x0，y 0)为抛物线 y22px( p0)上一点，由定义易得| PF|x 0 ；若过焦点的弦 AB 的端p2点坐标为 A(x1， y1)，B (x2，y 2)，则弦长为|AB| x 1x 2p，x 1x 2 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到9.【2016 高考浙江理数】若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_【答案】 9【解析
10、】试题分析： 109MMxx考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 轴的距离y10.【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y 2=2px 过点 P（1，1 ）.过点（0， ）作直线 l 与抛12物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.【答案】 （）方程为 ，抛物线 C 的焦点坐标为（ ，0 ） ，准线方
11、程为 .（）详2yx1414x见解析.【解析】试题分析：（）代入点 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设P直线 l 的方程为 （ ） ，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线 ON 的方12ykx0程为 ，联立求得点 的坐标 ，证明 .2yxB21(,)yx1210yx试题解析：解：（）由抛物线 C： 过点 P（1，1） ，得 .2pp所以抛物线 C 的方程为 .2yx抛物线 C 的焦点坐标为（ ，0 ） ，准线方程为 .144x211212yyxx1212()()kxkx，121()()kx2()4kx0所以 .21y故 A 为线段 BM 的中点.【考点】1.抛物线方
12、程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.11.【 2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ，抛物线:20lxy2:y(0)Cpx（1 ）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2 ）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两
13、点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为 ；(2,).p求 p 的取值范围.【答案】 （1） （2）详见解析，xy8)34,0(【解析】值范围。（2 ）设 ，线段 PQ 的中点12(x,y)(,)PQ0(x,y)M因为点 P 和 Q 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 PQ,ll于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为.yxb由 消去 得2ypxb20(*)ypb因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 12,y从而 ，化简得 .2()4()0pb0pb方程（*）的两根为 ，从而21,2y12.yp因为 在直线 上，所以0(x,)Ml0.xp因此，线段 PQ 的中点坐标为
14、 (2,).因为 在直线 上(2,).pyxb所以 ，即b2.p由知 ，于是 ，所以20p()04.3p因此 的取值范围为 4(,).3考点：直线与抛物线位置关系12.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线 ，点 A ，2xy1()24，抛物线上的点 过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q39()24B， )231)(,xyP（）求直线 AP 斜率的取值范围；（）求 的最大值|PQA【答案】 （） ；（）)1,(276【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得 AP 的斜率为 ，由 ，得 AP 斜率的21x32x取值范围；（）联立直线 AP 与 BQ 的方程，得 Q
15、 的横坐标，进而表达 与 的长度，|PA|Q通过函数 求解 的最大值3)1()(kkf |PQA试题解析：（）设直线 AP 的斜率为 k，则 ， ，直线 AP 斜率的取值2142x32x范围是 )1,(（）联立直线 AP 与 BQ 的方程 10,2493kxy解得点 Q 的横坐标是 ，因为|PA|= =)1(2kxQ 21()kx)1(2k|PQ|= ，所以| PA|PQ|=)(122k 3)(令 ，因为 ，所以 f(k)在区间 上单调递31)(f 2)1(4)( kkf )21,增， 上单调递减，因此当 k= 时， 取得最大值 1,22|PQA76的最大值。13.【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线C2yxFx分别交 于 两点，交 的准线于 两点12,lC,ABPQ，（I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；FRAR（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程.PQFB【答案】 （）见解析；（） 21yx【解析】试题分析：（）设出与 轴 垂直的两条直线，然后得出 的坐标，然后通过证明,APQR直线 与直线 的斜率相等即可证明结果了；（ ）设直线 与 轴的交点坐标 ，ARFQlx1(,0)Dx利用面积可求得 ，设出 的中点 ，根据 与 轴是否垂直分两种情况结合1xAB(,)ExyB求解ABDEk
