1、智浪教育-普惠英才文库1普通物理的数学基础选自赵凯华老师新概念力学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。1函数及其图形本节中的不少
2、内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。11 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量 x 和 y，如果每当变量 x 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的对应值，我们就称 y 是 x 的函数，并记作y=f(x），（A1）其中 x 叫做自变量，y 叫做因变量，f 是一个函数记号，它表示 y 和 x 数值的对应关系。有时把 y=f（x）也记作 y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号，如 （x）、（x）等等。常见的函数可以用公式来表达，例如ex等等
3、。在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面智浪教育-普惠英才文库2切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如 a、b、c 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如 a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量。当 y=f（x）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值 f（x 0）。例如：（1）若 y=f（x）=3+2x，则当 x=-2 时 y=f（-2）=3+2（-2）=-1一般地说，当 x=x0时，y=f（x 0）=3+2x 012 函数的图形在解析
4、几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于我们直观地了解一个函数的特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量 x，纵轴代表因变量（函数值）y=f（x）这样一来，把坐标为（x，y）且满足函数关系 y=f（x）的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌。图 A-1便是上面举的第一个例子 y=f（x）=3+2x 的图形，其中 P1，P 2，P 3，P 4，P 5各点的坐标分别为（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图 A-2 是第二个例子各点连接成双曲线的一支。13 物理学中函
5、数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。（1）匀速直线运动公式s=s0vt， （A2）此式表达了物体作匀速直线运动时的位置 s 随时间 t 变化的规律，在这里 t 相当于自变量 x，s 相当于因变量 y，s 是 t 的函数。因此我们记作智浪教育-普惠英才文库3s=s（t）s 0vt， （A3）式中初始位置 s0和速度 v 是任意常量，s 0与坐标原点的选择有关，v 对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。图 A-3 是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线。下面我们将看到，它的斜率等于 v（2）匀变速直线运动公式v=
6、v0at， （A5）两式中 s 和 v 是因变量，它们都是自变量 t 的函数，因此我们记作vv（t）v 0tat（A7）图 A-4a、4b 分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线。（A6）和（A7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式中初始位置 s0、初速 v0和加速度 a 都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化。例如在讨论自由落体问题时，如果把坐标原点选择在开始运动的地方，则s00，v 00，ag9.8ms 2，这时（A6）和（A7）式具有如下形式：vv（t）gt （A9）这里的 g 可看作是绝对常量，式中不再有任意常量了。（3）玻意耳定律PVC （A10）上式表达了一定质
7、量的气体，在温度不变的条件下，压强 P 和体积 V 之间的函数关系，式中的 C 是任意常量。我们可以选择 V 为自变量，P 为因变量，这样，（A10）式就可写作它的图形和图 A-2 是一样的，只不过图中的 x、y 应换成 V、P在（A10）式中我们也可以选择 P 为自变量，V 为因变量，这样它就应写成智浪教育-普惠英才文库4由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的。（4）欧姆定律UIR （A13）当我们讨论一段导线中的电流 I 这样随着外加电压 U 而改变的问题时，U 是自变量，I 是因变量，R 是常量。这时，（A13）式应写作即 I 与 U 成正比。应当指出，任意常量与变量之间的界限
8、也不是绝对的。例如，当我们讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一样的，（A13）式中的电流 I 成了常量，而 R 是自变量，U 是因变量，于是UU（R）IR， （A15）即 U 与 R 成正比。但是，当我们讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各分支两端具有共同的电压，（A13）式中的 U 就成了常量，而 R 为自变量，I 是因变量，于是即 I 与 R 成反比。总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要根据我们所要讨论的问题来具体分析。2导数21 极限如果当自变量 x 无
9、限趋近某一数值 x0（记作 xx 0）时，函数 f（x）的数值无限趋近某一确定的数值 a，则 a 叫做 xx 0时函数 f（x）的极限值，并记作（A17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A17）式读作“当 x 趋近 x0时，f（x）的极限值等于 a”。极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。考虑下面这个函数：智浪教育-普惠英才文库5这里除 x1 外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当但是若问 x1 时函数值 f（1）？我们就会发现，这时（A18）式的说是没有
10、意义的。所以表达式（A18）没有直接给出 f（1），但给出了 x 无论如何接近 1 时的函数值来。下表列出了当 x 的值从小于 1 和大于 1两方面趋于 1 时 f（x）值的变化情况：表 A-1 x 与 f（x）的变化值x 3x2-x-2 x-10.9 -0.47 -0.1 4.70.99 -0.0497 -0.01 4.970.999 -0.004997 -0.001 4.9970.9999 -0.0004997 -0.0001 4.99971.1 0.53 0.1 5.31.01 0.503 0.01 5.031.001 0.005003 0.001 5.0031.0001 0.00050
11、003 0.0001 5.0003从上表可以看出，x 值无论从哪边趋近 1 时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值5，这便是 x1 时 f（x）的极限值。其实计算 f（x）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2（3x2）（x-1），并在 x1 的情况下从分子和分母中将因式（x1）消去：即可看出，x 趋于 1 时函数 f（x）的数值趋于 3125。所以根据函数极限的定义，智浪教育-普惠英才文库622 几个物理学中的实例（1）瞬时速度当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点 O 的距离 s 来描述。在运动过程中 s 是随时间 t 变化的，也就是
12、说，s 是 t 的函数：ss（t）函数 s（t）告诉我们的是这个物体什么时刻到达什么地方。形象一些说，假如物体是一列火车，则函数 s（t）就是它的一张“旅行时刻表”。但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，我们还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念。例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等。为了建立速率的概念，我们就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况。假设我们考虑的是从 tt 0到 tt 1的一段时间间隔，则这间隔的大小为tt 1-t0根据 s 和 t 的函数关系 s（t）
13、可知，在 t0和 t1t 0+t 两个时刻，s 的数值分别为 s（t 0）和 s（t 1）s（t 0+t），即在 t0到 t1这段时间间隔里s 改变了ss（t 1）s（t 0）s（t 0+t）s（t 0）在同样大小的时间间隔t 里，若 s 的改变量s 小，就表明物体运动得慢， 举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A4）式有智浪教育-普惠英才文库7所以体在 tt 0时刻的瞬时速率 v，即对于匀变速直线运动来说，这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A5）。（2）瞬时加速度一般地说，瞬时速度或瞬时速率 v 也是 t 的函数：vv（t）但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，我们还需要
14、知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念。智浪教育-普惠英才文库8类似。在直线运动中，首先取一段时间间隔 t0到 t1，根据瞬时速率 v 和时间 t 的函数关系 v（t）可知，在 tt 0和 tt 1两时刻的瞬时速率分别为v（t 0）和 v（t 1）v（t 0+t），因此在 t0到 t1这段时间间隔里 v 改变了v=v（t 0+t）-v（t 0）举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A5）式有所以平均加速度为时的极限，这就是物体在 tt 0时刻的瞬时加速度 a：（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把 x 坐标轴
15、取为逆水渠走向的方向（见图 A-5），于是各处渠底的高度 h 便是 x 的函数：h=h（x）知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。智浪教育-普惠英才文库9在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度”的概念。譬如说，若逆水渠而上，渠底在 100m 的距离内升高了 20cm，人们就说这水渠的坡度是大小反映着高度随长度变化的快慢程度。如果用数学语言来表达，我们就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为 x0和 x1，于是这段水渠的长度为xx 1-x0根据 h 和 x 的函数关系 h（x）可知，在 x0和 x1=x0+x 两地 h 的数值分别为 h（x 0）和 h（x 1）h（x 0+x），所以在
16、x 这段长度内 h 改变了hh（x 0+x）-h（x 0）根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为在前面所举的数字例子里，x 采用了 100 米的数值。实际上在 100 米的范围内，水渠的坡度可能各处不同。为了更细致地把水渠在各处的坡度反 就愈能精确地反映出 x=x0这一点的坡度。所以在 x=x0这一点的坡度 k 应是23 函数的变化率导数前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是 t，第三个例子中自变量是 x这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数
17、的“变化率”概念。当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“”来表示。例如，当自变量 x 的数值由 x0变到 x1时，其增量就是xx 1-x0 （A25）智浪教育-普惠英才文库10与此对应。因变量 y 的数值将由 y0f（x 0）变到 y1=f（x 1），于是它的增量为yy 1-y0=f（x 1）f（x 0）f（x 0+x）f（x 0）（A26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。增量比可以叫做函数在 xx 0到 xx 0+x 这一区间内的平均变化率，它在x0 时的极限值叫做函数 yf（x）对 x 的导数或微商，记作 y或f（x），f（x）等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。应当指出，函数 f（x）的导数 f（x）本身也是 x 的一个函数，因此我们可以再取它对 x 的导数，这叫做函数 yf（x）据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：24 导数的几何意义
