1、1全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质： .0,0baba这是不等式的定义，也是比较法的依据.对一个不等式进行变形的性质：（1） ba（对称性）（2） c（加法保序性）（3） .0,;0, bcabac（4） *).(,Nnban对两个以上不等式进行运算的性质.（1） ca,（传递性）.这是放缩法的依据.（2） .dbdcba（3） ,c（4） .,0bcad含绝对值不等式的性质：（1） .)(| 2xxax（2） 0| aa或（3） | bb（三角不等式）.（4） .|
2、2121 nna证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。1比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。）（1）差值比较法（原理：A B0 AB）例 1 设 a, b, cR+，
3、2试证：对任意实数 x, y, z, 有 x2+y2+z2 .)()( xzbacyzabxcacba证明：左边-右边= x 2+y2+z2 2() ()xyyzbc2 2ccx yzbcacabab 2()azxzb2 2 20.cbcxyyzzxbcaab所以左边右边，不等式成立。（2）商值比较法（原理：若 1，且 B0，则 AB。）例 2 若 alog(1-x)(1-x)=1|)(log|xax1（因为 01-x0, 0|loga(1-x)|.2分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证，只需证。）例 3 已知 a, b, cR+，求证：a+b
4、+c-3 a+b3abc.2ab证明：要证 a+b+c a+b3a.只需证 ，2b因为 ，33c所以原不等式成立。例 4 已知实数 a, b, c 满足 00，求证：abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。证明:(a+b-c)+(b+c-a)=2b0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a 0,a+b-c,b+c-a,c+a-b 中至多有一个数非正.(1)当 a+b-c,b+c-a,c+a-b 中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.(2)a+b-c,b+c-a,c+a-b 均为正时,则 2abcaabc b同理 , ,abcbc三式相乘得
5、 abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)例 6 已知ABC 的外接圆半径 R=1，S ABC = ，a,b,c 是ABC 的三边长，令 S= ，t= 。求证：tS。解：由三角形面积公式: .正弦定理：a/sinA=2R.可得 abc=1.1sin2bcA所以 2t=2bc+2ac+2ab.由因为 a.b.c 均大于 0。所以 2t=2a +2b +2c =2 +2 +2 =2( + + )=2s.aabcacbcabc所以 ts。4反证法例 7 设实数 a0, a1,an 满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-2an-1+an0，求证 a
6、k0(k=1, 2, n-1).证明：假设 ak(k=1, 2,n-1) 中至少有一个正数，不妨设 ar 是 a1, a2, an-1 中第一个出现的正数，则 a10, 4a20, ar-10, ar0. 于是 ar-ar-10，依题设 ak+1-akak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。所以从 k=r 起有 an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-10.因为 anak-1ar+1ar 0 与 an=0 矛盾。故命题获证。5数学归纳法例 8 对任意正整数 n(3)，求证：n n+1(n+1)n.证明：1）当 n=3 时，因为 34=8164=43，所以命题成立。2）设 n=k 时
7、有 kk+1(k+1)k，当 n=k+1 时，只需证(k+1) k+2(k+2)k+1，即 1. 12)(k因为 ，所以只需证 ，1)(k 12)(kk)(1即证(k+1) 2k+2k(k+2)k+1，只需证 (k+1)2k(k+2)，即证 k2+2k+1k2+2k. 显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。6.分类讨论法例 9 已知 x, y, zR+，求证： .0222yxzyzx证明：不妨设 xy, xz.）xyz，则 ，x 2y2z2，由排序原理可得yxy11，原不等式成立。yzzzy 222）xzy，则 ，x 2z2y2，由排序原理可得yx11，原不等式成立。yzzzy2227.放缩法
8、（即要证 AB，可证 AC1, C1C2,Cn-1Cn, CnB(nN+).）例 10 已知 a, b, c 是ABC 的三条边长，m0，求证： .mcba证明： mbamba 1c1（因为 a+bc） ，得证。8.引入参变量法例 11 已知 x, yR+, l, a, b 为待定正数，求 f(x, y)= 的最小值。23ybx解： 设 ，则 ，f(x,y)=kxklyl1, 23)1(kal(a3+b3+3a2b+3ab2)= ，233323332 11 lbbabal 3)(lba5等号当且仅当 时成立。所以 f(x, y)min=ybxa.)(23lba例 12 设 x1x2x3x42,
9、 x2+x3+x4x1，求证：(x 1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.证明：设 x1=k(x2+x3+x4)，依题设有 k1, x3x44，原不等式等价于(1+k) 2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4)，即 (x2+x3+x4) x2x3x4，k)(因为 f(k)=k+ 在 上递减，k1,所以 (x2+x3+x4)= (x2+x3+x4) 3x2=4x2x2x3x4.4)1()(k1所以原不等式成立。9.局部不等式例 13 已知 x, y, zR+，且 x2+y2+z2=1，求证： 22211zyx.3证明：先证 .312x因为 x(1-x2)= ,32)1(
10、2x所以 .3)(122 xx同理 ， ，223y221zz所以 .23)(312 yxzx例 14 已知 0a, b, c1，求证： 2。11abcbca证明：先证 .1bca即 a+b+c2bc+2.即证(b-1)(c-1)+1+bca.因为 0a, b, c1，所以式成立。同理 .21,21cbacbac三个不等式相加即得原不等式成立。10.利用函数的思想例 15 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a, b, c)= 的最小值。acba116解：当 a, b, c 中有一个为 0，另两个为 1 时，f(a, b, c)= ，以下证明 f(a, b, c)
11、. 2525不妨设 abc，则 0c , f(a, b, c)=3.12bac因为 1=(a+b)c+ab +(a+b)c，4)(2ba解关于 a+b 的不等式得 a+b2( -c).1c考虑函数 g(t)= , g(t)在 ）上单调递增。tc12 ,2又因为 0c ，所以 3c21. 所以 c2+a4c2. 所以 2 3 )1(c.12所以 f(a, b, c)= bac1122 )(222 c= 122c= 2132 c 34c25(1).c下证 0 c2+6c+99c2+9 0 c)1(32 32c c43.43因为 ，所以式成立。所以 f(a, b, c) ，所以 f(a, b, c)
12、min=4c 5.511.构造法例 16 证明： 。提示：构造出（x，0）到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值，从而结论得证。12.运用著名不等式（1）平均值不等式：7设 a1, a2,anR+，记 Hn= , Gn= , An=aa112 a2112,na则 HnGnAnQn. 即调和平均 几何平均算术平均平方平均。221nQ其中等号成立的条件均为 a1=a2=an.当 n=2 时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得 AnQn，再由 GnAn 可得 HnGn，以下仅证 GnAn.
13、1）当 n=2 时，显然成立；2）设 n=k 时有 GkAk，当 n=k+1 时，记 =Gk+1.kka112因为 a1+a2+ak+ak+1+(k-1)Gk+1 ka1 2kGk+1, kk2211所以 a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1，即 Ak+1Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。例 17 利用基本不等式证明 .22cabcb【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法.【略解】 ；三式相加再除以 2 即得证.ab2, 2322同 理【评述】 （1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如 ，可在不等式两边同时加上
14、nnxxx 212321 .132xxn再如证 时，可连续使用基本不等式.)0,(56)()( 323cbacbab（2）基本不等式有各种变式 如 等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等2的.如上式左右两边次数均为 2，系数和为 1.例 18 已知 求证：,0,1ba.814ba【思路分析】不等式左边是 、 的 4 次式，右边为常数 ，如何也转化为 、 的 4 次式呢.ab【略解】要证 即证,84 .)(4（2）柯西（Cavchy）不等式： 设 、 、 ， 是任意实数，则1a23na ).)()( 2212212 nnbbabb 等号当且仅当 为常数， 时成立.kii,i8证明：不妨设
15、不全为 0， 也不全为 0（因为 或 全为 0 时，不等式显然成立）. ),21(niaibiaib记 A= ，B= . 且令221na 221n ),2,1(,niByAxii 则 原不等式化为.,22121 nnyyxx .21nyx即 .)(ny 212 nyyxx它等价于 .0)() 2221 nyx其中等号成立的充要条件是 ,1ixi从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是 ).(BAkabii变式 1：若 aiR, biR, i=1, 2, , n，则 等号成立条件为 ai=bi,(i=1, 2, , n)。.)()(2112niiiba变式 2：设 ai, bi 同号且不为 0(
16、i=1, 2, , n)，则 等号成立当且仅当 b1=b2=bn.11niiini ba例 19 设 ，求证：Rxn,21 .212321 nnxxxx 【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 ，故由柯西不等式，得0,21nx)( 1232132 xxnn ，2113221 )(xx nn 2121)(nxx .2121321 nnxxx【评述】这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.9（3）排序不等式：（又称排序原理）设有两个有序数组 及naa21 .
17、21nbb则 （同序和） （乱序和）nbaba21 jnjjb2（逆序和）111n其中 是 1，2，n 的任一排列.njj,21当且仅当 或 时等号（对任一排列 ）成立.aa nbb21 njj,21证明：不妨设在乱序和 S 中 时（若 ，则考虑 ） ，且在和 S 中含有项jnjn1j ),(kba则 事实上，左右=.jjnkb 0)(njkn由此可知，当 时，调换 （ ）中 与 位置nkjjj babaS1（其余不动） ，所得新和 调整好 及 后，接着再仿上调整 与 ，又得.1n 1n如此至多经 次调整得顺序和.12Sn n21jjj baba2这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当 或
18、时中等naa21 nbb21号成立.反之，若它们不全相等，则必存在 及 k，使 这时中不等号成立.nj,kjn因而对这个排列中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.例 20 .22, 332 abcbacbcabRcba 求 证【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.【略解】不妨设 ，ab1,22则则 （乱序和） （逆序和） ，bca112 c122同理 （乱序和） （逆序和）2 b两式相加再除以 2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组 ，abca133及仿上可证第二个不等式.例 21 设 ，且各不相同，求证：*21,Nan .212123nn10
19、【思路分析】不等式右边各项 ；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.221iai【略解】设 的重新排列，满足 ，又nnb,121 是 nbb21 .13212n所以 .由于 是互不相同的正整数，23123 nba ,1故 从而 ，原式得证.,1n n2【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式， ,aba.32233 bcccbacbacba 例 22 在ABC 中，试证： .CBA【思路分析】 可构造ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】 不妨设 ，于是 由排序不等式，得cba.,bCaBA相加，得 ，得 )()()(3 cbaCBAcc 3cbaCBA又由 ,0,0bb有 ).(2)()3()2()( )(caccBAaab 得 .cbC由、得原不等式成立.例 23 设 是正数 的一个排列，求证n,21 na,21 .21nbaba【思路分析】 应注意到 ),(iai【略证】 不妨设 ，因为 都大于 0. 所以有 ，n21 na,21 na112又 的任意一个排列，于是得到nnab,2121 是 .11221 nn baban
