1、2012 年全国各地中考数学压轴题专集答案三、反比例函数1 （北京模拟）如图，直线 AB 经过第一象限，分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，P 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 重合） ，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C、D设 OCx，四边形 OCPD的面积为 S（1）若已知 A（4，0） ，B（0，6） ，求 S 与 x 之间的函数关系式；（2）若已知 A（a，0） ，B（0，b） ，且当 x 时，S 有最大值 ，求 a、b 的值；34 98（3）在（2）的条件下，在直线 AB 上有一点 M，且点 M 到 x 轴、y 轴的距离相等，点 N 在过 M 点的反比
2、例函数图象上，且OAN 是直角三角形，求点 N 的坐标1解：（1）设直线 AB 的解析式为 ykxb由 A（4，0） ，B（0，6） ，得解得 直线 AB 的解析式为 y x632OCx，P （x ， x6 ）32Sx( x6)32即 S x 26x （0x 4）32（2）设直线 AB 的解析式为 ymxnOCx，P （x ，mxn）Smx 2nx当 x 时，S 有最大值 34 98 解得 直线 AB 的解析式为为 y 2x 3A（ ，0） ，B（0，3）32即 a ，b332（3）设点 M 的坐标为（x M ，y M） ，点 M 在（2）中的直线 AB 上，y M2x M3PBO C A x
3、yD点 M 到 x 轴、y 轴的距离相等，x My M 或 xMy M当 xM yM 时，易得 M 点的坐标为（ 1，1）过 M 点的反比例函数的解析式为 y 1x点 N 在 y 的图象上，OA 在 x 轴上，且OAN 是直角三角形1x点 N 的坐标为（ ，）3223当 xM y M 时， M 点的坐标为（ 3，3）过 M 点的反比例函数的解析式为 y 9x点 N 在 y 的图象上， OA 在 x 轴上，且OAN 是直角三角形9x点 N 的坐标为（ ，6）32综上，点 N 的坐标为（ ，）或（ ，6）3223 322 （北京模拟）已知点 A 是双曲线 y （k 10）上一点，点 A 的横坐标为
4、 1，过点 A 作平行于 y 轴的k1x直线，与 x 轴交于点 B，与双曲线 y （k 20）交于点 C点 D（m ，0）是 x 轴上一点，且位于直线k2xAC 右侧，E 是 AD 的中点（1）如图 1，当 m4 时，求 ACD 的面积（用含 k1、k 2 的代数式表示） ；（2）如图 2，若点 E 恰好在双曲线 y （k 10）上，求 m 的值；k1x（3）如图 3，设线段 EB 的延长线与 y 轴的负半轴交于点 F，当 m2 时，若BDF 的面积为 1，且CFAD，求 k1 的值，并直接写出线段 CF 的长解：（1）由题意得 A，C 两点的坐标分别为 A（1，k 1） ，C（1，k 2）k
5、 10，k 20，点 A 在第一象限，点 C 在第四象限，ACk 1k 2当 m4 时，S ACD ACBD ( k1k 2)12 32图 1EBOCAxyD图 2EBOCAxyD图 3EBOCAxyDF（2）作 EGx 轴于点 G，则 EGABE 是 AD 的中点， G 是 BD 的中点A（1，k 1） ， B（1，0） ，D（m ，0）EG AB ，BG BD ，OGOBBG 12 k12 12 m 12 m 12点 E 的坐标为 E（ ， ）m 12 k12点 E 恰好在双曲线 y （ k10）上k1x k 1 m 12 k12k 10，方程可化为 1，解得 m3m 14（3）当 m2
6、时，点 D 的坐标为 D（2，0） ，由（2）可知点 E 的坐标为 E（ ， ）32k12S BDF 1， BDOF1，OF 212设直线 BE 的解析式为 yaxb（a0）B（1，0） ，E（ ， ）32k12 解得 直线 BE 的解析式为 yk 1xk 1线段 EB 的延长线与 y 轴的负半轴交于点 F，k 10点 F 的坐标为 F（0，k 1） ，OFk 1k 12线段 CF 的长为 53 （上海模拟）RtABC 在直角坐标系中的位置如图所示，tan BAC ，反比例函数 y （k0）在12 kx第一象限内的图象与 BC 边交于点 D（4，m ） ，与 AB 边交于点 E（2，n） ，B
7、DE 的面积为 2（1）求反比例函数和直线 AB 的解析式；（2）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 是射线 FD 上一动点，是否存在点 P 使以 E、F、P 为顶点的三角形与AEO 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）点 D（4，m） 、E（2，n）在反比例函数 y （k0）的图象上kx 得 n2m过点 E 作 EH BC 于 H，连接 DEEBOCAxyDGBO CA xyDEFBO CA xyDE HFEBOCAxyDF在 Rt BEH 中，tan BEHtanBAC ，EH 2，BH 112D（4，m） ，E（2，2m） ，B（4，2m1）S BDE
8、BDEH ( m 1)22，m112 12D（4，1） ，E（2，2） ，B（ 4，3）点 D（4，1）在反比例函数 y （k0）的图象上，k4kx反比例函数的解析式为 y 4x设直线 AB 的解析式为 y kxb，把 B（4，3） ，E（2，2）代入得 解得 直线 AB 的解析式为 y x112（2）直线 y x1 与 y 轴交于点 F（0，1） ，点 D 的坐标为（ 4，1） ，12FDx 轴，EFP EAO因此以 E、F 、P 为顶点的三角形与AEO 相似有两种情况：若 ，则FEPAEOEFFP EAAOE（2，2） ，F（0，1） ，EF 5直线 y x1 与 x 轴交于点 A，A（0
9、，2）12 ，FP1P（1，1）若 ，则FPEAEOFPEF AEOA ，FP5P（5，1）4 （安徽某校自主招生）如图，直角梯形 OABC 的腰 OC 在 y 轴的正半轴上，点 A（5n，0）在 x 轴的负半轴上，OA : AB : OC5 : 5 : 3点 D 是线段 OC 上一点，且 ODBD（1）若直线 ykxm（k0）过 B、D 两点，求 k 的值；（2）在（1）的条件下，反比例函数 y 的图象经过点 Bmx求证：反比例函数 y 的图象与直线 AB 必有两个不同的交点；mx设反比例函数 y 的图象与直线 AB 的另一个交点为 E，已知点 P（p，n1） ，mxQ（q，n2）在线段 A
10、B 上，当点 E 落在线段 PQ 上时，求 n 的取值范围xyOCABEFBO CA xyDEFPBO CA xyDEF P解：（1）A（5n，0） ，OA : OC5 : 3，点 C 在 y 轴的正半轴上C（0，3n）BCOA，点 B 的纵坐标为3n过点 B 作 BG OA 于 G，则 BG3n设 OGx，在 RtABG 中，(5nx )2(3n )2(5n )2解得 xn 或 x9n（舍去）B（n，3n）设 ODt，点 D 是线段 OC 上一点，且 ODBDt 2(3nt )2(n )2，t n53D（0， n）53把 B、D 的坐标代入 ykxm ，得解得 k 43（2）比例函数 y 的
11、图象经过点 B，mn(3n )3n 2mxy 3n 2x由 A（5n，0） ，B（n，3n）可得直线 AB 的解析式为 y x n34 154由 y 和 y x n 消去 y 并整理得：3x 215nx12n 203n 2x 34 154(15n )24312n 29n 20反比例函数 y 的图象与直线 AB 必有两个不同的交点3n 2x联立 解得 E（4n， n）34当点 E 过点 P 时，有n1 n，n434当点 E 过点 Q 时，有n2 n，n834当点 E 落在线段 PQ 上时， n 的取值范围是：8n 45 （浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk( x 2x1)的
12、图象交于点 A（1，k）和点 B（1，k ） （1）当 k2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；xyOCABEFGD（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值解：（1）当 k2 时，A （1，2）设反比例函数为 y ，则 k1(2)2kx反比例函数的解析式为 y 2x（2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大则反比例函数只能在二、四象限，k k 0此时二次函数开口向下，故 x 才满足要求b2a 12综上所述，k 0 且 x 12
13、（3）yk( x 2x1)k( x )2 k，Q （ ， k）12 54 12 54A（1，k） ，B（1，k ） ， A、B 两点关于原点 O 对称，即 O 是 AB 的中点又ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形，OQOA( )2( k )21 2k 2，解得 k 12 546 （浙江义乌）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D 为对角线 OB 的中点，点 E（4，n）在边 AB 上，反比例函数 y 在第一象限内的图象经过点 D、E，且 tanBOA kx 12（1）求反比例函数的解析式；（2）若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形折叠，
14、使点 O 与点 F 重合，折痕分别与 x、y轴正轴交于点 H、G，求线段 OG 的长解：（1）在 RtBOA 中，OA 4，tanBOA 12ABOA tanBOA2，B（4，2）点 D 为对角线 OB 的中点，D（2，1）点 D 在反比例函数 y 的图象上，1 ，k2kx k2反比例函数的解析式为 y 2x（2）设点 F（a，2） ，则 2a2，CFa1连接 FG，设 OGt，则 OGFGt，CG2t在 Rt CGF 中， FG 2CF 2 CG 2t 21 2( 2t )2，解得 t 54OGt 54GBFCxOyAHDEGBFCxOyAHDE7 （浙江某校自主招生）已知点 P 的坐标为（
15、m ，0） ，在 x 轴上存在点 Q（不与 P 重合） ，以 PQ 为边，PQM60作菱形 PQMN，使点 M 落在反比例函数 y 的图象上（1）如图所示，若点 P 的坐标为（1，0） ，图中已经画出一个符合条件的菱形 PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点 M1 的坐标；（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点 M 在第四象限，另一个菱形的顶点M1 在第二象限通过改变 P 点坐标，对直线 MM1 的解析式 y kxb 进行探究可得 k_，若点P 的坐标为（m，0） ，则 b _（用含 m 的代数式表示） ；（3）继续探究：若点 P 的坐标为（m ，0） ，则 m
16、在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点 M 坐标的所有情况解：（1）过 M1 作 M1HPQ 1 于 H，设 Q1（x ，0） ，显然点 Q1 在 x 轴的负半轴上，点 M1 在第二象限P（1，0） ，M 1Q1PQ 11xPQM 160，Q 1H (1x )，M 1H (1x )12OHx (1x ) (1x )12 12M 1（ (1x )， (1x )）12点 M1 在反比例函数 y 的图象上 (1x ) (1x )2 ，解得：x3（舍去）或 x312 3M 1（1，2 ）3（2）k ， b m3 3提示：连接 PM1、PM ，则M
17、 1PQ1OPNMPN60M 1PM180，即 M1、P、M 三点共线且M 1MN60可得直线 MM1 的解析式为 y xb，k 3 3若点 P 的坐标为（m，0） ，则直线 MM1 的解析式为 y x m3 3b m3（3）若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边 PN 或对角线 PM 所在直线与双曲线只xyPOQMNQ1M1 N1HxyPOQMNxyO备用图xyPOQ3M3 N3(Q1)M1 N1Q6M6N6有一个交点由QPM60或PNM60 ，P（m，0） ，得直线 PM 或直线 PN 的解析式为 y x m3 3令 y x m ，得 x 2mx203 3m 280，得 m2
18、2当2 m 2 时， 0，满足条件的菱形有两个2 2当 m2 时，0，满足条件的菱形有三个2当 m 2 或 m 2 时，0，满足条件的菱形有四个2 2由知，当符合条件的菱形刚好有三个时，m 2 2当 m2 时，点 P 的坐标为（2 ，0）2 2把 m2 代入 x 2mx20，得 x 22 x202 2解得 x ， M1（ ， ）2 2 6设 Q（x，0） ，由（1）知， (2 x ) (2 x )2 12 2 2 3解得：x4 或 x4M 2（2 ，2 ） ，M 3（2 ，2 ）2 3 6 2 3 6当 m2 时，由对称性可得：M 4（ ， ） ，M 5（ 2 ，2 ） ，M 6（2 ，2 ）
19、2 2 6 2 3 6 2 3 68 （浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，AOB 的顶点 O 是坐标原点，点 A 坐标为（1，3） ，A、B两点关于直线 yx 对称，反比例函数 y （x0）图象经过点 A，点 P 是直线 yx 上一动点kx（1）填空：B 点的坐标为（_，_） ；（2）若点 C 是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点 C，使得以 A、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 C 坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 Q 是线段 OP 上一点（Q 不与 O、P 重合） ，当四边形 AOBP 为菱形时，过点 Q 分别作直线 OA和直线 AP 的垂线，垂足分别
20、为 E、F，当 QEQFQB 的值最小时，求出 Q 点坐标解：（1） （3，1）（2）反比例函数 y （x0）图象经过点 A（1，3）kxk133反比例函数的解析式为 y 3x点 P 在直线 yx 上，设 P（m，m ）若 PC 为平行四边形的边点 A 的横坐标比点 B 的横坐标小 2，点 A 的纵坐标比点 B 的纵坐标大 2若点 C 在点 P 下方，则点 C 的坐标为（m 2，m2） ，如图 1若点 C 在点 P 上方，则点 C 的坐标为（m 2，m2） ，如图 2把 C（m2，m2）代入反比例函数的解析式，得：BxOyABxOyA备用图BxOyA PC图 2BxOyA PC图 1xyP O
21、Q5M5 N5(Q4)N2Q2M2M4N4m2 ，解得 m3m 2 7m0，m 7C 1（ 2， 2）7 7同理可得另一点 C2（ 2， 2）7 7若 PC 为平行四边形的对角线，如图 3A、B 关于直线 yx 对称，OP AB此时点 C 在直线 yx 上，且为直线 yx 与双曲线 y 的交点3x由 解得 （舍去）C 3（ ， ）3 3综上所述，满足条件的点 C 有三个，坐标分别为：C1（ 2， 2） ，C 2（ 2， 2） ，C 3（ ， ）7 7 7 7 3 3（3）连接 AQ，设 AB 与 OP 的交点为 D，如图 4四边形 AOBP 是菱形，AOAPS AOP S AOQ SAPQ O
22、PAD AOQE APQF12 12 12QEQF 为定值OPADAO要使 QEQFQB 的值最小，只需 QB 的值当 QBOP 时，QB 最小，所以 D 点即为所求的点A（1，3） ，B（3，1） ，D （2，2）当 QEQF QB 的值最小时，Q 点坐标为（2，2）9 （浙江模拟）已知点 P（m ，n）是反比例函数 y （x0）图象上的动点，PAx 轴，PBy 轴，分6x别交反比例函数 y （x 0 ）的图象于点 A、B，点 C 是直线 y2x 上的一点3x（1）请用含 m 的代数式分别表示 P、A、B 三点的坐标；（2）在点 P 运动过程中，连接 AB，PAB 的面积是否变化，若不变，请
23、求出PAB 的面积；若改变，请说明理由；（3）在点 P 运动过程中，以点 P、A、B、C 为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由BxOyAP图 4QDEFBxOyA PC图 3BxOyA PCy 6xy 3xy2 x解：（1）P（m，） ，A（ ， ） ，B（m ，）6m m26m 3m（2）PAm ，PB m2 m2 6m 3m 3mS PAB PAPB 12 12 m2 3m 34PAB 的面积不变（3）若 AP 是平行四边形的边，如图 1、图 2则 APBQ 且 APBQ得 Q（ ，）或 Q（ ，）m23m 3m23m点 Q 在直线 y2x 上 2
24、 或 23m m2 3m 3m2解得 m 或 m1（舍去负值）3P（ ，2 ）或 P（1，6）3 3若 AP 是平行四边形的对角线，如图 3则 QAPB 且 QAPB得 Q（ ， ）m2 6m 3m点 Q 在直线 y2x 上 2 ，解得 m3（ 舍去负值）6m 3m m2P（3，2）10 （江苏徐州）如图，直线 yxb（b4）与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，与反比例函数 y 的4x图象相交于点 C、D（点 C 在点 D 的左侧），O 是以 CD 长为半径的圆CEx 轴，DEy 轴，CE、DE 相交于点 E（1）CDE 是_三角形；点 C 的坐标为_，点 D 的坐标为_（用含有 b 的代数式表示）；（2）b 为何值时，点 E 在O 上？（3）随着 b 取值逐渐增大，直线 yxb 与O 有哪些位置关系？求出相应 b 的取值范围 5 5 4 224xOy备用图 5 5 4 224 BxOyADC Ey 4xyx bABPO xQy图 2ABPO xQy图 3ABPO xQy图 1
