1、1第 3 讲 立体几何中的向量方法1(2014课标全国)直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA90， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点， BC CA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.110 25 3010 222(2015安徽)如图所示，在多面体 A1B1D1DCBA 中，四边形AA1B1B， ADD1A1， ABCD 均为正方形， E 为 B1D1的中点，过 A1， D， E 的平面交 CD1于 F.(1)证明： EF B1C；(2)求二面角 EA1DB1的余弦值2以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合
2、，热点为二面角的求解，均以解答的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.热点一 利用向量证明平行与垂直设直线 l 的方向向量为 a( a1， b1， c1)，平面 、 的法向量分别为 ( a2， b2， c2)，v( a3， b3， c3)则有：(1)线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c20.(2)线面垂直l a a k a1 ka2， b1 kb2， c1 kc2.(3)面面平行 v va2 a 3， b2 b 3， c2 c 3.(4)面面垂直 v v0 a2a3 b2b3 c2c30.例 1 如图，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABC
3、D 都是正方形且互相垂直， M 为 AB 的中点， O 为 DF 的中点运用向量方法证明：(1)OM平面 BCF；(2)平面 MDF平面 EFCD.思维升华 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平3行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线 a b，只需证明向量 a b( R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外跟踪演练 1 如图所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC 为等腰直角三角形， BAC90，且 AB AA1， D、 E、 F 分别为 B1A、 C1C、
4、 BC 的中点求证：(1)DE平面 ABC；(2)B1F平面 AEF.热点二 利用空间向量求空间角4设直线 l， m 的方向向量分别为 a( a1， b1， c1)， b( a2， b2， c2)平面 ， 的法向量分别为 ( a3， b3， c3)， v( a4， b4， c4)(以下相同)(1)线线夹角设 l， m 的夹角为 (0 )，则 2cos .|ab|a|b| |a1a2 b1b2 c1c2|a21 b21 c21a2 b2 c2(2)线面夹角设直线 l 与平面 的夹角为 (0 )， 2则 sin |cos a， |.|a |a| |(3)面面夹角设平面 、 的夹角为 (0 )，则|
5、cos | |cos ， v|.| v| |v|例 2 (2015江苏)如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形， ABC BAD ， PA AD2， AB BC1. 2(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；(2)点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长思维升华 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角注意：两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 ，
6、5即 cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化跟踪演练 2 (2014福建)在平面四边形 ABCD 中，AB BD CD1， AB BD， CD BD.将 ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图所示(1)求证： AB CD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值热点三 利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论
7、是否成立解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在6(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论例 3 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB BC2 AA1， ABC90，D 是 BC 的中点(1)求证： A1B平面 ADC1；(2)求二面角 C1 AD C 的余弦值；(3)试问线段 A1B1上是否存在点 E，使 AE 与 DC1成 60角？若存在，确定 E 点位置；若不存在，说明理由思维升华 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题
8、时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法7跟踪演练 3 如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD平面 ABCD， NB平面 ABCD，且 MD NB1， E 为 BC 的中点(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；(2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由如图，五面体中，四边形 ABCD 是矩形， AB EF， AD平面 ABEF，且AD1， AB EF2 ， AF BE2
9、， P、 Q 分别为 AE、 BD 的中点12 2(1)求证： PQ平面 BCE；8(2)求二面角 A DF E 的余弦值提醒：完成作业 专题五 第 3 讲9二轮专题强化练专题五第 3讲 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法A 组 专题通关1已知平面 ABC，点 M 是空间任意一点，点 M 满足条件 ，则直线 AM( )OM 34OA 18OB 18OC A与平面 ABC 平行B是平面 ABC 的斜线C是平面 ABC 的垂线D在平面 ABC 内2.如图，点 P 是单位正方体 ABCD A1B1C1D1中异于 A 的一个顶点，则 的值为( )AP AB A0B1C0 或 1D任意实数3.如图所
10、示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a， M、 N 分别为 A1B 和AC 上的点， A1M AN a，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( )23A相交 B平行C垂直 D不能确定4如图，三棱锥 A BCD 的棱长全相等， E 为 AD 的中点，则直线 CE 与BD 所成角的余弦值为( )A. B.36 32C. D.336 12105已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于( )A. B.64 104C. D.22 326在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别为 A1B1，
11、 BB1的中点，那么直线 AM 与CN 所成角的余弦值为_7在一直角坐标系中，已知 A(1,6)， B(3，8)，现沿 x 轴将坐标平面折成 60的二面角，则折叠后 A、 B 两点间的距离为_8已知 ABCD A1B1C1D1为正方体，( )23 2； ( )A1A A1D1 A1B1 A1B1 A1C A1B1 A1A 0；向量 与向量 的夹角是 60；正方体 ABCD A1B1C1D1的体积为| |.其AD1 A1B AB AA1 AD 中正确命题的序号是_9.如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中， PA底面ABCD， E， F 分别是 PC， PD 的中点， PA AB1， BC2.(1)求证： EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.10(2015重庆)如图，三棱锥 P-ABC 中， PC平面ABC， PC3， ACB .D， E 分别为线段 AB， BC 上的点，且 2CD DE ， CE2 EB2.2(1)证明： DE平面 PCD；(2)求二面角 APDC 的余弦值
