1、课时作业( 二十)学 业 水 平 层 次 一、选择题1若异面直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角为 150，则 l1 与 l2 所成的角为( )A30 B150C 30或 150 D以上均不对【解析】 l 1 与 l2 所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为 .应选 A.(0，2【答案】 A2已知 A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线 AB与直线 CD 所成角的余弦值为( )A. B52266 52266C. D52222 52222【解析】 (2，2，1)， (2，3，3)，AB CD cos ， ，AB CD A
2、B CD |AB |CD | 5322 52266直线 AB、CD 所成角的余弦值为 .52266【答案】 A3正方形 ABCD 所在平面外一点 P，PA 平面 ABCD，若PAAB，则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为( )A30 B45 C 60 D90【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设 PAAB1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是 (0,1,0) AD 取 PD 中点为 E，则 E ，(0，12，12) ，AE (0，12，12)易知 是平面 PAB 的法向量， 是平面 PCD 的法向量， cosAD AE ， ，AD AE 22平面 PAB 与平面
3、 PCD 的夹角为 45.【答案】 B4(2014陕西师大附中高二检测) 如图 3229，在空间直角坐标系 Dxyz 中，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 为长方体，AA 1AB2AD，点 E、 F 分别为 C1D1、A 1B 的中点，则二面角 B1A1BE 的余弦值为( )图 3229A B C. D.33 32 33 32【解析】 设 AD1，则 A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为 E、F 分别为C1D1、A1B 的中点，所以 E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以 (1,1,0) ，A1E (0,2， 2)，设 m(x ，y，z)是平面 A1BE 的法向量，则Error!所A1
4、B 以Error!所以Error!取 x1，则 yz1，所以平面 A1BE 的一个法向量为 m(1,1,1) ，又 DA平面 A1B1B，所以 (1,0,0)是平面 A1B1BDA 的一个法向量，所以 cosm， ，又二面角DA mDA |m|DA | 13 33B1A1BE 为锐 二面角，所以二面角 B1A1BE 的余弦值为 ，故选 C.33【答案】 C二、填空题5棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 、N 分别为A1B1、BB 1 的中点，则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是_【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则 A(1,0,0)，M ，C(0,1,0)，N
5、 ，(1，12，1) (1，1，12) ， ，AM (0，12，1) CN (1，0，12)cos ， ，AM CN 1252 52 25故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 .25【答案】 256(2014临沂高二检测) 在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知A(1，2,0)、B(2,1 ， )，则向量 与平面 xOz 的法向量的夹角的6 AB 正弦值为_【解析】 设平面 xOz 的法向量为 n(0， t,0)(t0) ， (1,3，AB )，所以 cosn， ，因 为n， 0，所以6 AB nAB |n|AB | 3t4|t| AB sinn， .AB 1 (3t4|t|)2 74【
6、答案】 747已知点 E，F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1，CC 1上，且 B1E2EB ，CF 2FC 1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于_【解析】 如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，平面 ABC 的法向量为 n1(0,0,1)，平面AEF 的法向量为 n2(x ，y，z)所以 A(1,0,0)，E ，F ，(1，1，13) (0，1，23)所以 ， ，AE (0，1，13) EF ( 1，0，13)则Error!即Error!取 x1，则 y1， z3.故 n2(1，1,3)所以 cosn1，n2 .n1n2|n1|n2| 31
7、111所以平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角 满足 cos ，sin ，所以 tan .31111 2211 23【答案】 23三、解答题8. 如图 3230 所示，在四面体 ABCD 中，O，E 分别是BD， BC 的中点，CACBCDBD2， ABAD .2图 3230(1)求证： AO平面 BCD；(2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值【解】 (1)证明：连结 OC，由题意知 BODO，ABAD，AOBD.又 BODO ，BCCD，COBD.在AOC 中，由已知可得 AO1，CO ，3又 AC2，AO 2CO 2AC 2，AOC90 ，即 AOOC.BDOC O
8、，AO平面 BCD.(2)以 O 为坐标原点建立空 间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(1,0,0)， C(0， ，0)，A(0,0,1)，3E ，(12，32，0) (1,0,1)， (1， ，0)，BA CD 3cos ， .BA CD BA CD |BA |CD | 24异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 .249四棱锥 PABCD 的底面是正方形， PD 底面 ABCD，点 E在棱 PB 上(1)求证：平面 AEC平面 PDB；(2)当 PD AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成2的角的大小【解】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标 系 Dxyz
9、，设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1) ( a，a,0)， (0,0，h)， (a，a,0)，AC DP DB 0， 0，AC DP AC DB ACDP，ACDB，又 DPDBD，AC平面 PDB，又 AC平面 AEC，平面 AEC平面 PDB.(2)当 PD AB 且 E 为 PB 的中点时， P(0,0， a)，E2 2，(12a，12a，22a)设 ACBDO，O ，连结 OE，由(1)知 AC平面 PDB 于(a2，a2，0)O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角， ， ，EA (12a， 12a
10、， 22a) EO (0，0， 22a)cosAEO ，EA EO |EA |EO | 22AEO45，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.能 力 提 升 层 次 1已知在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB BC1，AA 12，E是侧棱 BB1 的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为( )A60 B90C 45 D以上都不对【解析】 以点 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，如 图由题意知，A 1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以(0,1， 1)， (
11、1,1 ， 1)， (0， 1，1)A1E D1E EA 设平面 A1ED1 的一个法向量 为 n(x ，y，z)，则Error!Error!令 z 1，得 y1，x 0，所以 n(0,1,1)，cosn， 1.EA nEA |n|EA | 22 2所以n， 180.EA 所以直线 AE 与平面 A1ED1 所成的角为 90.【答案】 B2在空间中，已知平面 过(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0， a)(a0) ，如果平面 与平面 xOy 的夹角为 45，则a_.【解析】 平面 xOy 的法向量为 n(0,0,1)，设平面 的法向量为 u( x，y，z)，则Error!即
12、3x4yaz，取 z1，则 u .(a3，a4，1)而 cosn，u ，1a29 a216 1 22又a0， a .125【答案】 1253. 三棱柱 ABCA1B1C1，CACC 12CB，则直线 BC1 与直线AB1 夹角的余弦值为 ( )图 3231A. B.55 53C. D.255 35【解析】 不妨设 CACC 12CB2，则 (2,2,1) ， (0 ， 2,1)，AB1 C1B 所以 cos ， AB1 C1B AB1 C1B |AB1 |C1B | . 20 2 2 1195 55因为直线 BC1 与直线 AB1夹角为锐角，所以所求角的余弦 值为.55【答案】 A4. 如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，ABAC2 ，A 1A4，点 D 是 BC 的中点图 3232(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值
