1、考研数学集训测试题及答案解析（第五套）一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设 在 内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. ()fx,)（A） （B） （C ） （D）sin0sin()xtfdt0(sin)xftd0sin()xtfdt解 选择 B. 由题设知， 为偶函数，故 为奇函数.(ft2.设 则 是 的（）. 1e,0(),xfx()f（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点解 选择 B. ， ，故 是 的跳跃间断点.100elim()lixxxf
2、100elim()lixxxf0()fx3.若函数 与 在 内可导，且 ，则必有（）.()fg(,)()fg（A） （B ）x(fx（C） （D）00lim()li()xxf00)()xtdt解 选择 C. 由函数 与 在 内可导知， 与 在 内连续，(fxg,()fxg(,)， ，而 ，故 .00li()xf00li)xg00()fx00limlixx4.已知级数 和 分别收敛于 ，则级数 （）.【C 】1()na21n,ab1na(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为 2(C)必收敛，和为 (D) 必收敛，和为2abab解 选择 D. 由级数 收敛知， ，1()nlim0n设 ， 的前 项
3、和分别为 ，则 ，1()na21na,nsSlim,linnsaSb2122kk，123421242( )()k kaaa ksS故 ， ，22limli()2kksSab2121limli()2kkab所以 ，级数 收敛，和为 .linab1nab5.设矩阵 与 相似，则 （）.A021B()2)rAE(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6解 选择 A. 矩阵 与 相似，则 与 相似，AB2EB故 .()2)()13rEr6.设 3 阶方阵 的特征值是 ，它们所对应的特征向量依次为 ，令 ，则1,3123,312(,)P（） .1PA（A） （B ）90402（C） （D）102310
4、49解 因为 分别为 的对应特征值 的特征向量，故 .312,A3,121PA3027. 设随机变量 服从 上的均匀分布，则 与 （）.X,XeXY（A）不相关 （B）相关 （C）独立 （D）相关且不独立解 选择 A. 经计算得， ， .(,)(,e)(e)e0XXXovYvEXY8. 设 是取自正态总体 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（） . 1,nX 0,1N（A） （B） （C） （D）(0,)2()()nSn(1)nXtS21(,)niiFX解 选择 D. 由一个正态总体的抽样分布知 A，B，C 都正确， ，但是它们不独立，2211(),()nii不能推出 .21(,)niiX
5、F二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上）9.设函数 具有连续偏导数，且 ， ，则 . (,)fxy2(,34)fxx(1,3)2f(1,3)yf解 答案为 . 方程 两边对 求导，得12(,3)fx，2(,34)4()1xyf x令 ，得 ，故 .(,(,)1xff,yf10.微分方程 的通解为 . ey解 答案为 . e(1)xxC(e1)(e1)xxddyC.eeeee()()xx xx xxd11.设 ，则 .20cosnxax2a解 答案为 . 120s1dx12.设 为锥面 外侧，则 .S2()zxyz Sydz解 答案为 . 关于 面反
6、向对称， 关于 为偶函数，故 .0ox0Sydz13.设 为 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为 1，则齐次方程组 的通解为 .An Ax解 答案为 ， 为任意常数. 由题设知， ， ， 且T(1,)k k*()1r()1rAn()1rA，故 的列向量 是 的基础解系 .*EO*T(,) 0x14.设随机变量 与 相互独立，且都服从正态分布 ，则 .解 答案为 . XY(,1)Nmax(,)0PXY34max(,)01max(,)00PPXYXY.231()4Y三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分 9 分）设 ，而 是由方程 所确定
7、的隐函数，其中 具有连(,)ufxz(,)zxy()zxyzf续偏导数，而 具有连续导数，求 .d解 取全微分 ， ，xzdufd ()()()1dxzyxzdyz故 .()1zzxffyy16. （本题满分 10 分）设 在 上连续，且 .()fx,)0()ecostxnfdx求 ； 设 ，求级数 的和.()fx()naf12na解 令 ，则 ，uxt00 0()e()e()et xuxuxnnnnxfdfdfd故 ，即 ，0e()cosxunnfdx0()ecosuxxnnf上式两边对 求导，得 ，x1()ecseixxxnnnf即 .1()cosifxn ，级数 ， (0)naf 112
8、2nna1100() l(),1nxxnxs ddx .1()l22nas17. （本题满分 10 分）设球体 的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例2(0)xyza系数 ） ，求球体的质量 及球体绕 轴旋转的转动惯量 .0kMzI解 由题设知，球体 上任一点的密度 ，22(,)kxyzy球体的质量 22(,)kxyzdVdVxyz.22cos22004in3akdrdka转动惯量22 ()()(,)z xyIxyzVdVz.22cos340016in5adkrdka18. （本题满分 11 分）设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：()fx2,(2,4)423(2)1)(fxfd
9、x存在 ，使得 .(2,4)()1f证 令 ，则 ，2Fxfx2()21)()(Fxfxf 由积分中值定理知，存在 ，使得3,4c，即 ，4223(2)1)(1)(fxfdxfc ()Fc由罗尔定理知，存在 ，使得 ，即 ，即,0 22(1)()(0ff.()()1ff19. （本题满分 10 分）（数学一）证明：在右半平面 上，曲线积分 与路径无关，并求一个二元函数0x2(4)()Lxydx，使得 .(,)uxy2(4)()ydu证 ，22,4xPQy，2222()48()xyx，2222(4)8()()Pxyyy在右半平面 上， ，故曲线积分 与路径无关.0xQPy2(4)()Lxdyx解
10、 所求函数 ，(,)2104()xydu取积分路径为 到 ，再到 的折线段，则(,),(,)xy2210 0(4)11lnarctln(4)2yxydyudxx.2arctnl()2yx20. （本题满分 11 分）设二维随机向量 联合概率密度为(,)XY, 0,(,)yxef其 它 .求条件概率密度 ； 概率密度.fyxZXY解 画出联合概率密度的非零区域.关于的边缘密度0,()(,)Xxfxfyde条件概率密度,().YxyXfyf 的取值范围为Z0,当 时， ，0z()ZFz当 时，(,)xyzPzYfdxy222000(z zxzxyydedeezzxx2,()(1),0zZfzFe2
11、1.（本题满分 11 分）设 是取自总体 一个简单随机样本， 的概率密度为1,nX XX，ln,0,() 1xf求未知参数 的矩估计量；求未知参数 的最大似然估计量 .解 ，令 ，1()lnEXxfd1lnXXEe所以 的矩估计为 .Xe似然函数 ，11()l(l)(l)ninxxx nL1lnni，解得 ， ，()0lixlnx1xe所以 的最大似然估计为 .xe122.（11 分）已知两个向量组 与 .TT12,3,1,0TT12,4,15t 为何值时，两个向量组等价？t两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.解 对矩阵 作初等行变换，得12,A121414,0027353tt，407
12、10t当 时， ， ， 可由 线性表示，且t212(,)(,)rr1212(,)(,)rr12,12,， ， 可由 线性表示，即两个向量组等价.121(,)r两个向量组等价时，102147027A故 ， .1212,121274,9923.（11 分）已知二维向量 不是二阶方阵 的特征向量 .A证明 线性无关； ,A若 ，求 的全部特征值，并判断 能否与对角矩阵相似. 260证 设 ，则 ，否则 ， 是的 特征向量，与题设矛盾，将 代入12k2k12kAA20k，得 ，又 ，故 ，所以 线性无关； 120A101,解 26(6)或者 ， (3)E(30AE，又 ，故 有一个特征值为 ，从而 有一2(3)2)A2A3AE0A个特征值为 ，同理， 有一个特征值为 ，从而 有一个特征值为 ，故 的特征值为 和 . 232由于二阶方阵 有两个不同的特征值，故 能与对角矩阵相似 .
