1、第 15 讲 等腰三角形考纲要求 命题趋势1了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定2了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定3掌握线段垂直平分线的性质及判定4掌握角平分线的性质及判定.等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.知识梳理一、等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底_的等腰三角形和_三角形2等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等( 简称为“ 等边对等角”) ；(2) 等腰
2、三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形3等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)二、等边三角形的性质与判定1等边三角形的性质(1)等边三角形的内角相等，且都等于_；(2)等边三角形的三条边都_2等边三角形的判定(1)_相等的三角形是等边三角形；(2)_相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为_的等腰三角形是等边三角形三、线段的垂直平分线1概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫_2性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_3判定
3、：到一条线段的两个端点_的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合四、角的平分线1性质：角平分线上的点到角的两边的距离_2判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的_上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合自主测试1等腰三角形的周长为 14，其中一边长为 4，那么，它的底边长为_2如图，在ABC 中，C90，AD 平分CAB，AD5，AC4，则 D 点到 AB的距离是_3等腰三角形一腰长为 5，一边上的高为 3，则底边长为_4等腰三角形的底和腰是方程 x26x80 的两根，则这个三角形的周长为( )A8 B10 C8 或 10 D不能确定考点
4、一、等腰三角形的性质与判定【例 1】已知：点 O 到ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OBOC.(1)如图甲，若点 O 在边 BC 上，求证：ABAC；解：(1)证明：过点 O 分别作 OEAB，OFAC，E，F 分别是垂足，由题意知，OEOF，OB OC，RtOEBRtOFC，BC，从而 ABAC.(2)证明：过点 O 分别作 OEAB，OFAC，E，F 分别是垂足，由题意知，OEOF .在 Rt OEB 和 RtOFC 中，OEOF ，OBOC，RtOEBRtOFC.OBEOCF.又由 OBOC 知OBC OCB，ABCACB，AB AC.(3)不一定成立当A 的平分线所
5、在直线与边 BC 的垂直平分线重合时，有 ABAC；否则，ABAC ，如示例图方法总结 1要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等2若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“ 三线合一” 性质去处理触类旁通 1 如图，已知 AC BC，BDAD ，AC 与 BD 交于 O，ACBD.求证：(1)BCAD ；(2)OAB 是等腰三角形考点二、等边三角形的性质与判定【例 2】(1)如图甲，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等
6、边三角形 OCD，连接 AC 和 BD，相交于点 E，连接 BC.求AEB 的大小(2)如图乙，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转(OAB 和OCD 不能重叠) ，求AEB 的大小分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于 60的性质全等是解决这类问题最常见的方法解：(1)如图甲图甲DOC 和ABO 都是等边三角形，且点 O 是线段 AD 的中点，ODOCOBOA，1 260，45.又45260，430. 同理，630.AEB4 6，AEB 60.(2)如图乙图乙DOC 和ABO 都是等边三角形，ODOC，OBOA，1 26
7、0.又 OD OA，ODOB，OAOC ，45，67.DOB13， AOC23，DOBAOC.45DOB180，6 7AOC180，2526， 5 6.又AEB 8 5，826，AEB2 552，AEB60.方法总结 1等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等2等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心(四心合一)触类旁通 2 已知，如图，延长ABC 的各边，使得 BFAC，AECDAB，顺次连接 D，E ，F ，得到 DEF 为等边三角形求证：(1)AEFCDE；(2)ABC 为等边三角形考点三、线段的垂直平分线【例 3】如图，ABC 的
8、周长为 30 cm，把 ABC 的边 AC 对折，使顶点 C 和点 A 重合，折痕交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E，连接 AD，若 AE4 cm，则ABD 的周长是( )A22 cm B20 cm C18 cm D15 cm解析：由题意可知 DE 为 AC 的垂直平分线，所以 ADCD，AC2AE8 cm.因为ABC 的周长为 30 cm，所以 ABBCAC 30 cm，所以 ABBC22 cm.所以 ABD 的周长为 ABBD ADABBC22 cm.答案：A方法总结 1线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这
9、条线段2线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题触类旁通 3 如图，在 RtABC 中，C90 ，CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D，若 DE垂直平分 AB，求 B 的度数考点四、角的平分线【例 4】如图，已知 CDAB 于点 D，BE AC 于点 E，且 CD，BE 相交于点 O.求证：(1)当12 时，OB OC；(2)当 OBOC 时，12.证明：(1)1 2，CD AB，BE AC，OEOD.34，CEOBDO 90 ，OECODB.OBOC.(2)34，CEO BDO90，OBOC，OECODB.OEOD.CDAB，BEAC，OA
10、 平分CAB .12.方法总结 在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线触类旁通 4 如图，OP 平分 AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为 A，B.下列结论中不一定成立的是( )APAPB BPO 平分APB C OA OB DAB 垂直平分 OP1(2012 贵州铜仁)如图，在 ABC 中，ABC 和 ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作MNBC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BMCN9，则线段 MN 的长为( )A6 B7 C8 D92(2012 江西南昌)若等腰三角形的顶角为 80，则它的底角是( )A20 B 50 C60 D803(201
11、2 浙江宁波)如图，AE BD，C 是 BD 上的点，且 ABBC，ACD110，则EAB_度4(2012 广东广州)如图，在等边 ABC 中，AB6，D 是 BC 上一点，且BC3BD ，ABD 绕点 A 旋转后得到ACE，则 CE 的长度为_求证：(1)ABDACD；(2)BECE.1如图，坐标平面内有一点 A(2，1) ，O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为( )A2 B3 C4 D52如图所示，A，B，C 分别表示三个村庄，AB1 000 米，BC600 米，AC 800 米，在社会主义新农村建设中
12、，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 的位置应在( )AAB 中点 BBC 中点 C AC 中点 DC 的平分线与 AB 的交点3在ABC 中， B 和C 的平分线交于点 F，过点 F 作 DFBC，交 AB 于点 D，交AC 于点 E，若 BDCE9，则线段 DE 的长为( )A9 B8 C7 D64如图，P，Q 是ABC 边 BC 上的两点，且 QCAP AQBPPQ，则 BAC( )A125 B 130 C90 D1205如图，在ABC 中，BC 8，AB 的中垂线交 BC 于点 D，AC 的中垂线交 BC 于点E，则 ADE 的周长等于_6如图，已知ABC 是等边三角形，点 B，C ，D ，E 在同一直线上，且CGCD，DFDE，则E _度7已知等腰ABC 的周长为 10，若设腰长为 x，则 x 的取值范围是_8如图所示，在ABC 中，D，E 分别是边 AC，AB 上的点， BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形(用序号写出所有情况) ；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明ABC 是等腰三角形
