1、一元二次方程的几何应用附解析（中考数学知识点分类汇编）一元二次方程的几何应用一、选择题1. （2018 贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2 -7x+10 = 0 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 12 B. 9 C. 13 D. 12 或 9【答案】A【解析】解 x2 -7x+10 = 0，得 x=2 或 5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，腰长为 5，底边长为 2.该等腰三角形的周长为5+5+2=12.【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边.二、填空题1. （2018 湖北黄冈，12 题，3 分）一个三角形的两边长分别为
2、3 和 6，第三边长是方程 x2-10x+21=0 的根，则三角形的周长为_【答案】16【解析】解该方程得 x1=3，x2=7，因为两边长为 3和 6，所以第三边 x 的范围为：6-3x6+3，即3x9，所以舍去 x1=3，即三角形的第三边长为 7，则三角形的周长为 3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2. （ 2018 江西， 12，3 分）在正方形 ABCD 中，AB6 ，连接 AC， BD，P 是正方形边上或对角线上一点，若 PD2AP，则 AP 的长为_【答案】2，23，142 【解析】PD2AP，设 APx，则 PD2x，当 P 在 AD 边上时，如解图，AD6，
3、AP PD6，x 2x6 即 x2，AP 2当 P 在 DC 上时，如解图 在 RtADP 中，AP PD，PD2AP，第 12 题解图 第 12 题解图当 P 在 BC 边上时，如解图，DP 最大为 62，AP 最小为 6，PD 2AP，当 P 在 AB 上时，如解图，在 RtADP 中，AP2 AD2PD2，x2 62(2x)2，解得 x123，x223(舍)，AP23；第 12 题解图 第 12 题解图 第 12 题解图 第 12 题解图当 P 在 AC 对角线上时，如解图，在 RtADC 中，ACAB2BC2 62，AO 12AC32，在 RtPDO中，PO32 x ，PD2x ，DO
4、AO32，PD2PO2DO2，(2x)2(32)2(32 x)2，解得x1142，x2142(舍)，AP142 ；当 P 在 DB 对角线上时，如解图，在 RtAPO 中，AP2 AO2PO2 ，x2(2x32)2(32)2 ，整理得：x242x120，(42)2 4112 160，方程无解，综上所述：AP2 或 23 或 142【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3. （2018 浙江省台州市，16，5 分） 如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在 ， 上， ， ， 相交于点 .若图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ，则 的周长为 【答案】 【思路分析】通过正方形的边长可以求出
5、正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明 BCE CDF，一是可以得到 BCG 是直角三角形，二是可以得到 BCG 的面积，进而求出 ；利用勾股定理可以求出 ，这样就可以求出 ，因而BCG 的周长就可以表示出来了.【解题过程】在正方形 ABCD 中，AB=3， ，阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2:3，空白部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 1:3， ，四边形 ABCD 是正方形，BC=CD，BCE=CDF=90 CE=DF,BCECDF(SAS)CBE=DCF,DCF+BCG=90,CBE+ BCG
6、=90 ,即BGC=90，BCG 是直角三角形易知 ， ， ，根据勾股定理： ，即 ， ，BCG 的周长=BG+CG+BC= 【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1. （2018 浙江杭州，21，10 分） 如图，在ABC中，ACB=90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 AB 于点 D，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连接 CD。（1 ）若A=28，求ACD 的度数；（2 ）设 BC= ，AC= 线段 AD 的长度是方程 的一个根吗？说明理由；若 AD=EC，求 的值。【思路分析】 （
7、1）先求B,再根据等腰三角形知识求BCD ，在用直角求出ACD；（2 ）根据勾股定理表示出 AB，表再示出 AD，根据一元二次方程的解表示出 的解进行对比；由 AD=AE,则可得 AD= ，从而可列方程求解出比值【解题过程】 【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换1. （2018 湖北鄂州， 20，8 分）已知关于 x 的方程 （1 ）求证：无论 k 为何值，原方程都有实数根；（2 ）若该方程的两实数根 x1，x2 为一菱形的两条对角线之长，且 ，求 k 值及该菱形的面积【思路分析】 （1）只需证明根的判别式0 ，即可证得无论 k 为何值，原方程都有实数根；（ 2）利用
8、韦达定理求出 k 值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积【解析】解：（1）证明：由题意可知，a1，b（ 3k3） ，c ， b24ac ， 0 ，0，无论 k 为何值，原方程都有实数根；（2 ）由根与系数的关系可知 ， ， ，化简得 ， ，解得 k2 或7，x1，x2 为一菱形的两条对角线之长，且 x1x2 3k3，3k3 0，k7舍去，k2，该菱形的面积为 9【知识点】根与系数的关系；一元二次方程；根的判别式；菱形的性质；菱形的面积公式2. （2018 湖北宜昌，21，8 分）如图，在 中， . 以 为直径的半圆交 于点 ，交 于点 .延长 至点 ，使 ,连接 .(1)
9、求证: 四边形 是菱形；(2) 若 ，求半圆和菱形 的面积.(第 21 题图 ) 【思路分析】(1)先由 ，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到 ，证明四边形 是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形 是菱形.(2) 设 ，则 ，连接 ，在 RtBDA 中， ,在 RtBDA 中， , ,从而建立方程，求出 x 的值，并求出 BD 的值，求出半圆和菱形 的面积.【解析】(1)证明： 为半圆的直径，,又 ,四边形 是平行四边形.又 ,（或 ， ）平行四边形 是菱形.(3) 解：连接 ， ,设 ，则 ，(第 21 题第 2 问答图) 为半圆的直径，,在 RtBDA 中， ,在 RtBDA 中， ,或 （舍去）,【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式.
