1、数量方法（二） （代码 00994）自学考试复习提纲第一章数据的整理和描述基本知识点：一、 数据的分类：按照描述的事物分类：1分类型数据：描述的是事物的品质特征，本质表现是文字形式；2数量型数据：事物的数量特征，用数据形式表示；3日期和时间型数据。按照被描述的对象与时间的关系分类：1截面数据：事物在某一时刻的变化情况，即横向数据；2时间序列数据：事物在一定的时间范围内的变化情况，即纵向数据；3平行数据：是截面数据与时间序列数据的组合。二、 数据的整理和图表显示：1组距分组法：1) 将数据按上升顺序排列，找出最大值 max 和最小值 min；2) 确定组数，计算组距 c；3) 计算每组的上、下限
2、（分组界限） 、组中值及数据落入各组的频数vi (个数)和频率 （ ） ，if miivy1频 数 的 和组 中 值 ） 的 和（ 频 数平 均 数形成频率分布表；4) 唱票记频数； 5) 算出组频率，组中值；6) 制表。2饼形图：用来描述和表现各成分或某一成分占全部的百分比。注意：成分不要多于 6 个，多于 6 个一般是从中选出 5 个最重要的，把剩下的全部合并成为“其他” ；成分份额总和必须是 100；比例必须于扇形区域的面积比例一致。3条形图：用来对各项信息进行比较。当各项信息的标识（名称）较长时，应当尽量采用条形图。4柱形图：如果是时间序列数据，应该用横坐标表示时间，纵坐标表示数据大小
3、，即应当使用柱形图，好处是可以直观的看出事物随时间变化的情况。5折线图：明显表示趋势的图示方法。简单、容易理解，对于同一组数据具有唯一性。6曲线图：许多事物不但自身逐渐变化，而且变化的速度也是逐渐变化的。具有更加自然的特点，但是不具有唯一性。7散点图：用来表现两个变量之间的相互关系，以及数据变化的趋势。8茎叶图：把数据分成茎与叶两个部分，既保留了原始数据，又直观的显示出了数据的分布。三、 数据集中趋势的度量：1平均数：容易理解，易于计算；不偏不倚地对待每一个数据；是数据集地“重心” ；缺点是它对极端值十分敏感。平均数 数 据 的 个 数全 体 数 据 的 总 和 nix12中位数：将数据按从小
4、到大顺序排列，处在中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数。它的优点是它对极端值不像平均数那么敏感，因此，如果包含极端值的数据集来说，用中位数来描述集中趋势比用平均数更为恰当。3众数：数据中出现次数最多的数。缺点是一个数据集可能没有众数，也可能众数不唯一；优点在于它反映了数据集中最常见的数值，而且它不仅对数量型数据（数据都是数值）有意义，它对分类型数据集也有意义；并且能够告诉我们最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等产品特征。4分组数据的平均数（加权平均）：， 为组数，v i 为第 i 组频miivy1频 数 的 和组 中 值 ） 的 和（ 频 数平 均 数数，y i 为第 i 组组中值。5平均数
5、，中位数和众数的关系：数据分布是对称分部时：众数=中位数= 平均数数据分布不是对称分部时：左偏分布时：众数中位数平均数右偏分布时：众数中位数平均数四、 数据离散趋势的度量：1极差 R最大值 max最小值 min2四分位点：第二四分位点 就是整个数据集的中位数；第一四分位点2Q是整个数据按从小到大排列后第 个（若 不是整数，取左右1Q41n两个的平均） ；第三四分位点 是整个数据按从小到大排列后第 个3 314n（若 不是整数，取左右两个的平均） 。四分位极差 ，它34n 3Q1不像极差 R 那么容易受极端值的影响，但是仍然存在着没有充分地利用数据所有信息地缺点。3方差：离平均数地集中位置地远近
6、； nyvvyynxxn iiiii ii 2221222 )(1)( 是频数， 是组中值， 即数据的个数， 即用分组iviyivivy数据计算的平均数。4标准差： 。2变异系数：表示数据相对于其平均数的分散程度。10xV基本运算方法：1、一组数据 3，4，5，5，6，7，8，9，10 中的中位数是（ ）A5 B5.5C6 D6.5解析：按从小到大排列，此九个数中，正中间的是 6，从而答案为 C。2、某企业 30 岁以下职工占 25%，月平均工资为 800 元；3045 岁职工占50%，月平均工资为 1000 元；45 岁以上职工占 25%，月平均工资 1100 元，该企业全部职工的月平均工资
7、为（ ）A950 元 B967 元C975 元 D1000 元解析：25%*800+50%*1000+25%*1100975，故选 C。3、有一组数据的平均数和标准差分别为 50、25，这组数据的变异系数为（ ）A.0.2 B.0.4C.0.5 D.0.7解析：变异系数 ，故选 C。10xV25.4、若两组数据的平均值相差较大，比较它们的离散程度应采用（ ）A极差 B变异系数C方差 D标准差解析：考变异系数的用法，先 B。5、一组数据 4，4，5，5，6，6，7，7，7，9，10 中的众数是（ ）A6 B6.5 C7 D7.5解析：出现最多的数为众数，故选 C。6、对于峰值偏向左边的单峰非对称
8、直方图，一般来说（ ）A平均数 中位数 众数 B众数中位数平均数C平均数 众数中位数 D中位数 众数平均数解析：数据分布是对称分部时： 众数=中位数= 平均数数据分布不是对称分部时：左偏分布时：众数中位数平均数右偏分布时：众数中位数平均数需要记住提，峰值偏向左边的单峰非对称直方图称为右偏分布，峰值偏向右边的单峰非对称直方图称为左偏分布，从而此题答案为 B。第二章 随机事件及其概率基本知识点：一、 随机试验与随机事件：1随机试验：a) 可以在相同的条件下重复进行；b) 每次试验的可能结果可能不止一个，但是试验的所有可能的结果在试验之前是确切知道的；c) 试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果。
9、2样本空间 ：a) 所有基本事件的全体所组成的集合称为样本空间，是必然时间；b) 样本空间中每一个基本事件称为一个样本点；c) 每一个随机事件就是若干样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的子集；d) 不包含任何样本点的随机事件就是不可能事件 。3样本空间的表示方法：a) 列举法：如掷骰子 1,2345,6b) 描述法：若掷骰子出现 可描述为：掷骰子出现奇数点。二、 事件的关系和运算1. 事件的关系：a) 包含关系：事件 A 的每一个样本点都包含在事件 B 中，或者事件 A的发生必然导致事件 B 的发生，成为事件 B 包含事件 A，记做。若 则称事件 A 与事件 B 相等，记BA或 者 且做
10、AB。b) 事件的并：事件 A 和事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的并，记做 。或 者c) 事件的交：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为事件 A 与事件 B 的交，记做 。或 者d) 互斥事件：事件 A 与事件 B 中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件 A 与事件 B 是互斥的，否则称这两个事件是相容的。e) 对立事件：一个事件 B 若与事件 A 互斥，且它与事件 A 的并是整个样本空间 ，则称事件 B 是事件 A 的对立事件，或逆事件。事件 A的对立事件是 ， 。A，f) 事件的差：事件 A 发生，但事件 B 不发生的事件，称为事件 A 与事件 B 的差
11、，记做 AB。2运算律：a) 交换律： ;A，b) 结合律： ;)()()( CBC，c) 分配律：)()()()()()( CABCABAC，d) 对偶律： 。，三、 事件的概率与古典概型：1. 事件 A 发生的频率的稳定值 称为事件 A 发生的概率，记做：p， 。pP)(102. 概率的性质：a) 非负性： ；)(b) 规范性： ；10pc) 完全可加性： ；11)()(iiiAPd) ；0)(Pe) 设 A，B 为两个事件，若 ，则有 ，且B)()(APB；)(3. 古典概型试验与古典概率计算：a) 古典概型试验是满足以下条件地随机试验： 它的样本空间只包含有限个样本点； 每个样本点的发
12、生是等可能的。b) 古典概率的计算： ；NAP)(c) 两个基本原理： 加法原理：假如做一件事情有两类办法，在第一类办法中有 m种不同方法，而在第二类办法中有 n 种不同方法，那么完成这件事情就有 m+n 种不同方法。加法原理可以推广到有多类办法的情况； 乘法原理：假设做一件事情可以分成两步来做，做第一步有 m种不同方法，做第二步有 n 种不同方法，那么完成这件事情有mn 种不同方法。乘法原理也可以推广到多个步骤的情形。4. 条件概率：在事件 B 发生的条件下（假定 P（B）0） ，事件 A 发生的概率称为事件 A 在给定事件 B 下的条件概率，简称 A 对 B 的条件概率，记做： ；)(|(
13、P5. 概率公式：a) 互逆：对于任意的事件 A， ；1)(Pb) 广义加法公式：对于任意的两个事件 A 和 B，)()()(BP广义加法公式可以推广到任意有限个事件的并的情形，特别地： )()()()()()( ABCPCPCACBP c) 减法公式： ；)()(BP )()(BA， 则d) 乘法公式：P（AB）P（A）P（B|A） ，P（A）0；e) 事件独立：若 ，则 相互独立。()()与f) 全概率公式：设事件 A1，A 2，, An两两互斥，A1+A2+A n（完备事件组） ，且 P（A i）0，i1，2，n 则对于任意事件 B，有：；ni iiP1)|()(g) 贝叶斯公式：条件同
14、上, 则对于任意事件 B，如果 P（B）0，有：；1()|)(|)jjjniiiABP基本运算方法：1、事件的表示：例 1、设 A、B、C 是三个随机事件，用 A、B、C 的运算关系表示事件：A 不发生但 B 与 C 发生为（ ）A B.C. D. CAB解析：本题考察事件的表示方法，选 B。例 2、对随机事件 A、B、C，用 E 表示事件：A、B、C 三个事件中至少有一个事件发生，则 E 可表示为（ ）A.AUBUC B.ABCC. D.UA解析：选 A。2、古典概型例 1、正方体骰子六个面点数分别为 2、4、6、8、10、12，掷二次所得点数之和大于等于 4 的概率为( )A. B.36
15、1C. D.11解析：样本空间中样本点一共有 36 个，两次掷得点数和不可能小于 4，从而选D。例 2、在一次抛硬币的试验中，小王连续抛了 3 次，则全部是正面向上的概率为（ ）A B91 81C D6 3解析：样本空间一共有 8 个样本点，全部正面向上只有一次，故选 B。例 3、某夫妇按国家规定，可以生两胎。如果他们每胎只生一个孩子，则两胎全是女孩的概率为（ ）A. B.16 81C. D.4 2解析：生两胎，样本空间共有 4 个样本点，故选 C。3、加法公式、减法公式、条件概率例 1、设 A、B 为两个事件，P（A）=0.4，P（B）=0.3。如果 BA，则 P（AB）=（ ）A0.1 B
16、0.3C0.4 D0.7解析：BA，则 P(AB)P(B)，故选 B。例 2、设 A、B 为两个事件，P(A)=0.4，P(B)=0.8，P( )=0.5，则 P(BA)B=（ ）A0.45 B0.55C0.65 D0.375解析：由 P( )P(B)P( )，从而 P( )0.3，P(BA)= A0.375,P(B)故选 D。例 3、事件 和 B 相互独立，且 P（ ）=0.7，P（B）=0.4，则 P（AB）=（ AA）A0.12 B0.21C0.28 D0.42解析：事件 和 B 相互独立知事件 A 与 B 独立，从而 P(AB)=P(A)P(B)=0.12,A。例 4、事件 A，B 相
17、互独立，P（A）=0.3，P（B| ）=0.6，则 P（A）+P（B）=（ ）A.0. B.0.3C.0.9 D.1解析：由事件 A，B 相互独立知 P（B| ）= P（B）=0.6，从而选 C。A4、事件的互斥、对立、独立关系：例1、A与B为互斥事件，则A 为( )A.AB B.BC.A D.A+B解析：A与B为互斥事件，即AB ，从而选C。=例 2、事件 A、B 相互对立，P(A)=0. 3，P( B)=0.7，则 P(A-B)=（ ）A.0 B.0.2C.0.3 D.1解析：由事件 A、B 相互对立知 AB ，从而 P(AB)=P(A)=0.3，选 C。例 3、事件 A、B 相互独立，P
18、(A)=0.2，P(B)=0.4，则 P(A+B)=( )A.0.50 B.0.51C.0.52 D.0.53解析：P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB),由 A、B 相互独立知 P(AB)P(A)P(B),从而P(A+B)P(A)+P(B)- P(A)P(B)0.52，选 C。例 4、事件 A、B 互斥，P(A)=0.3，P(B| )=0.6，则 P(A-B)=（ ）A0 B0.3C0.9 D1解析：事件 A、B 互斥有 AB ，从而 P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)=0.3,选 B。=5、全概率公式和贝叶斯公式：例 1、在厂家送检的三箱玻璃杯中，质检部门抽检其中任一箱的概率
19、相同。已知第一箱的次品率为 0.01，第二箱的次品率为 0.02，三箱玻璃杯总的次品率为0.02。求第三箱的次品率。若从三箱中任抽一只是次品，求这个次品在第一箱中的概率。解析：设 表示抽到第 箱， 1，2，3. B 表示次品，则iAi， ，1231()()PAPA1(|)0.B2(|)0.PBA，从而 ，即第三箱的次品率为31|0.2iiiB3|.0.03.即从三箱中任抽一只是次品，这个次品在第一箱中的概率为 1/6。例 2、实战演习中，在甲、乙、丙三处射击的概率分别为 0.2，0.7，0.1，而在甲、乙、丙三处射击时命中目标的概率分别为 0.8，0.4，0.6。若最终目标被命中，求目标是由乙
20、处射击命中的概率。解析：设 表示在甲处射击， 表示在乙处射击， 表示在丙处射击，B 表示1A2A3A命中，则 ，23()0.,().7,()0.1PP， ，1(|.8B|4B|6B从而目标是由乙处射击命中的概率为 0.56.第三章 随机变量及其分布基本知识点：一、 离散型随机变量：取值可以逐个列出1. 数学期望：1) 定义： ，以概率为权数的加权平均数；iipxE2) 性质：E(C) =C (常数期望是本身 )E(aX) =aE(X) (常数因子提出来)E(aX+b) =aE(X)+b (一项一项分开算)E（aX+bY）=aE(X)+bE(Y) (线性性)2. 方差：1) 定义： ；i ipE
21、xxD22)(2) 性质：D(c) =0 （常数方差等于 0）D(aX) =a2D(X) （常数因子平方提）111()|(|)6)niiiPAB2221()|).56|niiiAD (aX+b) =a2D(X)3) 公式： （方差平方的期望期望的平方） ；()()XEX3. 常用随机变量：1) 0-1 分布：a) 随机变量 X 只能取 0，1 这两个值；b) XB（1，p） ；c) E(X)p D(X)p(1-p)2) 二项分布：a) 分布律： ；nkpCkPnkn ， 210)1()(b) XB（n，p）c) E(X)=npd) D(X)=np(1-p)e) 适用：随机试验具有两个可能的结果 A 或者 ,且 P（A ）=p，P（ ）1 p，将试验独立重复 n 次得到 n 重贝努里试验。A3) 泊松分布：a) 分布律： ，02,10!)(kekX，b) XP（）c) E(X)d) D(X)e) 适用：指定时间内某事件发生的次数。二、 连续型随机变量：1. 设 X 是一个连续型随机变量：1) X 的均值，记做 ，就是 X 的数学期望，即 EX；2) X 的方差，记做 D(X)或 ，是 的数学期望，即:22)()DE3) X 的标准差，记做 ，是 X 的方差 的算术平方根，即 ；2 22. 常用连续型随机变量：名称 分布律或密度 记法 E(X) D(X)
