1、1考研数学：巧用对称性计算第二类空间曲线积分来源：文都教育曲线积分和曲面积分是高等数学的一个重要章节，是考研数学（一）的必考内容之一，也是一个难点。由于空间曲线积分和曲面积分需要一定的空间想象能力，并且其计算也相对比较复杂，因此有很多同学对这一部分理解起来比较困难，学起来比较吃力。为了帮助同学们更好地理解和掌握这部分知识，下面文都教育的蔡老师对第二类空间曲线积分中的对称性及其运用进行一些分析，供考研数学（一）的同学和学习这部分的在校同学参考。1、第二类空间曲线积分的对称性第二类空间曲线积分的对称性包括以下多种情形：1）若空间曲线 关于 平面对称， 在 平面上方部分为 ，则LxoyLxoy1L，
2、 ，10,2,LLPzPdx关 于 为 偶 函 数关 于 为 奇 函 数 10,2,LLQzd关 于 为 偶 函 数关 于 为 奇 函 数，即对于 和 是偶零奇倍，对于1,LLRRzz关 于 为 奇 函 数关 于 为 偶 函 数 Pxdy是奇零偶倍。d注：若曲线 关于 平面或关于 平面对称，则有类似结论。yozzox证：设 的参数方程为 ，其中 ，则 在 平面下方部分曲1L()xtzt:tLxoy线 的方程为 ，其中 ，如图所示：2()xtyzt:t212(),()(),()LLLPdxPdxttdtPttdt ，(),(),tt若 关于 是偶函数，则 ， ；z(),()(),()tttt0L
3、x若 关于 是奇函数，则 ，P ,PP，12(),()2L Ldxttdtx 故 ，同理 。10,Lzdx关 于 为 偶 函 数关 于 为 奇 函 数 10,2,LQzdyy关 于 为 偶 函 数关 于 为 奇 函 数类似可得 (),()(),()LRzttRttdt若 关于 是偶函数，则 ；122L Ldz Rz 若 关于 是奇函数，则 ，故 。z010,2LLdzz关 于 为 奇 函 数关 于 为 偶 函 数2）若空间曲线 关于原点对称，且 过原点， 在原点一侧的部分为 ，则L 1L，对 和 亦有类似结论。10,(,),LLPxyzPdx关 于 为 奇 函 数关 于 为 偶 函 数 LQd
4、yLRz证：设 的参数方程为 ，其中 ，则 在原点另一侧的部分1()tyzt:t的方程为 ，其中 ，如图所示：2L()xtyzt:t312LLLPdxPdx(),()(),()ttttttd ，,若 关于 是奇函数，则 ，P(,)xyz(),()(),()PttPtt；0Ld若 关于 是偶函数，则 ，(,)xyz(),()(),()tttt；12,()2L LPttdPx 故 。10,()LPxyzdx关 于 为 奇 函 数关 于 为 偶 函 数3）若空间曲线 关于原点对称，且 不过原点， 在 平面上方部分为 ，Lxoy1L则，对 和 亦有类似结论。10,(,)2,LLPxyzPdx关 于 为
5、 偶 函 数关 于 为 奇 函 数 LQdyLRz证：设 的参数方程为 ，其中 ，则 在原点另一侧的部分1()tyzt:t的方程为 ，其中 ，如图所示：2L()xtyzt:t412LLLPdxPdx(),()(),()ttttttd ，,若 关于 是偶函数，则 ， P(,)xyz(),()(),()PttPtt；0Ld若 关于 是奇函数，则 ，(,)xyz(),()(),()tttt；12,()2L LPttdPx 故 。10,()LPxyzdx关 于 为 偶 函 数关 于 为 奇 函 数4）若空间曲线 关于平面 对称，则 ，(,)(,)LLPxyzdPyxzd， ，该对称性称为(,)(,)L
6、LQxyzdxyzd(,),LRR轮换对称性（对换反号） 。注：若曲线 关于平面 或 对称，则有类似结论。zxyz证：设曲线 位于平面 两侧的部分分别为 和 ， 的参数方程为L1L21，其中 ，则 的参数方程为 ，其中 ，()xtyzt:t2L()xtyzt:t12(,)(,)(,)LLLPxdPxyzdPxd,()tttttt 12()(,)()LLLyxzyxzyxz5(),(t)(),(t)PtdtPtdt ，, 故 ；同理可得 ，(,)(,)LLxyzyxz(,)(,)LLQxyzxyzd。RdRd二、典型例题分析例. 计算 ，其中 是 与 0xyz的交线，22LydxzdL22xyz
7、R从 轴的正向看为顺时针方向。z解：法 1：（用对称性）因为曲面 与 xyz都是关于原点22xyz对称的，所以它们的交线 也是关于原点对称的，而 对于 都L22， ， (,)xyz是偶函数， 不经过原点，根据原点对称性可得 ，L 0LLLydxzd因此 。220ydxzd法 2：（用 斯托克斯公式）设 围成的平面 0xyz的接口为 ，取下侧，L则 的法向量为 ，方向余弦为 ，(1,) 1(cos,cs)(,)3由斯托克斯公式得 222211(2)33LydxzddSzxydSxyz。()03xyzS从上面的分析可知，第二类空间曲线积分的对称性计算包括：对某个坐标平面的对称性（ 平面）、原点对称性（分为：曲线过原点和不过原,xoyz点两种情形）、轮换对称性（关于平面 或 对称），其中的一些xy,zx6对称性与定积分、重积分及第一类曲线积分的对称性是完全相反的，大家要注意它们之间的差别。关键词：考研数学 曲线积分 第二类空间曲线积分 对称性
