1、1高一数学一元二次不等式解法练习题及答案 例 若 ， 则 不 等 式 的 解 是1 0a(xa)01 AaxB 1CxaD 或 或 1分 析 比 较 与 的 大 小 后 写 出 答 案 a解 ， ， 解 应 当 在 “两 根 之 间 ”， 得 选 01 axA 1a例 有 意 义 ， 则 的 取 值 范 围 是 2 xx6分析 求算术根，被开方数必须是非负数解 据题意有，x 2x6 0，即(x 3)(x 2)0，解在“两根之外”，所以x3 或 x2例 3 若 ax2bx 1 0 的解集为x|1x2，则a_，b _ 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，1 和 2 是方程 ax2bx10 的两个
2、根，考虑韦达定理解 根据题意，1，2 应为方程 ax2bx10 的两根，则由韦达定理知2ba()12得ab12， 例 4 解下列不等式(1)(x1)(3x)5 2x(2)x(x11)3(x 1) 2(3)(2x1)(x 3)3(x 22)(4)3x2135x ()分析 将不等式适当化简变为 ax2bxc 0(0)形式，然后根据“解公式”给出答案( 过程请同学们自己完成)答 (1)x|x2 或 x4()x|1 3(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例 不 等 式 的 解 集 为5 1x 3Ax|x0 Bx|x1C x|x1 Dx|x1 或 x0分析 直接去分母需要考虑分母
3、的符号，所以通常是采用移项后通分解 不 等 式 化 为 ，通 分 得 ， 即 ， 1x0022x20，x 10，即 x1选 C说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解例 与 不 等 式 同 解 的 不 等 式 是6 0x32 A(x3)(2 x) 0B0 x21C 3D(x 3)(2 x)0解 法 一 原 不 等 式 的 同 解 不 等 式 组 为 ， ()x320故排除 A、C、 D，选 B解 法 二 化 为 或 即 x320x3()2x03两边同减去 2 得 0x2 1选 B说明：注意“零”4例 不 等 式 的 解 为 或 ， 则 的 值 为7 1x|12aax Aa BaCD 221
4、1分 析 可 以 先 将 不 等 式 整 理 为 ， 转 化 为 0()ax(a1)x 1(x1) 0 ，根据其解集为x|x 1 或 x2可 知 ， 即 ， 且 ， a1a12aa答 选 C说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧例 解 不 等 式 8 2372x解 先将原不等式转化为 3720x即 ， 所 以 由 于 ，2131478x02(x)02不等式进一步转化为同解不等式 x22x3 0，即(x3)(x1)0，解之得3 x1解集为x|3x1说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题5例 9 已知集合 Ax|x 25x4 0与 Bx|x 22axa 2 ， 若 ， 求 的 范 围
5、 0Ba分析 先确定 A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系 ， 结 合 ， 利 用 数 形 结 合 ， 建 立 关 于 的 不 等 式 Ba解 易得 Ax|1 x4设 yx 22axa2(*)(1) 0若 ， 则 显 然 ， 由 得4a24(a2) 0 ，解得1a2()B(*)16若 ， 则 抛 物 线 的 图 像 必 须 具 有 图 特 征 ：应 有 从 而x|x|412a041 12a2 解 得 87综 上 所 述 得 的 范 围 为 a1a87说明：二次函数问题可以借助它的图像求解6例 10 解关于 x 的不等式(x2)(ax2) 0分析 不等式的解及其结构与 a 相关，所
6、以必须分类讨论解 1 当 a0 时，原不等式化为x20 其解集为x|x 2； a2(x2)0当 时 ， 由 于 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 为 aax|a ；3 0a12(x2)0当 时 ， 因 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 为 ax| 或 ；a4 当 a1 时，原不等式化为(x2) 20 ，其解集是x|x2；5 2(x2)0当 时 ， 由 于 ， 原 不 等 式 化 为 ， 其 解集 是 aax| 或 a从而可以写出不等式的解集为：a0 时，x|x2；x|a 时 ， ；70a1x|2 时 ， 或 ；aa1 时，x|x2；x|2 时 ， 或 a说明：讨论时分类要合理，
7、不添不漏例 11 若不等式 ax2bxc0 的解集为x| x(0 )，求cx2bx a 0 的解集分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知 a0，根据韦达定理知： ， bac即 ， bac()0a 0， b0，c0又 ， 由 ， bcaac(1)18对 化 为 ，cxba0x022bca由 得 ， 是 两 个 根 且 ，1102 即 的 解 集 为 或 x0cxba0x| 22bca 1解法二 cx 2bxa0 是 ax2bxa 0 的倒数方程且 ax2 b
8、xc 0 解为 x， 的 解 集 为 或 xba|x 1说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维例 解 关 于 的 不 等 式 ： 12 x1a(R)x分析 将一边化为零后，对参数进行讨论解 原 不 等 式 变 为 ， 即 ， (1a)00xxa1进一步化为(ax1a)(x 1)0 (1)当 a0 时，不等式化为(x)(11x|a11 ， 易 见 ， 所 以 不 等 式 解 集 为 ； a(2)a0 时，不等式化为 x 10，即 x1，所以不等式解集为x|x1；(3)a()()01x|1 时 ， 不 等 式 化 为 ， 易 见 ， 所 以不 等 式 解 集 为 或 aa9综上所述，原不等式解集为
9、：当 时 ， ； 当 时 ， ； 当 时 ， 或 a0x|a1a0x|1a0x|1例 13 (2001 年全国高考题)不等式|x 23x|4 的解集是_分析 可转化为(1)x 23x 4 或(2)x 23x 4 两个一元二次不等式由 可 解 得 或 ， (1)x1()答 填x|x 1 或 x4例 14 (1998 年上海高考题)设全集 UR，A x|x 25x60，Bx|x 5| a(a 是常数 )，且 11B，则 A( UA)BRBA ( UB)RC ( UA)( UB)RDABR分析 由 x25x60 得 x1 或 x6 ，即Ax|x1 或 x6由|x 5|a 得 5ax5a，即Bx|5a
10、 x5 a11B， |115|a 得 a65a1， 5a11 ABR 答 选 D10说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设 ，（1 ） 上恒成立 ；)0()(2acbxxf Rxf在0)( 0且a（2 ） 上恒成立 。R在0且类型 2：设 )()(2f（1 ）当 时， 上恒成立a,xf在，0)(20)(2fabfb或或上恒成立,0xf在 )(f（2 ）当 时， 上恒成立a,0)(xf在 0)(f
