1、- 1 -第 4 讲 集合的概念与运算 本讲内容包括集合及其性质（集合的元素满足确定性、互异性、无序性） ；元素与集合、集合与集合的关系（属于、包含、子集、空集、全集） ；集合的运算（交、并、补）及容斥原理等。“交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：若 ，则 ； 若 ，则 ；ABABAB；;()()C；()()();ABCAI I I ; I I I .B()BA容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的
2、元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此类计数公式通称为容斥原理。 “容”意指这些子集的并集是原集合， “斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以 表示有限集合 中元素的个数，参照 Venn 图可以得到如下计数公式:|XX|ABAB|ABCBCA A 类例题例 1 已知数集 ，2,(1),3Aaa。5Bb若 ，求实数 的值。A,分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性，集合 中三个元素有且仅有一个为 1。椐此可求出 ，进而求出 。ab解 由 ，得 。B1AA BA BC- 2 -21;()02;3.
3、aa或 或由集合 中三个元素有且仅有一个为 1，得 ， 。A0,1,23A1,5Bb由 ，得 。B23b或因此，所求实数为 或 。0,a0,3ab例 2 集合 |1284,MumnllZ6Npqrp的关系是 （ ）ABCMND（1989 年全国高中联赛）分析 1 通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断。解 1 ，而 可取任意整数，得集合 表示 4 的284(32)mnlnl32mnlM倍数的集合，即 。|,MukZ，设 ，得 。06(5)pqrpqr,0pqkr|4,NukZ所以， ，应选 。NA分析 2 本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法
4、是“若 ，则 ”；证明集合相等关系的一般方法是“若 aB,AB则 ”。AB解 2 若 。设 ，则1284uMmnl,2,5rnqlp。016upqrN若 。设 ，则0162upqr,pqlr。284mnlM由 。所以应选 。NA例 3 已知 ， 。222(,)|,(,)|()1xyxyaAMN（1） 若 ，求实数 的值；|3Aa（2） 若 ，求实数 的取值范围。分析 首先应对题中的集合语言进行解读。 ，意为由集合 分别表示的两MN,MN- 3 -个方程组成的方程组的解集。 （1）是求实数 的值，使上述方程组有 3 解；（2）是求实数a的取值范围，使上述方程组无解。a解 由 （*）222,(1)
5、0(),yxyya。21454a当 时， ，原方程组无解；5a0当 时， ，原方程组有两解；432yx当 时， ，方程（*）有两个不等的实根 。5a012,y由 ，得方程（*）两根中，一根为正数另一根为 0 时，原方程组有 3 解；方程2xy（*）两根均为负根时，原方程组无解。由 ，经验算， 时，原方程组有 3 解；2101a1a由 ，即 时，原方程组无解。2a所以，若 ，实数 ；|3A1若 ，实数 的取值范围是 或 。a1a54情景再现1已知数集 ，求实数 的值。0,12,|1aaa（1999 年第十届“希望杯”高一）2若 是单元素集合，则实数 的值为2|54Axx（ ）不存在这样的实数33
6、BCD（1990 年江苏省数学竞赛）3数集 与数集 之间的关系是 |(21),XxnZ|(41),YymZ（ ）AYBYCXD（1984 年全国高考题）B 类例题例 4 设集合 满足： ，,ABXBXA- 4 -。ABX若 为已知集合，求集合 。,AB分析 在研究集合之间的运算时，应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质。 解 1 由 XAB设 或xx因为 ，得，即 。ABxX或 ()()xAXBA由 ，得 。x又 ABAX所以， 。X解 2 由 ，B所以， 。()()()ABXA例 5 已知集合 ，2|240xRax，|(3)3a若 ，求实数 的取值范围。ABa分析 由题意，两个一元二次方程
7、 和2()240xa中，至少有一个方程有实数解。采用直接方法是求两个方程有22(3)30xaxa解集合的并集；或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集。解 1 由二次方程 ，得2()240xa；2()4()162aaa或由二次方程 ，得2330xxa；22 73(3)4()4812a a由 ，得所求实数 的取值范围是ABa- 5 -73|62|273|, .aa或 或解 2 由解 1，得。12620 73|6273aMaa 或或由 ，得所求实数 的取值范围是ABR M73|6,2.2aa或例 6 不大于 1000 的自然数中，既不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数共有多少个？分析 若不大
8、于 1000 的自然数集合为全集 ，其中 3 的倍数的集合为 ，5 的倍数的I A集合为 。则要求的是| I |。B()AB解 设不大于 1000 的自然数集合为全集 ，其中 3 的倍数的集合为 ，5 的倍数的集I合为 ，则。101010|3,|2,|655AAB因此， 。|347BA所以，不大于 1000 的自然数中，既不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数共有 |I |()AB（个） 。10|53情景再现4已知 ， ，且222|190,|560AxaBx2|80Cx，C（1）若 ，求实数 的值；B（2）若 ，求实数 的取值范围。Aa5若非空集合 ，则能使 成立的所|2135,|32xBxAB
9、有 的集合是 （ ）a|19|69|9ABaCaD（1998 年全国高中数学联赛）6某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计：数学有 21 人优秀，物理有 19 人优秀，化学有 20 人优秀，数学和物理都优秀的有 9 人，物理和化学都优秀的有 6 个，数学和化学都优秀的有 8 个。若该班有 7 人数学、物理、化学三科中没有一科优秀，试确定该班总人数 的范围及仅数学一科优秀的人数 的范围。Sx- 6 -C 类例题例 7 设 ， ，,abR(,)|,AxynabnZ，2(,)|,315Bxmy，2,|4C是平面 内的点集，讨论是否存在 使得XOY,ab（1） ；AB（2） 同时成立。 （1
10、986 年全国高考题）(,)abC分析 首先应对题中的集合语言进行解读。 ，意为由集合 分别表示的两AB,AB个方程组成的方程组有整数解； ，则给出了 的允许值范围。(,)abC,ab解 集合 可分别化简为 ，, (,)| xyabxZ。2(,)|315BxyxZ，22150abab221(5)48(6)仅当 且 时， ，方程组有解。此时，原方程组的解为6b3(14)ab0由于，原方程组的解不是整数解，所以满足条件的实数 不存在。 3,24.xy ,ab例 8 一次会议有 2005 位数学家参加，每人至少有 1337 位合作者，求证：可以找到 4位数学家，他们中每两人都合作过。分析 按题意，可
11、以构造一种选法，找出符合条件的四位数学家。解 由题意，可任选两位合作过的数学家 ，设与 合作过的数学家的集合为 ，,abA与 合作过的数学家的集合为 。则 ，bB|137A。又 。于是，|137B|205A。| | 20569因此，在集合 中，有数学家且不是 。从中选出数学家 ，并设与 合作过的,abcc数学家的集合为 。则 ， 。于是，C|()|ABC|137- 7 -|()|691372051ABCABC因此，在集合 中，有数学家且不是 。又可从中选出数学家 。则数学家,abcd，他们中每两人都合作过。即原命题得证。,abcd情景再现7设 ， ，2()(,)fxbcR|(),AxfxR。若
12、集合 是单元素集，则 。|,B B8计算不超过 120 的合数及质数的个数。习题 41已知集合 ，2|4,MxttR，| ,Nyx，2(,)|4,Px则集合 的关系是 （ ）,MANBMNPCPD2由 能够推出 （ ）IIIIMNPN（1985 年上海数学竞赛）3设 R, 。若 A 不是 B 的真子集，则 aa2|1,|1|AxaBxRa的取值范围是 ( ) 1220BCD或4已知 ，又 ，求实数 的取值范围。(,)|1,(,)|AxyaxyABa5 设 ，|2,|23,x且 ，求实数 的取值范围。 |,CzxCBa6 设 ，求证：2|,MaxyZ（1） 一切奇数属于 ；- 8 -（2） 形如
13、 的数不属于 ；42()kZM（3） 中任意两个数的积仍属于 。M7 设 ，则集合 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个|106,AnnNA数为_。 （1994 年江苏省数学竞赛） 8已知对任意实数 ，函数 都有定义，且 ，如果集合x()fx22()()xff不是空集，试证明 是无限集。 （1994 年江苏省数学竞赛）2|()AafA9设 是坐标平面上的两个点集， ，若对任何 都有,B22(,)|rCxyr0r，则必有 。rrCB此命题是否正确？ (1984 年全国数学联赛)10设 为满足下列条件的有理数集合：S（1）若 ，则 ；,ab,abS（2）对任意一个有理数 ，三个关系 有
14、且仅有一个成立。r,0rSr证明： 是由全体正有理数组成的集合。 （1972 年奥地利数学竞赛）S答案情景再现1 设 ，经检验符合题意；01a，经检验不合题意；|，经检验符合题意。故所求的值为 。2 集合 表示不等式组 的解集。当两个不等式的解集有共同的边界点，或A2540xa者两个不等式的解集中，有一个是单元素集时，不等式组解集有可能为单元素集。由此，不等式 可化简为 ，当 时 ，此不等式的解集为单元素254xa21xa2a集。故应选 。 B3 由 与 都表示全体奇数，所以， 。故应选 。1()nZ1()mZXYC4 ，2|5602,3x。|84,C（1） 由 且 ，得 3 是集合 的元素。
15、将 3 代入方程AABA，得 ，解此方程得 或 。经检验，所求22190xa2310a2a5- 9 -实数 的值为 ；a2（2） 由 ，又 ，所以集合 为 或 由（1） ，ABACA3.不可能。当 则3,2 2572574(19)0.33aaa或因此，所求实数 的取值范围是 。或5 即 。因此，ABA。所以，应选 。21395aa A6 设 该班数学成绩优秀的学生 A该班物理成绩优秀的学生B该班化学成绩优秀的学生 C则 |21,|9,|20,|9,CAB68.Ak|2190637.ABCABk由 是 的子集，得C,A。min8kk因此， 。370376450SS|()|(|3719206)4I
16、IIxABBCCk因此， 。x所以，该班总人数 的范围是 ；S450S仅数学一科优秀的人数 的范围是 。x1x7 若集合 是单元素集，设 即 ，则AA2()()f， 2()fxx222()1)(10).xxxfxBA- 10 -8 不超过 120 的合数的质因数 ，因此不超过 120 的合数必定是质数1202，3，5，7 的倍数。设 ，|120InN， ，A中 的 倍 数 3BI中 的 倍 数， 。5CI中 的 倍 数 7D中 的 倍 数则 120120|6,|4,3|4,|7,5120120|,|8,335ABBC|,|,57CD120120|8,|,75D|4,35120|,7| ,3ABCD120|,57B| 0.3AC不超过 120 且是 2，3，5，7 的倍数共有6041085412093.所以，不超过 120 的合数共有 （个） （除去四个质数） ；93不超过 120 的质数共有 （个） （1 不是质数） 。20习题 41 由 ，得 。又集合 表示数集， 表22()xx(,2MN,MNP示点集，所以， 。故应选 。MNPB2 解 1 设 ，,34,1,5,5P则 。
