1、 1二次函数二次函数的图象及其性质 编写：赵化中学 郑宗平知识点：1、二次函数的定义：形如 （ abc、为常数，且 a0）的函数. 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）.2、二次函数的图象：二次函数的图象是一条 ；是 对称图形.3.二次函数的性质：.特殊形式：.抛物线 2yax0的对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当 a 0，开口向上；当 0，开口向下 .增减性：当 a0时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 ；当 时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 .最值：当 a0， 时， 取最 值为 ；当 ， 时， 取最 值为 .抛物线 2yaxk的对称轴为 .顶点坐标为 （
2、）.开口方向：当 a0，开口向上；当 0，开口向下.增减性：当 a0时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 ；当 时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 .最值：当 0，x时， 取最 值为 ；当 a， 时， 取最 值为 .抛物线 2yaxh的对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当a0，开口向上；当 0，开口向下.增减性：当 a0时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 ；当 时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 .最值：当 a0，xh时， y取最 值为 ；当 a， h时， 取最 值为 .配方形式： 2axhk抛物线 20对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当 0，开口向上：当 0，
3、开口向下 .增减性：当 a0时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 ；当 a时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 .最值：当 a0， h时， 取最 值为 ；当 ， xh时， 取最 值为 .若把抛物线 2ya进行平移：. 向 平移 k个单位可以得到 2ak0；.向 平移 0个单位可以得到 2yxha；.向 平移 h个单位，再 移 个单位可以得到 2yaxhka0.一般形式： 2yaxbca抛物线 0对称轴为 .顶点坐标为 （ ）.开口方向：当 a 0，开口向上；当 0，开口向下.增减性：当 a0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而 ；当 时，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 .最值：当 a0
4、，bx2a时， y取最 值为 ；当 a0， bx2a时， y取最 值为 .例题解析：例 1、选择题：.对于抛物线 21yx3，下列结论：.抛物线开口向下；.对称轴是直线 x1；.顶点坐标为 ,3；.当 1时， y随 x的增大而减小.其中正确的个数为 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4.在同一平面直角坐标系中，直线 ab和抛物线 2yaxbc的图象可能是 （ ）例 2、填空题：.二次函数 2yx4的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .若函数 2mx1是二次函数，则 m= ，其图象的顶点坐标为 .如果抛物线 6c在 轴上，则 c的值为 .如图二次函数 22yx45的大致图象，则 = .
5、已知抛物线 4有两点 ,121P3yy、，则 12y、的大小关系为 1y 2y.（填“”、“”或 “=”）. 二次函数 2yaxbc的部分点的坐标满足右表，则该函数顶点的坐标为 ， m .已知二次函数 的图象的开口方向向上，顶点在第三象限，则点 ,2bA4ac在第 象限.例 3、已知抛物线 2yx3求抛物线的对称轴和顶点坐标；.画出抛物线的大致图形，并用虚线标出对称轴；.观察图象，你能得出哪些结论？请至少写出三条. 例 4、已知抛物线 2yx45.xy 123 1 2 3123123OAxy O B xyO D xyOCx O xyO2求此抛物线顶点的坐标以及抛物线与坐标轴交点的的坐标；.画出
6、抛物线的大致图形；.求顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.追踪练习：1.选择题：.如图，抛物线 21yax3与 221yx3交于点 ,A13，过点 作 x轴的平行线，分别交两条抛物线于 BC、两点，则以下结论：. a ；.无论 取何值， 的值总是正数；. BC.当 x0时， 21y4； 其中正确的结论是 （ ）A. B. C. D.若 ,12335AyByC44为二次函数 2yx45的图象上的三点，则12y、的大小关系是 （ ）A. 3 B. 213y C. 312 D. 132y.若抛物线 2yxc与 轴的交点为 ,0，则下列说法不正确的的是 （ ）A.抛物线的开口向
7、上 B.抛物线的对称轴是 xC.当 x1时， 取最大值为 4 D.抛物线与 轴的交点为 ,0、2.填空题：.抛物线 2y4x83的开口方 ，对称轴为 ，顶点坐标为 .已知下列函数：. 2y；. 2yx；. 2yx1.其中，图象通过平移可以得到 2的图象有 .（填序号）.在二次函数 x1的图象中，若 随 的增大而增大，则 x的取值范围是 .二次函数 2yabc的部分点的坐标满足右表，则该函数顶点的坐标为 . 已知二次函数 2yxc的图象的开口向下，顶点在第一象限，则点 ,cAba在第象限.已知抛物线 2m31的对称轴在 y轴的右侧，最大值为 2，则 m= .若抛物线 2yx4x3的顶点在 轴上，
8、则此抛物线的开口方向 ， 有 （填最大值或最小值），写出此抛物线的解析式 .如图两条抛物线 ,2211yxyx分别经过 ,20 且平行于 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 . .已知函数 2a5yax31的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么 a的取值范围是 .二次函数 mn的图象如图所示，则一次函数ymxn的图象经过 象限.3、已知二次函数 2yxb3的图象经过点 ,30.求 b的值；.求出该二次函数顶点的坐标和对称轴；.在所给的坐标系中画出 2x的图象；.若抛物线 2yxb3与坐标均有交点，请求出顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的几何图形的面积.4、如图所示，已知二次函数
9、2yx1的图象的顶点为 A,二次函数2yaxb的图象与 x轴交于原点 O以及另一点 C,它的顶点 B在函数1上的图象的对称轴上. .求点 A以及点 C的坐标；.当四边形 OB为菱形时，求 2yaxb的关系式. .求四边形 为菱形时的面积.九年级数学上期二次函数单元专题复习资料 求二次函数的解析式问题知识点：1、待定系数法的一般步骤:设出解析式的形式 代入 解答并求出待定系数的值 返回写出解析式.2、常见的求二次函数解析式的方法和途径：.一般式：.设出二次函数的一般式为： 2yaxbc0a；.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；.进行解答并求出求出待定系数的值；.最后返回写解出解析
10、式.顶点式：xyCBAO xy 123 1 2 3123123O xy12123212O21xyOxyy2y1123 12323412O3.设出二次函数的顶点式为： 2yaxmna0；.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为 ,ab，则 ,manb；.进行解答并求出求出待定系数的值；.最后返回写解出解析式.交点式：.设出二次函数的一般式为： 12yaxa0；这里的 12x、是抛物线与 x轴交点的横坐标；.代入 12x、和另外一个条件的值；.进行解答并求出求出待定系数的值；.最后返回写解出解析式. 特殊式：.设出二次函数的特殊式：若顶点为原点可设为 2yax0的形式；若顶点在 y轴
11、上可设为 2yaxk0的形式；若顶点在 x轴上可设为 ha的形式；.代入条件构成方程或方程组；.进行解答并求出求出待定系数的值；.最后返回写解出解析式.平移式平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如 2yaxmna0；.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移 k0单位：向右平移则在 m数据上减去 k，向左平移则在 m数据上加上k；若上下平移 h单位：向上平移则在 n数据上加上 h0，向下平移则在 n数据上减去.一句话：左右平移决定配方式括
12、号里 数据的变化，口诀是“左加右减”；上下平移决定配方式括号外后面 n数据的变化，口诀是“上加下减”.对称式.抛物线关于 x轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数. .抛物线关于 y轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. .抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.例题解析：例 1、二次函数 2yaxbc的图象是过点 ,5A1B04C02、的一条抛物线.求这个二次函数的关系式；.求这条抛物线的顶点 D的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线；. x为何值时，函数有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少?. 在什么范围内，
13、y 随着 x 的增大而增大?.求四边形 OBC的面积例 2、有一抛物线的拱形桥洞，桥洞顶离水面最大高度为4m，跨度为 10，把它图形放在直角坐标系中（见示意图）.求此抛物线所对应的函数关系式；.在对称轴右边 处桥洞离水面高是多少米？例 3、已知抛物线经过 ,A30B2C14、，求抛物线的顶点的坐标？变式：若把上面例题中坐标“ 0、”改为“ ,A14B、”其余条件不变，又该如何求出抛物线的顶点坐标呢？例 4、已知 Rt CV中， 9A250o、 ；若以边AB所在的直线为 x轴，Rt B 斜边 的高 OC所在的直线作为 y轴建立平面直角坐标系（见图示）.请至少用三种不同求解析式方法求出过 B、三点
14、的抛物线的解析式；.求出问中抛物线的顶点的坐标和对称轴. 追踪练习：1、分别写出抛物线的顶点为原点，抛物线过原点，抛物线的对称轴为 y轴，物线的与 x轴有且只有一个交点的解析式各至少两个.（答案不唯一）2、分别按条件写出平移后的解析式：.抛物线 2yx41向左平移 3 个单位后的解析式是 ；.抛物线 6向下平移 4 个单位后的解析式是 ；.抛物线 2先右平移 2 个单位后再下平移 3 个单位的的解析式是 .3、根据给出条件求，二次函数的解析式：.已知二次函数图象顶点在 y轴上，且过 ,A16B2、两点；.已知二次函数图象顶点在 x轴上，且过 08两点；.已知二次函数图象对称轴为直线 2，且经过
15、点 ,4和 ,50；.已知二次函数图象经过 ,A1C3、三点；.已知二次函数图象经过 ,30B1三点；.已知二次函数图象经过 ,6、三点；.与已知抛物线 2yx4关于直线 x对称. xy 4m1m0 MO xyCBAO xy24246810214O 4图44、在一幢建筑物里 10 米高的窗台处有一水管斜着向外喷水，如图所示，喷出的水在垂直于墙壁的竖直平面内形成一条抛物线，其顶点距离墙 1.5 米远，并且落在离墙 4 米处的地面上，求抛物线的顶点比喷射点高多少米？5、已知抛物线的顶点 M坐标为 ,-23，且过点 A15、，求此抛物线的解析式？6、已知二次函数当 x1时，函数 y有最大值 0，且经
16、过点 4、.求该二次函数的解析式；.如何平移该二次函数的图象，使平移后的抛物线的顶点在 ,B23上？.写出平移后的点 A的对应点 的坐标是多少？7、如图，抛物线 2yaxbca0的顶点为 A,与坐标轴的交点分别为 BC、.根据图中标示：.求此抛物线的解析式；.请顺次连结 A、，试求 ABCV的面积. 8、如图抛物线的顶点为 ,3，此抛物线交 x轴交于 OB、两点.求此抛物线的解析式；.求 OB的面积；.若抛物线上另有一点 P满足 S OB= A,请求出 P的坐标. 9、如左图，在平面直角坐标系中，抛物线 21yx经过平移得到抛物线 21yx.抛物线是如何平移的？.求出其对称轴与两段抛物线所围成
17、的阴影部分的面积？（阴影部分见示意图）10、如右图，一抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角坐标系中横轴与纵轴的单位长度都是 1.求助此抛物线的解析式；.若将此抛物线先向右平移 4 个单位，再向下移 2 个单位，请化出平移后的图象，并写出平移后抛物线的解析式；.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点间的距离；.求出最初的抛物线和平移后的抛物线两个顶点所在直线的解析式.11、如图，已知抛物线 2yaxbc经过 ,A03BC43、.求抛物线的解析式；求抛物线的顶点的坐标和对称轴；.把抛物线向上平移，使得顶点落在 x轴上，直接写出两条两条抛物线、对称轴和 y轴围成的图形的面积 S(图中阴影部
18、分）.12、如图，在矩形 OABC中， ,10AB8,沿直线 CD折叠矩形 OABC的一边 ,使点 落在 边上的点 E处，抛物线 2yaxbc经过OD、三点.求 的长； .抛物线的解析式.九年级数学上期二次函数单元专题复习资料 二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程 2axbc0a，设抛物线 2yaxbca0. 2b4c0、 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与 x轴有两个不同的交点. . 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与 轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. 2b4ac0、 一元二
19、次方程方程无实数根，则抛物线与 x轴无交点. 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与 轴有交点.2.二次函数与一元二次不等式的关系：已知一元二次不等式 2xbc0a或 2xbc0a，设抛物线2yaxbca0，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.当 时：.若抛物线与 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间；.若抛物线与 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. 当 a0时：.若抛物线与 x轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边；.若抛物线与 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体.
20、xy1123212CBAOx y =12x y =12xO xy-3-3OxyEDCBOxy12345 23453456723Oxy433CBAO xy433CBAO 1 xy11BACO5例题解析：例 1、已知二次函数 2yaxbc0的图象如图，且OAB,有以下结论：. ；. =-24acb1；. abc0;. 2b4ac0；. 4；. ；. .其中正确的有 （填序号）.例 2、已知二次函数 2yxm的部分图象如图所示.求关于 x的一元二次方程 0的解；.根据图象写出不等式 的解集. 例 3、已知二次函数 22yx.求证：对于任意实数 ，该二次函数的图象与 x轴总有公共交点；.若该二次函数的
21、图象与 轴有两个公共点 AB、，且点 坐标为,10，求点 B的坐标.例 4、二次函数 2yaxbc0的图象如图所示，根据图象解答：.写出方程 的两根；.写出不等式 的解集；.写出 随 的增大而减小的自变量的取值范围；.若方程 2axbck有两个不相等的实数根，求 k的取值范围. 追踪练习：1、选择题：.已知二次函数 2yx的图象与 x轴的一个交点的坐标为 ,10，则它与 x轴的另一个交点的坐标为 （ ）A.,0 B.,0 C.,2 D.,10.已知函数 2yk3x1的图象与 x轴有交点，则 k的取值范围是 （ ）A.k4 B. 4 C. 4且 k3D. 4且 k3.已知二次函数 abc的 与
22、y的部分对应值如右表，则下列判断正确的是 （ ）A.当 x0时， B.抛物线与 轴交于负半轴C. y抛物线开口向上 D.方程 2axbc0的正根在 3 和 4 之间.2、填空题：.已知抛物线 2yaxc与 轴一个交点的坐标为 ,1，则一元二次方程 0的根为 . 如图是二次函数 bxa0的图象，则 2axbc0时 x= ； 2xc时 的取值范围是 ； 时 的取值范围是 .若 2yxmx1在 轴上截得的线段长为 6，则 m= .如图是二次函数 2yabc0的图象，有以下结论：. ab0；. 0；. ；. a2b4c0；. 32. 其中正确的有 （填序号）.3、已知二次函数 2yxm1.若该二次函数
23、的图象与 轴只有一个交点，求 m的值；.若该二次函数的图象与一次函数 yx2的图象只有一个交点，求 m的值.4、已知二次函数 2k5 .求证：无论 取何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个交点；.若此二次函数图象的对称轴为 1，求它的解析式；.若中的二次函数的图象与 x轴交于 AB、，与 y轴交于点 C；D是第四象限函数图象上的点，且 ODC于 H,求点 D的坐标5、已知二次函数 22ym86.求证：不论 取何实数，此函数的图象都与 x轴有两个交点，且两个交点都在 x轴的正半轴.设函数的图象与 x轴交于 B、两点，与 y轴交于 点，若 AB的面积为 48，求 m的值.九年级数学上期二次函数单元
24、专题复习资料 利用二次函数的解决实际问题举例利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.下面我就本专题作简单的分类举例：题目一：利用二次函数解决面积问题例 1、如图，在矩形 ABCD中， ,6cmBC12c；点 P从点 A点开始沿 B边向点 一每秒 cm的速度运动；点 Q从点 点开始沿 边向点 一每秒 2cm的速度运动；若 PQ、分别同时从 、同时出发，设 S表示 PV的面积, x表示运动时间.求出 S与 x的函数关系式，并直
25、接写出自变量 的取值范围；.求出 的最大值或最小值，并说明理由. 例 2、如图，抛物线经过 ,10A10B5C3、三点，设 ,Exy是抛物线上一动点，且在x轴的下方，四边形 OEF是以 为对角线的平行四边形.求抛物线的解析式；.当 ,Ey运动时，试求平行四边形 OEF的面积 A与 x之间1x3xy12 1O xy11232123Oxy1-6Oxy31O 2 xyHDBACODBCPQ xyFBACOE6的函数关系式，并求出最大面积；.是否存在着样的点 E，使平行四边形 OEBF为正方形？若存在，求 点和 F的坐标；若不存在，请说明理由.题目二：利用二次函数解决利润等代数问题例 1、某商场一商场
26、某产品每件成本 10 元，试销阶段发现每件产品的销售价 x（元）与产品销售量 y（件）之间的关系如下表，且日销售量 y（件）与是偶家 x（元）是一次函数.求出日销售量 y（件）与是偶家 x（元）的函数函数关系式.要使每日的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大利润是多少？例 2、千年古镇赵化的某宾馆有 50 个房间供游住宿，当每个房间的房价为每天 180 元，房间会全部住满；当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元，设每个房间的房价每天增加 x元（ 为 10 的正
27、整数倍）.设一天的房间数为 y，直接写出 y与 x的函数关系式及自变量 x的取值范围；.设宾馆一天的利润为 W元，求 与 的函数关系式；.一天订住多少房间时宾馆的利润最大？最大利润是多少？题目三：利用二次函数解决抛物线形问题例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在 AB时，拱桥顶离水面 2 米（见图示），水面 宽为 4 米；若水面下降 1 米，水面 CD宽度增加多少米？追踪练习：1、某店经营文具用品，已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件文具售价不能高于 40元.设每件文具的销售单价上涨
28、 x元时（ 为正整数），月销售利润为 y元.求 y与 x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围；.每件文具的售价定为多少元时，月销售利润恰好是 2520 元？.每件文具的售价定为多少元时刻使月销售利润最大？最大月利润是多少？2、某农户计划现有的一面墙再修四面墙，建成如所示的长方体水池，培育不同品种鱼苗.他已备足可以修高 .15m、长 8的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直于的三面墙的长度都为 x，即 ADEFBCx(不考虑墙的厚度).若想水池的总容积为 36， 的值应为多少？.求水池的容积 V与 的函数关系式，并直接写出 x的取值范围.若想使水池的容积 最大， 应为多少？最大容积是多
29、少？3、如图是一个抛物线的桥拱示意图，桥的跨度 AB为 100 米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为 10 米（不考虑立柱的粗细），其中距 点 10 米处的立柱 FE的高度为3.6 米.求正中间的立柱 OC的高度；.是否存在一根立柱，其高度恰好是 OC 的高度的一半？请说明理由.4、身高为 .18m的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为 .305m，小王站在与篮圈中心的水平距离 4的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线；当球运行的水平距离为 .25时，球达到距离地面 .35m的最高点.，运行一段时间后篮球最后恰好落入篮圈.请建立适当的坐标系，并以此求出球的运动路线的解析式；.若篮球在小王的头顶上方 .02出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少米？.若是身高 .26m的姚明练习定点投篮，球的运动路线也和本题的一样，球在姚明头顶上方 .34处出手，则姚明应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮球准确落入篮圈？A BFCOECFDBAE.25m4.3.05
