1、总 15 页第 1 页国家卷与福建卷三角函数部分对比解析漳州市普通教育教学研究室 张兵源一、考纲要求国家课标卷（以下简称国家卷）与福建卷在命题的理念上是有一定区别的，如今我省已明确2016 届高考使用全国卷，我们有必要全方位重新学习国家考试大纲、考试说明以及研究全国卷高考试题，这样才能更好把握高考的脉搏，做到知己知彼，提高复习的效率更好地科学备考。 考试大纲既是命题的准绳，更是复习的依据。高中数学六大主干知识之一三角函数， 考纲要求如表一：知识点 考 试 要 求 要求的层次考查方式任意角的概念、弧度制了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 了解小题居多文科常考三角函数理解
2、借助单位圆给出的任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.利用定义推导出诱导公式 的正弦、余弦、(,2正切） ，能画出 的图象，了sin,costanyxyx解三角函数的周期性.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 ，正切函0,数在 上的性质（如单调性、最大和最小值、图,2象与 x 轴交点等）.理解同角三角函数的基本关系式：sincossincta221x，.结合具体实例，了解 的实际意义；iyA能借助计算器或计算机画出 的图象，snx观察参数 对函数图象变化的影响 .,A会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型理解（三角函数的周期性为了解）小题居多文理常考总
3、 15 页第 2 页三角恒等变换经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.（标准保持这样顺序，教材可以有不同处理）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）掌握小题居多文理常考解三角形掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.掌握 大题为主文理常考1、知识结构三角函数 涉及必修 4三角函数+三角恒等变换 +必修 5解
4、三角形 核心内容为三角函数的定义；三角函数的图象与性质；三角恒等变形；解三角形。从以上大纲要求中可以看到除任意角、弧度制及周期的相关概念为了解外，其余均为理解或掌握，故备考复习要求必须全面，不能出现知识遗漏。三角函数具有工具性的知识特点虽作为六大主干知识之一在国家卷的高考试题中大都以低中档题的形式出现，起到了稳定军心、增强学生信心的作用，且文、理科的大纲与考试说明基本一样，与福建考试说明仅有一处细微变化就是利用定义推导出诱导公式 的正弦、余弦、正切） ，全国考试(,2大纲比福建考试说明多了一个正切，其余均相同。2、能力要求在高考考试中，三角函数部分的考题，着重担负对“五能力、两意识”中运算求解
5、能力、推理论证能力和应用意识的考查。运算能力是解决数学问题的基本能力，是数学应用于日常生活的基本技能，运算能力是学生学会数学的基础。在数学教学活动中，培养学生运算能力的核心素养，有利于学生提升逻辑推理的能力，有利于学生培养程序化思考问题的习惯，有利于学生养成实事求是、一丝不苟的科学精神。这方面的考查主要依托三角函数的定义及解三角形考题来实现，也是三角恒等变换考查的目标定位。大纲要求关注三角函数性态研究，三角函数作为刻画现实世界周期变化现象的数学模型的思想，根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题，这方面的考查使得应用意识得到进一步加强。3、思想方法三角函数是高中阶段系统学习的又一个基本初等函
6、数，应当注意运用数学（必修 l） 中学到的研究函数的方法为指导来学习本主干知识的内容，即在函数观点的指导下，学习三角函数。例如：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函数；用函数研究中的基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，性质等）来理解学习三角函数的进程；在讨论 y Asin(x )的图象时，渗透函数变换与图象变换（平移、伸）的关系。因此三角函数试题，重点承载的是函数与方程思想、数总 15 页第 3 页形结合思想的考查任务。在学科思想的层面上，课程的教育功能和试题的考查功能是多元的。在三角函数核心知识的考查中充分展示了化归与转化思想的运用。如化未知为己知：像用诱导
7、公式把求任意三角函数值逐步转化求锐角的三角函数值；把特殊化归为一般：像把正弦函数的图像逐步化归为 的图像，把sinyAx已知三角函数值求特殊范围内的角逐步化归为适合已知条件的所有角的集合；等价化归：像进行三角函数的化简、恒等变形和证明恒等式等。二、考点分布及试题特点表二：2011-2015 年国家卷的考点分布年 份 科别及总分值题序 分值 题型 考点及简要解析 难易7 5 选择 三角函数的定义及二倍角公式 易11 5 选择 三角函数的图像与性质 中文15 分 15 5 填空 解三角形中余弦定理及面积公式 中5 5 选择 同文 7 易11 5 选择 三角函数的性质 中2011理15 分 16 5
8、 填空 解三角形中正弦定理及“化一”公式 中9 5 选择 三角函数的图像与性质 中文17 17 12 解答 解三角形 易9 5 选择 三角函数的图像与性质 中2012理17 17 12 解答 解三角形 易9 5 选择 三角函数的图像 中10 5 选择 解三角形 中文15 分 16 5 填空 三角函数的性质及“化一”公式 中15 5 填空 同文 16 中2013理17 分 17 12 解答 解三角形 易2 5 选择 三角函数的定义 易7 5 选择 三角函数的性质 易文15 分 16 5 填空 解三角形 中6 5 选择 三角函数的应用 中8 5 选择 三角恒等变换 中2014 理15 分 16 5
9、 填空 解三角形 中8 5 选择 三角函数的图像与性质 中文17 17 12 解答 解三角形 易2 5 选择 三角恒等变换中两角和的正弦 易8 5 选择 同文 8 中2015 理15 分 16 5 填空 解三角形 难总 15 页第 4 页表三：2014-2015 年福建卷的考点分布年 份 科别及总分值题序 分值 题型 考点及简要解析 难易7 5 选择 三角函数的图像（平移） 易14 4 填空 解三角形 易文21 分 18 12 解答 三角函数的性质 易12 4 填空 解三角形 易2014 理16 分 16 12 解答 三角函数的性质 易6 5 选择 三角函数值的计算 易14 4 填空 解三角形
10、 易文21 分 21 12 解答 三角函数的图像与性质、三角恒等变换 难12 4 填空 解三角形 易2015 理16 分 19 12 解答 三角函数的图像与性质、三角恒等变换 难三角函数具有公式多、概念多、性质多的特点，与代数、几何及向量等知识联系密切，具有很大实际意义和广泛应用，是高考的必考内容。纵观全国卷近五年的试卷，可以发现部分考点是重复考，有些考点轮流考。全国卷由于文、理都有一道选考题，所以六大主干知识，无法在试卷解答题中都考查到。从表二可以发现，解答题中全国卷对数列与三角函数这两块主干知识的考查是交替出现，解答题若考到三角函数则一定是考解三角形且一般是一小一大共 16 分或 17 分
11、，文理都一样；解答题若考数列则对三角函数的考查一定是两选一填三小题共 14 分，其中也一定有一小题是考查解三角形，文理都一样；故全国卷侧重于解三角形；全国卷在三角函数的考查一般都重基础，中、低档难度要求，作为解答题都放在 17 题，题型保持相对的稳定性。福建卷对三角函数的考查，解答题都有一题，文科一般都是两小一大共 21 分，理科一般都是一小一大共 16 分；小题都是比较基础的，属容易题；解答题可 能 以 向 量 为 载 体 侧重于简单的三角恒等变换及三角函数的性质相结合，而且难度要求由易向难提升。题型变化较大，不止一次对三角函数的考查解答题文科放在 21 题、理科放在 19 题这样作为次压题
12、的要求。 3、高考真题剖析三角函数的考查主要涉及以下五类问题：（1）任意角的三角函数；（2）应用同角变换、诱导公式、两角和与差的三角函数公式；求值、化简和等式证明问题；（3）与三角函数图像、性质有关的问题；（4）三角形中的三角函数问题（解三角形及其应用） ；（5）三角函数与平面向量、导数、数列等综合应用问题。考点一、任意角的三角函数1.(2011 全国卷理 5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，x2yx则 =cos2总 15 页第 5 页（A） （B） （C） （D）4535354考查目标：任意角三角函数的定义，二倍角余弦公式，直接考查基本知识属容易题。评析：根
13、据已知条件利用任意角三角函数的定义求出 中的任一个均可解决问题。掌握sin,cota好任意角三角函数的定义对后面再学习三角函数值在各象限的符号、同角三角函数关系及诱导公式等所有内容均会水到渠成。2.(2014 全国卷理 6）如图，圆 的半径为 ， 是圆上的定点， 是圆上的动点，角O1AP的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点xAPOM到直线 的距离表示为 的函数 ，则 = 在0, 上的图像大致为（ MPx()fy()fx）考查目标：三角函数的定义、性质与图像，以及学生的识图能力，难度中等。评析：本题是常规题目中有所创新。我们老师在平时的教学中，总是给学生总结很多规律
14、性知识，并围绕这些规律性知识的应用反复出题做文章，以至于学生头脑当中留下印象最多的是：这块知识老师给总结了哪些知识有哪些结论，如果记得问题尚可处理，如果不记得无从下手。应该多让学生熟悉理解课本当中的定义、定理和知识的发生过程，以及这些定义定理的来龙去脉，只有把这些处理好了，才能真正做到举一反三，万变不离其宗。比如这题了解到大部分学生看到题后第一想法都是用排除。当然排除法可以解决这个问题，方法也不错，但是这道题如果直接求解析式也是很简单的，只要熟悉三角函数定义和考虑实际意义就行，但学生似乎很不情愿，他们就觉得那是一件难事。思路点拨：如图：过 M 作 MDOP 于，则 PM= ，OM= ,在 中，
15、sinxcosRtOMPMD= ，cosin1xOPAAcoi1i2 ，选 B. ()fxi2(0)也可分 或 两种情形考虑。0x考点二、三角函数的化简、求值与证明3.(2014 全国卷理 8）设 ， ，且 ，则（ ）(0,)2(,)1sintaco. . . .A32BC32D2考查目标：三角函数恒等变换，三角函数和、差角，二倍角公式以及诱导公式的考查.难度中等.规范解答：总 15 页第 6 页法 1： ，sin1sitacosincoscosin，sini2,022 ，即 ，选 B2法 2：由 ，得sin1sitaco222cosincosin1ta22tan,ta，选 Btt,0,424
16、法 3：由 ，得 ，sin1sitaco 21cossin24tani co2，选 Btnt,0,42242法 4：由 ，得 ，sin1sitaco 21coscos4taniin2，选 Btnta,0,2424ta42法 5：令 得 ，验证选项即知正确答案为 B。,6tn3,0,3评析：本题是一道考查基础知识和基本方法的好题，求解方法多、入口宽。通过常规题目再次熟悉并掌握通性、通法，进一步强化三角恒等变换能力；“变角”是三角恒等变换的核心，引导学生明确三角变换的常用手段除了“变角”外，还有“变名” （如切化弦） 、 “变结构” （运算形式） ，同时注意角的取值范围；通过一题多解，感悟思想方法
17、的灵活运用，建立、积累解题模式，体验恒等变换的复杂性与多样性。考点三、三角函数的图像与性质4.(2015 全国卷理 8、文 8）函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为()cos)fx()fx（A） （B）13(,),4kkZ13(2,),4kkZ（C） （D ）, ,考查目标：首先根据 的部分图像求出 ，再考查三角函数的基本性质，属基础()cos)fx题。总 15 页第 7 页评析：（1）三角函数的图像是三角函数概念和性质的直观反映，三角函数的性质又是三角函数的本质所在。本题由图象写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。解决由性质求解析式的问题时要注意每一个条件的
18、正确“翻译” ；本题可按常规解题模式由图像确定周期，一般情况下难点都在由点在图像上代人列方程求出 的值，注意 的值并不是唯一的，T要根据具体条件确定；另外本题还可以借助图像确定 分别是“五点法”中的第二、第四15,0,4个点，故可得 ，解得 ， ，所以 ，令1+4253=()cos)4fx，解得 ， ，故单调减区间为（ ，2,4kxkZ124k324kZ124k） ， ，故选 D.3（2）由图像到解析式考查三角函数性质问题的可变因素较多，为了适应各种变化，建议复习时以“题组”的形式给出其他相关 的题目；类似内容的考查在高考中是常有涉及，如：5.(2012 全国卷理 9）已知 0，函数 ()si
19、n)4fx在 (,)2上单调递减。则 的取值范围是()A15,24()B 13,24 C 10, (D0,26.(2015 全国卷文 9）已知 0， 0，直线 x= 4和 = 5是函数 )sin()fx图像的两条相邻的对称轴，则 =()A ()B ()C ()D4 3 2 347.(2011 全国卷理 11）设函数 的最小正周期为 ，sincos)0,2fxx且 ，则()fxf（A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减0,2 ()fx3,4（C） 在 单调递增 （D） 在 单调递增()fx, ,8.(2011 全国卷文 11）设函数 ，则()sin2)cos(2)44fxxA 在 单调递增，其
20、图象关于直线 对称()yfx0,2B 在 单调递增，其图象关于直线 对称, 2xC 在 单调递减，其图象关于直线 对称()yfx0,24总 15 页第 8 页D 在 单调递减，其图象关于直线 对称()yfx0,22x（3）不要误认为三角函数的图像和性质只考选择题或填空题，作为大题的背景或一个问题完全可以。在众多的高考卷中是常出现的，如：9.(2012 四川卷理 18）函数 2()6cos3cos(0)xfxx在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点， B、 C为图象与 轴的交点，且 ABC为正三角形。（）求 的值及函数 ()f的值域；（）若 083()5fx，且 012,)3x，求 0(1
21、)fx的值。考点四 三角变换与解三角形“三角恒等变换”主要是利用“同角三角函数的基本关系、两角和与两角差的三角函数、二倍角的三角函数”中所涉及的相关公式对所给的三角函数式从“角、函数名称、式子结构”三方面进行转化与化归（包括公式的“正用、逆用、变形用” ） ；“解三角形”主要是利用“正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式”等解决“已知三角形的某些几何元素求其余几何元素”的问题。三角恒等变换、解三角形是全国卷每年高考中重复考查的、必考知识点。命题立意都是考查三角恒等变换、正、余弦定理，考查解三角形的能力。如：10.(2015 全国卷文 17）已知 分别是 内角 的对边， .,abcABC,2sin
22、isnBAC（I）若 ，求 abcos;B（II）若 ，且 求 的面积.902,11.(2012 全国卷理 17、文 17）已知 ,abc分别为 三个内角 ,AC的对边，cos3in0aCbc（I）求 A （II）若 2， ABC的面积为 3；求 ,bc。12.(2013 全国卷理 17）如图，在ABC 中，ABC 90，AB ，BC1，P 为ABC 内一点，BPC90.（I）若 PB ，求 PA；12（II）若APB150 ，求 tanPBA.13.(2014 全国卷理 16）已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，,abcABC,ABCa且 ，则 面积的最大值为 .()sin)(sinb
23、AB14.(2014 全国卷文 16）如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点.从 点测MNA得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得M604575MC总 15 页第 9 页.已知山高 ，则山高 _ .60MCA10BCmMNm评析：（1）这类考题基本上都属于中、低档考查要求，如上 2014 全国卷文 16，作为填空题的压轴题，不刻意命制背景陌生的问题，而是以常见的解三角形问题呈现，这与福建卷有很大的不一样。（2）如 2013 全国卷理 17，当问题中有较多个三角形时，我们通常先选准一个三角形，把已知和所求向这个三角形集中，利用正、余弦定理求解，注意三角形中几何性质的使用
24、。（3）求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想、基本不等式求解范围或最值问题等在解题中的应用，注意三角形的面积公式的选择及有些题目需要对三角形解得个数进行讨论，以防止漏解、误解。考点五 三角函数的综合应用15.(2013 福建卷理 20）已知函数 的周期为 ，图像的一个对称中()sin)(0,)fx心为 ，将函数 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，在将所得图(,0)4像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像2()gx（I）求函数 与 的解析式；()fxg（II）是否存在 ，使得 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确0,)
25、6400(),()ffx定 的个数；若不存在，说明理由0x（）求实数 与正整数 ，使得 在 内恰有 2013 个零点an()()Fxfagx,)n考查目标：考查同角三角函数的基本关系、三角恒等变换、三角函数的图像与性质、函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想。评析：（1）数学知识之间有着千丝万缕的联系，函数、方程、不等式本来就是一个整体，在解题中体会这样的联系非常必要。通过解决三角函数与其他知识融和的综合问题，感悟知识之间的联系，体验解题过程的复杂性，发展综合应用能力，挖掘数学思想方法。全
26、国卷高考题没有这样的题型和这种考查要求，这也是开头说的国家卷与福建卷在命题的理念上是有区别的。但不排除国家卷以后会涉及三角函数、平面向量和解三角形中的正、余弦定理相互交织的这种题型，如：（2010 安徽卷理 16）设 ABC是锐角三角形， ,abc分别是内角 ,ABC所对边长，并且2 2sini() sin() sin3AB.总 15 页第 10 页（I）求角 A的值. （II）若 12,7ABCa，求 ,bc（其中 c） 。命题立意：本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、求解能力。思路点拨：先对 2 2sini()sin()si3B化简，求出角 A
27、；再根据(2)的条件和余弦定理，构造方程组求解 ,bc。(2)我们发现众多高考卷中新颖别致的三角函数解答题就是以此为出发点设计的，在这类试题中平面向量往往只是起到“包装”的作用，实质上是考查考生综合运用三角函数的性质、三角恒等变换和正、余弦定理解决问题的能力；解决这类问题的基本思路是“脱掉向量的外衣，抓住问题的实质，灵活地实现问题的转化，选择合理的解决方法” ；在解题过程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意挖掘题目中隐含的各种限制条件，做到推理严谨、计算准确、表达确切。4、复习建议1.依纲靠本，着力完善认知结构章建跃博士指出：“在高三数学复习过程中，必须根据知识间的纵横联系系统规划复习和训练，使学生所学的分散知识系统化、网络化，从而完善和优化学生的数学认知结构提高学生的数学素养。高三数学复习课应当教什么，从知识的角度看，我们应该教结构良好的知识；应该教核心概念、主干知识；应该既讲逻辑又讲思想；应该围绕概念的核心进行教学；应当教概念的联系与转化。 ”三角函数思维导图示例：
