1、1第八章 空间解析几何与向量代数1自点 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐00,zyxP标。解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。平面，垂足 的坐xoyDP0D标为 ；,平面，垂足 的坐标yzE0E为 ；,平面，垂足 的坐标为 ；zoxFP0F0,zx轴，垂足 的坐标为 ； 轴，垂足 的坐标为AA,0yBPB；,0y轴，垂足 的坐标为 。zCP0,z2在 平面上，求与三点 、 和 等距离的点。yo2,13A2,4B1,50C解：设所求点为 则,0zyP， ，2223| A222| zyP。15|zyC由于 与 、 、 三点等距，故 ，PB22|CBA于是有： ， 解
2、此方程组，得 ，22222 1543zyzy 1y，故所求的点为 。z,10P3已知 ， ，求 的模、方向余弦与方向角。2,1M3221M解：由题设知： 则,0,1 zC0,zyE0,zxF0,xPOBA,0yxD2,21221 M， ， ，coscoscs于是， ， ， 。32434已知 ， ， ，求下列各向量的坐标：1,5a,2b3,1c(1) ；(2) ；(3) ；(4)2ca3.bnam解：(1) ；(2) ；(3) ；,065,8c23,01642c(4) .,25,3nmbna5设向量的方向余弦分别满足(1) ；(2) ；(3)0coscos，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
3、0cos解：(1) ，向量与 轴的夹角为 ，则向量与 轴垂直或平行于x2x平面；yz(2) ，向量与 轴的夹角为 ，则向量与 轴同向；1cosy0y(3) ，则向量既垂直于 轴，又垂直于 轴，即向量垂直于0x面。xy6分别求出向量 ， 及 的模，并kjiakjib532kjic2分别用单位向量 ， ， 表示向量 ， ， 。bca解： ， ， ，31|22 38|22， ， 。b38| 2c c37设 ， 和 ，求向量kjim85kjin74kjip45在 轴上的投影及在 轴上的分向量。pna4xy解： kjikjikji233 kji1573故 在 轴上的投影为 13，在 轴上的分向量为 。x
4、yj38在 坐标面上求一与已知向量 垂直的向量。xoz 4,32a解：设所求向量为 ，由题意，0,zxb420a取 ，得 ，故 与 垂直。当然任一不为零的数 与10zx1,2a的乘积 也垂直 。b9求以 ， ， 为顶点的三角形的面积 。3,2A5,4B7,CS解：由向量的定义，可知三角形的面积为 ，因为ACBS21， ，所以,B,C，4,12642kjiA于是， .692212kjiS10求与向量 ， 都垂直的单位向量。1,0a,b解：由向量积的定义可各，若 ，则 同时垂直于 和 ，且caab，kjikjibac23210因此，与 平行的单位向量有两个：和kjikjibac 2314231|
5、2 .14ji11设三向量 ， ， 满足 ，试证三向量 ， ，abc0abcaab共面。c4证：由 有,0acba.两边与 作数量积，得c.,caba由于 ， ，所以 ，从而 ， ， 共面。0,cb00,babc12将 坐标面上的抛物线 绕 轴旋转一周，求所生成的旋转曲xozxz52面的方程。解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为 ，即 。xzy52xzy5213画出下列各方程所表示的曲面：(1) ；(2) ；(3) 。22ayx 1492z2xz14指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？zyx(1)z2y3x(2)zOy2（3
6、）xa/2 o5(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。2x1xy42y12yx方程 在平面解几中表示 在空间解几中表示2x平行于 轴的一直线y与 平面平行且过 的平面yoz0,21y斜率为 1，在 轴截距为 1 的直线 平行于 轴，过 (0,1,0)，(-1,0,1)的平面42x圆心在原点，半径为 2 的圆 以过 轴的直线为轴，半径为 2 的圆柱面z1y双曲线 母线平行于 轴的双曲柱面z15说明下列旋转曲面是怎样形成的？(1) ；(2) 。1422zyx22yxaz解：(1)由 坐标面上的双曲线 ，绕 轴旋转一周或是 坐标o142 yoz面上的双曲线 ，绕 轴旋转一周得到。142zyy(2)
7、是 坐标面上关于 轴对称的一对相交直线 ，即o 2yaz和 中之一条绕 轴旋转一周；或是 坐标上关于 轴对称ayzayzzxoz的一对相交直线 ，即 和 中之一条，绕 轴旋转一2xaxz周。16指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？(1) ；(2)3215xy.1942yx解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示6椭圆柱面 与其切平面 的交线。1942yx3y17分别求母线平行于 轴及 轴而且通过曲线 的柱面x01622yzx方程。解：1 0从方程组中消去 得： ，
8、此方程即母线平行于 轴x1623zy x且通过已知曲线的柱面方程；20从方程组中消去 得： ，此方程即母线平行于 轴且通y2z y过此曲线的柱面方程。18求球面 与平面 的交线在 面上的投影的方程。922zx1zxxo解：由 ，得 ，代入 ，消去 得1zz922zyz，即 ，这就是通过球面 与922xyx 82x 922yx平面 的交线，并且母线平行于 轴的柱面方程，将它与 联系，得：z z0z，即为所求的投影方程。082219求平面 与 面的夹角。05zyxxoy解： 为此平面的法向量，设此平面与 的夹角为 ，则1,2n xoy，故 。31,|cosk 31csAr20分别按下列条件求平面方
9、程(1)平行于 面且经过点 ；xoz,52(2)通过 轴和点 ；,13(3)平行于 轴且经过两点 和 。x,047,1解：(1)因为所求平面平行于 面，故 为其法向量，由点法式可xoz0j得：7，035120 zyx即所求平面的方程： 。(2)因所求平面通过 轴，其方程可设为 ，已知点z (*)0ByAx在此平面上，因而有 ，即 ，代入（*）式得：2,13033，即所求平面的方程为： 。0Ayx yx(3)从共面式入手，设 为所求平面上的任一点，点 和zyxP, 2,04分别用 ， 表示，则 ， ， 共面，从而7,15BABi，于是可得所求平面方程为： 。01924, zyxiAP 029zy
10、21用对称式方程及参数式方程表示直线 ： 。l421zyx解：因为直线 的方向向量可设为 ，在直l 3,12121kjins线上巧取一点 （令 ，解直线 的方程组即可得 ， ） ，2,03A0ylxz则直线的对称式方程为 ，参数方程为： ， ，321zx t3ty。tz222求过点 且与两平面 和 平行的直线方程。4,20zx2zy解：因为两平面的法向量 与 不平行，所以两平面相2,01n3,1n交于一直线，此直线的方向向量 ，故所求直1,231021 kjis线方程为 。1432zyx23求直线 与平面 的夹角。0z01zyx8解：已知直线的方向向量 ，已知平面的2,41321 kjins法
11、向量 ，而 ，所以 ，故直1,n0,4 ns线与平面的夹解为 0。24确定直线 和平面 间的位置关系。372zyx32zyx解：直线的方向向量 ,s平面的法向量 ,4n.02372,cos22 从而 ，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。n再将直线上的点 的坐标代入平面方程左边，得)0,4(A，即 不在平面上，故直线平行于平面。32434A25设 ， ， ，证明 、 、 三baB1baC82baD3ABD点共线。解：因为 ,52 CA 所以 即 ， 共线， 为公共点，故 、 、 三,1BDBABAB点共线。26设有两个力， 和 ，同时作用于一个点上，kjiF21jiF3试求它们的合力 的大小
12、和方向。解：设 于是,kzjyix，kjijijiF253221 得： ，653|故其方向余弦为9， ，21|cosFx65|cosFy,62|cosFz从而方向角为： ， ， 。3arar27设向量 的两个方向余弦为 ， ，又 ，求 的a31cos2cs6a坐标。解：因为 ， ，故31cos2cs。3231o222 由公式 ，6cs|ax，432o|y，6cs| az于是得 或 。4,2a4,228证明 垂直于 。bca证： ，故 。0 bacb bcaa29已知三点 ， ， ，且 ，0,1A1,3B,2CB， ，求(1) 与 的夹角；(2) 在 上的射影 。CABabcjcPr解： ， ；
13、 ， ；,a|1,0Ab2|b， ；1,2c6|可设 ， ；101b 32ca因而可得：(1) ，所以 ；2|,cosba3,b(2) 。jcPr63|1030求出球面 与旋转抛物面 的交线。822zyx zyx22解：两曲面的交线为 ，)(12将(2)代入(1)得 ，所以 或 ，由(2)知 ，故取 。04z4z20z2z因此交线方程为 或 。28yx2yx这是在 平面上圆心为 ，半径为 2 的圆曲线。z,031求过点 而与直线 ， 平行的1,201:1zyxl 0:zyxl平面方程。解：因 为直线 的方向向量，3,2112kjis 1l直线 的方向向量。,02kjis 2l取 ，则通过点 并以 为法向1,103221 kjisn 1,2n量的平面方程 即为所求的平面方程。zyx32求点 在平面 上的投影。,2102zyx解：从 点 作平面的垂线，则垂线的方向向量就是平面的法向量A0，所以垂线方程为,n。121zyx为求出垂足，将垂线方程化为参数方程 ， ， ，将txty2tz其代入平面方程，得 ，求得垂足（即投影）的坐标为 。32t 3,5
