1、初升高数学知识对接与学习方法的探究林耀钦引言初中毕业升入高中，已是基础教育的最高学段。为了完成小学六年、初中三年、高中三年共计十二年的终端检验高考，准高一学生将面临前所未有的挑战，可谓前途光明而道路曲折。高中阶段的知识学习，无论是知识层次和能力要求方面较九年制义务教育都有了很大提高，一些用“时间+汗水”苦读式的初中尖子生在高中阶段的知识学习，特别是高一学段的知识学习中出现了诸多的不适应、不顺心，更有甚者学习成绩一落千丈。究其原因主要表现在心理和生理，特别是初升高知识对接上没有做好过渡的准备。就心理和生理上的过渡准备，只要正确对待，积极调整是很容易克服的。而知识对接的准备就数学学科而言，因为在初
2、中数学知识的学习中受教学大纲和考试说明的限制，导致某些知识的学习不具体、不到位，甚至缺失，当高中数学知识的学习依赖于这部分知识时，给学生的数学学习带来了较大困难。结合现行初高中教材的学习内容，提出学习方法，学习心理一些调整和改善，为高中数学知识的学习作好过渡准备。1第一编 数学课程与思想方法要想学好数学，首先必须弄明白：什么是数学？它研究的对象有哪些？这门学科有哪些特点？怎样去学习这门课程？第一章 数学的研究对象及数学知识学习 1.1 数学的研究对象及高中数学课程数学按所研究对象的特点分为：1、代数：“研究数量关系”的称为代数。2、几何：“研究空间形式”的称为几何。几何又分为 “平面几何”和“
3、空间几何” 。3、解析几何：“用代数的方法研究几何性质”的称为解析几何。解析几何又分为“平面解析几何”和“空间解析几何” 。4、计算科学：“研究计算方法”的称为计算科学。即：1234、 代 数、 几 何数 学 、 解 析 几 何、 计 算 科 学下面我们将要完成的高中阶段所学的数学知识，按代数、几何、解析几何、计算科学四个方面的结构归纳如下:高中三年学习的数学知识结构代数 立体几何 解析几何 计算科学1.集合与函数2.基本初等函数3.函数的应用4.三角（包括三角函数，三角恒等变换及解斜三角形）5.向量及其应用6.概率与统计7.数列8.不等式及其应用9.简易逻辑10.排列组合与二项式定理（理科）
4、11.复数及其运算12.极限、导数与积分（积分仅理科选修）1. 空间几何体空间几何体的结构空间几何体的三视图和直观图空间几何体的表面积与体积2. 点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 直线、平面平行的判定与性质 直线、平面垂直的判定与性质两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质1.直线与方程直线的倾斜角与斜率直线方程的六种形式2.圆与方程圆的标准程圆的一般方程两圆的位置关系直线与圆的位置关系3.圆锥曲线 椭圆双曲线抛物线4.极坐标与参数方程极坐标与平面直角坐标参数方程（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）算法初步算法与程序框图基本算法语言算法案例2 1.2 高中数学
5、知识与已学知识的联系人教版的高中数学教材由必修和选修两部分构成，必修教材有五本，是文、理科都要所学习的。理科的选修有： ， ， ，还有 系列。文科1-23-2N-4有 , 。即：理科至少要学完 本书，文科至少要学完 本书。初、高中1287数学教材有以下联系和变化：1.代数内容：函数部分。用集合的观点完备了函数的定义。在初中学习的四个基本初等函数的基础上进一步学习：指数函数、对数函数、幂函数、对勾函数、正弦函数、余弦函数、正切函数、正弦型函数、余弦型函数、正切型函数、一元三次函数、抽象函数、复合函数、迭代函数。不等式部分。在初中学习的一元一次或一元一次不等式组的基础上进一步学习不等式的性质及应用
6、。数的扩充在初中学习实数的基础上将数的范围扩充到复数并进一步完成复数的加、减、乘、除和简单的乘方运算。数（式）的运算将在初中学习的四则运算，绝对值运算、乘方运算、方根运算的基础上引入指数运算、对数运算、三角函数运算、极限运算、导数运算和积分运算。三角函数与应用。在初中学习的解直角三角形的基础上，借助坐标系中三角函数的定义及三角函数知识进一步学习解斜三角形（锐角三角形或钝角三角形）概率与统计。在初中学习的概率、统计初步的基础上，进一步完善抽样的方法，通过对样本的分析达到对总体的估计；在初中我们学习了用频率估计概率，用列表法或树状图求事件的概率，在高中我们还将进一步学习古典概型和几何概型，理科还可
7、用排列、组合的有关知识和积分的知识求事件的概率。教材还增加了“回归分析”与“独立性检验”的知识。方程及应用。在初中学习一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的基础上进一步学习指数方程、对数方程、三角方程。突出函数、方程、不等式的数学思想。设置“集合” 、 “数列” 、 “向量” 、 “排列组合与二项式定理” 、 “简易逻辑” 、 “极限与导数” 、 “微分与积分”等相关知识。2. 几何内容： 在初中几何知识学习的基础上，进一步学习空间图形的有关知识。即：立体几何知识。教材设置了“简单的空间几何体”和“点、直线、平面”两章的内容。3.解析几何：在初中学习的坐标方法及应用的基础上，进一步明确曲
8、线与方程的对应关系，设置了“直线与方程” 、 “圆与方程” 、 “圆锥曲线的方程” “极坐标与参数方程”的学习内容。4.计算科学：在小学的算筹，初中的计算器的基础上，高中将学习计算机的简单原理和编程。教材设置了“程序框图和算法语言”的知识学习。 1.3 高一数学的特点（1）教材内容方面：内容多，抽象性、理论性强，学习中不仅注重定量计算且需作定性研究。（2）教学方面：高中数学教师要在二年或二年半（不同学校要求不同）的时间里至少完成理科 本（必修+选修） 、文科 本（必修+选修）教材的教学任务。87教师在教学中不仅要对教材中的概念、公式、定理和法则加以认真讲解；而且3还要重视对学生各种能力的培养，
9、由于时间紧，任务重，难以面面俱到，对于习惯于“依葫芦画瓢”和缺乏“举一反三”能力的学生，教师的教学会造成部分学生难以适应。（3）学法方面：高中数学学习，要求学生形成勤于思考、勇于钻研、善于触类旁通、举一反三、归纳探索规律的能力。（4）课程要求方面：随着高中数学课程的抽象性、逻辑性、概括性的增强；对学生的能力将提出了更高的要求。不仅要求学生会使用文字、符号和图形的语言表达问题并进行交流；而且也对数学思想与方法在数学学习中的应用提出了较高的要求。 1.4 对高一数学学习的建议良好的数学学习方法不是一朝一夕就可以随意形成的，它是一个非常庞大的系统的问题。它涵盖了对数学学科的态度，课堂听课的效率，课后
10、知识的巩固，课外知识的补充以及阶段学习效率的评价等各个方面。基于高一数学的特点和学生的实际，提出以下学习建议：1.抓住课堂，事半功倍。教师的主要环境是课堂，教师必定会将自己对所教课程的全部精华在课堂上传授给学生，因此，作为学生，抓住课堂，必将事半功倍。2.主动和老师接触，建立紧密的师生关系。人的感情是在不断的接触中产生的，与数学老师的距离近了，也就离数学近了。如何建立起紧密的师生关系，很简单的做法就是经常在课堂上提问或是经常跑去请教老师，天长日久，这种紧密的师生关系就会形成。3.提高听课效率。科学预习：预习中发现的难点就是听课的重点。对预习中遇到的没有掌握好的有关旧的知识，可进行补缺，以减少听
11、课过程中的困难。预习后把自己理解的东西与老师的讲解进行比较、分析，可提高自己的思维水平；预习后将课本的列题及老师要讲授的习题提前完成，还可培养很多的方法与技巧。总之，这样会使你的听课更加有的放矢，你会知道哪些该重点听，哪些该重点记。科学听课：听课的过程不是一个被动参与的过程，要全身心的投入课堂学习。做到身到、眼到、口到、手到、心到。听课时不断思考，思考面对这个问题我会怎么想？当老师讲解时，又要思考，老师为什么这样想？这里用了什么思想方法？这样做的目的是什么？这个题有没有更好的解题方法?问题多了，思路自然开阔了。科学笔记：记问题将课堂上没有听懂的问题记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通
12、。记疑点对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下来，这类疑点有可能是自己理解错误造成的，也可能是老师讲课疏忽造成的，把这类疑点记下来并及时的加以解决。记方法勤记老师教的解题技巧、思路及方法。这对于启迪思维、开阔视野、开发智力、培养解题能力，从而提高解题水平大有益处。必须用好你的数学笔记。记下来的笔记只停留在纸上，要成为自己的东西，必须用心去独立体会笔记里的每一个典型例题，每一个经典方法，每一个解题思路，完全理解并且熟练运用才是根本。养成认真作业的习惯。作业是基本知识应用和基本能力训练的有效途径，只有认真完成作业，才能更好的理解定理，定义及公式，体会教学的思想和方4法。提高分析问题和解决问题的能力
13、。作业不能马虎更不能抄袭，遇到不会的问题要及时请教同学或老师，直至把问题搞明白。及时纠错并建立错题本。将常错、易错的题目集成册子是纠正错误，改正自己的有效方法。错题本的珍贵就在于“错” ，而且是常错、易错。经常查阅错题本反思错解的原因十分有益于解题能力的提高。第 2 章 数学的语言及互译第一章我们学习了数学的定义、研究对象及中小学数学学习的范畴。若将数学比为一棵树，我们已从宏观上了解了数学树的根、茎、叶，初步了解数学的源与流。本章我们将学习什么是数学的语言？数学的语言有哪些？这些语言之间如何互译？这一章的学习将有利于同学在数学学习中做到用语的规范和数学思维品质的提高。 2.1 数学的语言语言是
14、人们交流思想的工具，数学的语言就是为了描述数学对象所采用的表达形式。常见的数学语言包括文字语言（自然语言） ，符号语言和图表语言。它们以不同的形式反映着数学的对象。 2.11 数学的文字语言数学的文字语言（自然语言）就是为了描述数学的对象而采用的特定的文字表达。多见于数学的定义、定理、数学应用问题或数学学科的思想方法中。如：1、平行线的判定定理:两条直线被第三直线所截,如果同位角相等，那么这两条直线平行。两条直线被第三直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。两条直线被第三直线所截，如果内旁内角互补，那么两直线平行。2、角平分线的定义：到角的两边距离相等的点的集合。3、应用题：一项工程，由甲单
15、独做需 天完成，由乙单独做需 天完成，如果甲乙合作需要几天完成？0254、常见的中教数学思想：分类讨论的思想，化归与转化的思想，数形结合的思想，函数、方程、不等式的思想。5、性质定理：在平面内，同垂直于同一直线的两条直线互相平行。相似三角形面积的比等于相似比的平方。 直角三角形内切圆的半径等于两条直角边长的和与斜边差的一半。6、二次函数 当且仅当942xy 71minyx时 ，7、.已知一直线和一点，过这点作且仅可作唯一直线和已知直线垂直。8、不在同一直线上的三点确定一个平面。9、对任意实数 ，均有x恒成立。10、双曲线 的图象无限接近坐标轴。01x2)0(xky数学的文字语言很美，美在精炼中
16、，美在逻辑中，美在完备中。如“当且仅当” “有且仅有” “确定” “任意” “存在” “有限” “无限” “全等” “相似” “唯一” “极限”等，这些感念就数学学习的人远比中文学习的人理解更为深刻，甚至陶醉。值得一提的是数学中的定理、定义的叙述，公式的描述，数（式）的运算，应用题的求解及中学数学的思想和方法常以文字语言的形式加以表达，这就要5求学习数学的人要熟记这些文字语言，做到用语规范，描述准确，不断提高自身的阅读能力、理解能力和表达能力。 2.12 数学的符号语言数学的符号语言就是引用常用的字母或符号来描述数学对象的表达形式，它是数学对象描述中最为精炼的语言，专用的字母和符号可分为表示符
17、号和运算符号。我们已经学习过的表示符号有：（1）点的表示符号。如：点 A 或点B.（2）线的符号表示。如：线段 AB，线段 b，射线 OP，直线 等。 （3）角的表示符号。如： 等 （4）图形的表示符号。如：1ABCa、 、长方体 （5）位置关系的表示符号。如D:、 1ABCD等（6）不等关系的表示符号。如 等 ,/ab xaa、 、 、 、A4aB41C01-04x解 2：不等式 的解为一切实数，等价于函数 y= 的图像在2x23函数 的图像上方对一切实数 成立，又 ，那么 ，故选 Ayxminy14a思考：本题也可以用判别式法加以求解，如何求解？3.不等式 的解是（ ）12x、 、 、A3
18、0B2-xC31-xD13x或解 3、 表示在数轴上找点 ，使点 到原点的距离小于 ，从而点 的坐apap标 应满足 ，依此得： ，解得 ，故选 cx-x-4.某滑雪运动员， 时刻的位移 如下表所示，则该运动员在 时的位移ts 4t_st 0 1 2 3s 0 9 36 81解 4:在 坐标平面内画出散点图，可设 与 t 的函数关系为： ，tos2s=0)at（代点 得 从而 ，当 时 。）（ 9,1a2s=9)t（ 4t=1 2.2 数学语言的互译 我们用文字语言（自然语言） ，符号语言，图表语言描述了数学对象，而对这个数学对象加以研究时，还需要将三种不同的语言作出等价的互译，从而实7现对这
19、个数学问题的解证。1 文字语言与符号语言的互译对教学定理、定义、公式的理解，我们常常需要通过化归与转化的教学思想把文字语言和符号语言作等价的互译。即：将定理的叙述（文字语言）用公式（符号语言）加以表示，或把公式（符号语言）翻译成文字语言，从而达到理解和记忆的目的。2 文字语言与图表语言的互译为了解证用文字语言或图表语言描述的数学问题，我们常常需要把文字语言或图表语言，通过化归与转化的数学思想作等价的互译，从而解证这类数学问题。3 符号语言与图表语言的互译依图求式或依式求图是数学学习中常见的问题，它在函数知识学习和几何学习中尤为突出，其实质就是通过化归与转化的数学思想实现符号语言与图形语言的等价
20、互译。例 1：证明：平行四边形的对角线互相平分。分析：将平行四边形的文字语言译为图形语言，再将图形语言译成符号语言即是证明的过程。解：连接 交于点BDAC,O是平行四边形，则 ,A在 中，12， 和=()OSBCAD。 即：平行四边形的对角线互相平分。8例 2：（依式作图）作出下列函数的图像 1-2xy2yx6yx解 : 是一次函数，利用两点定线的方法作图最为方便。1-xy令 ，得 ，再令 ，得 ，过点（ 与点 画一条01xy0-1（ ， ） ,（ ）直线即是函数 的图像。如图 所示。-2xy解: 是反比例函数，若 ,则 ,若 ，则 ，从而图象0xyxy只能是在第一、三象限的双曲线。第一象限的
21、图像经过点： 、 、）（ 2,1）（ ,.第三象限的图像过点： 、 、） 、（ 21.4、，（ )36），（ 418 ），（ -），（ -），（ 1-4.根据双曲线的性质可得函数 的图像。如图 所示 ） 、，（ -），（ - yx。 解 : 是二次函数，其图像是开口向上的抛物线，该抛物线26yx的对称轴是 x= ，顶点坐标为（ , ） ，函数的图像与 轴有两个交点，1123-x坐标分别为 根据抛物线的性质可得函数 的图像如图） 、 （ 0,3,2- 2y6所示。3例 3：（依图求式）某些函数的图像分别如下：y=x2-6y=2xy=2x-1、3、2、1 -1-2-2 2-12oyx11-19则中
22、函数的解析式 ，的解析式为 ，的解析式为 ，1xyts2xy2的解析式为 。2bm+解：设所求函数的解析式为 ，将点 代入解析式bkxy） 、 （ 0,1-,得： ，那么所求解析式为： .1,k 1解：设所求函数的解析式为 ，将点 代入解析式得： ，从kts）（ 2, 2k而所求解析式为: .ts2解：设所求函数的解析式为 ，将点 代入解析式得：yx）（ 1,-，从而所求解析式为 : . 2K2=-解：设所求函数的解析式为 ，将点 代入解析式bpmq） 、（ ,）（ 0,2联立方程解得： ，从而所求解析式为 。 2,1qp +mb第 3 章 中学数学思想与方法简介 3.1 中学数学思想简介在小
23、学的数学知识学习中，很少直接强调数学的思想方法，步入初中，特别是进入高中，要想学好数学，就必须理解中学数学的思想方法，中学数学思想是中学数学学习的灵魂，中学数学方法是中学数学问题解证的有力工具。从军事的角度看，数学思想是战略，数学方法是战术，战术是战略的具体体现。中学数学思想贯穿于中学数学学习的全程，它包括：（1）分类讨论的思想（2）数形结合的思想（3）化归与转化的数学思想（4）函数、方程、不等式的思想（5）特殊与普遍的思想（6）微观与宏观的思想（7）或然与必然的思想（8）有限与无限的思想。中学数学思想中，数形结合，分类讨论，函数方程不等式，化归与转化是最为重要的四个数学思想。1.数形结合的数学思想：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数量之间的某种关系。即：以数助形或以形助数来建立
