1、相控阵天线阵面两级备件优化配置模型 *王永攀 1，杨江平 1，张宇 2，侯晓东 1 (1.空军预警学院 陆基预警装备系, 湖北 武汉 430019；2.湖北工 业大学 电气与电子工程学院，湖北 武汉 430068；)摘要：针对相控阵天线阵面备件配置存在的冗余性强、批量送修、多级维修等现实问题，综合考虑备件费用、维修能力以及库存策略之间的关系，建立了基于定期补给的两级备件优化配置模型。首先，给出了系统的故障件维修周转过程和维修备件的定期补给过程，在分析备件、库存、维修能力之间关系的基础上，结合成批到达的排队理论，建立了系统的供应可用度模型。接着，以备件配置费用最小为目标、以系统供应可用度为约束条
2、件，建立了系统的备件优化配置模型，并通过边际效益分析法对模型进行了求解。最后，通过算例仿真与分析对模型进行了验证。结果表明：构建的备件配置能够较好的解决相控阵天线阵面的备件配置问题，具有一定的优越性。关键词：相控阵天线；两级维修；备件；K/N 系统；批量送修中图分类号：TN95 N94 文献标识码：A 文章编号：Optimal Configuration Model of Spare Parts for Phased Array Antenna under Two-echelon Maintenance SupplyWANG Yongpan1,YANG Jiangping1, ZHANG Yu
3、2, HOU Xiaodong1(1. Land-based Early Warning Equipment Department, Air Force Early Warning Academy, Wuhan 430019, China ; 2.College of Electrical and Electronic Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China)Abstract: There mainly exist three problems in the spare parts configurati
4、on of phased array antenna, such as the strong redundancy, batch delivery maintenance and multi-echelon maintenance. Aiming at these problems, through analyzing the relations among spare parts cost, repair capacity and inventory strategies, this paper establishes an optimal configuration model based
5、 on the periodic review strategies. Firstly, the repair circulation process of fault component and the periodic supply process of maintenance spare parts are given, and then the system supply availability model is built by analyzing the relations among spare parts, inventories and repair capacity. A
6、nd the batch arrival queuing theory is also used in this paper. Secondly, an optimal configuration model of spare parts is built, which chooses minimum spare parts costs as the object and the system availability as the subject. And solution algorithm based on the margin analysis theory to the model
7、is also given. Finally, simulations and analysis of an instance are conducted to verify the proposed model, and results show that the model can solve the spare parts allocation problems of phased array antenna well, and has a high superiority. Keywords: phased array antenna; two-echelon maintenance;
8、 spare parts; K/N systems; batch delivery maintenance.收稿日期：2016-07-20基金项目：军内科研项目（KJ2014023200B11145） ；博士研究生专项课题（2014JY546 ）作者简介：王永攀（1987） ，男，河北保定人，博士研究生，Email: ；杨江平（通信作者） ，男，教授，博士，博士生导师，Email: yjp_ 大型相控阵雷达（Large-scale Phased Array Radar，LPAR）在国家战略预警尤其是反导预警作战中作用重大，地位特殊。作为相控阵雷达的主要组成部分，天线阵面分系统的维修备件配置问
9、题已成为部队和科研院所研究和关注的重点。当前，部队的普遍做法是采用国军标GJB4355备件供应规划要求中的单项备件配置方法 1。然而，从当前部队的实际状况来看，该方法暴露出以下问题：不能兼顾备件配置费用、维修能力等限制条件与系统可用度的关系；不能兼顾系统冗余设计对系统备件配置水平的影响；不能较好的分配基层级和基地级备件的库存量。上述三个典型的问题已成为影响相控阵雷达军事和经济效益的重要因素，急需探求合理的解决方法。由于天线阵面组件众多且采用冗余设计，因此，许多研究人员将天线阵面看作一个 K/N 系统来进行研究，并取得了一定的研究成果。如：文献2研究了多级冗余的 K/N(G)系统（即系统级是 K
10、/N 冗余系统，子系统是 1/m(F)冗余系统）的备件配置问题；文献3针对两级（系统级、部件级）均为 K/N(G)结构的冗余系统备件配置问题进行了研究；文献4研究了考虑报废的系统级 K/N冷备份冗余系统的备件配置问题。上述文献在一定程度上解决了当前存在的问题，但是仍存在一些局限性，如这些研究均认为系统中单个部件故障后立即进行送修，即单件送修的情况，而在实际应用中，对于采用冗余设计的相控阵雷达天线阵面而言，批量送修的问题客观存在，需进一步开展研究。为此，部分学者开始研究批量送修的情况。所谓批量送修是指对系统进行维修时，系统中的故障件已达到一定数量，需成批的将故障件送至维修点进行维修。已有研究表明
11、：对于批量送修的 K/N 系统而言，备件数目与系统的维修策略以及维修能力之间相互作用、相互影响 5。为此，部分学者综合考虑三者之间的关系，从故障件维修的角度出发，通过求取系统的使用可用度，综合考虑系统备件配置费用的影响，构建了考虑批量送修的 K/N 系统备件配置模型 6-9。这些研究虽然解决了批量送修的问题，但是又带来了新的问题，主要表现在两方面：由于批量送修条件下经典的(S-1,S) 库存策略不再适用，因此，这些研究仅仅从维修的角度来研究 K/N 系统的备件配置问题，而从库存的角度出发来研究考虑批量送修的 K/N 系统的备件配置问题，更符合用户的客观需求。仅仅考虑了单级维修条件下 K/N系统
12、的备件配置问题，而在实际应用中，多级维修条件下的备件问题更贴近实际。为此，仍需要进一步开展相应的研究。为解决问题，本文研究了基于定期补给库存策略的两级维修条件下天线阵面的备件优化配置问题，为了最大限度的减少备件配置费用，本文着重于研究 SRU 层级的备件配置问题。文中构建了系统的供应可用度模型，并以备件费用最小为优化目标、以供应可用度为约束条件，构建了天线阵面的备件优化配置模型，通过边际效益分析方法对模型进行了求解。1 问题描述与假设为了便于研究，本文将天线阵面看作一个由N 个 LRU 组成的 K/N 系统，以下 K/N 系统均指天线阵面。设 K/N 系统中每个 LRU 由 M 个SRUi 串
13、联组成，当任意一个 SRUi 故障时，对应的 LRU 故障；系统正常工作时，要求系统中至少有 K 个 LRU 正常工作，K/N 系统的具体结构如图 1 所示。S R U 1S R U 2S R U MS R U 1S R U 2S R U MS R U 1S R U 2S R U MS R U 1S R U 2S R U ML R U 2 L R U k L R U NL R U 1N 中取 K 个图 1 K/N 系统结构图Fig.1 Structure of K/N system 考虑到 K/N 系统的冗余性，在工程应用中一般对系统进行预防性维修。当系统运行到预防性维修阈值时，认为系统故障，
14、需对系统进行停机维修。维修时，基层级负责更换系统中故障的LRU，其中，LRU 备件通常由基层级维修点修复得到。由于 LRU 的故障是由 SRUi 引起的，在定位故障后，通常进行 SRUi 换件维修，如果有对应的 SURi 备件，则通过更换 LRU 中故障的SRUi 修复 LRU；如果没有备件，则发生一次备件短缺，需等待一定时间才能补充。在基层级更换下来的 SRUi 故障件被成批的送到基地级进行维修，在进行定期补给时，如果基地级有 SRUi备件，则直接补给基层级库存，如果基地级没有SRUi 备件，则发生一次 SRUi 备件短缺，需等待基地级维修点修复 SRUi 备件。在基地级库存发生额外的 SR
15、Ui 备件需求时，通过采购的方式进行补充。图 2 给出了故障 SRUi 的维修周转过程。基层级库存基地级库存E q u i p m e n tL R US R U iL R U 补充申请L R U 批量送修L R U 修复入库采购申请 补充S R U i 批量送修S R U i 修复入库L R U基层级维修基地级维修S R U i 备件补充S R U i备件定期补给S R U iS R U i图 2 故障件维修周转过程Fig.2 Repair circulation process of fault component 图 3 给出了系统维修备件的定期补给过程。T TdT TdT TdTT T
16、TsTsT TsT + Ts2 TsT + 2 Ts3 Tst0平均换件维修周期故障件定期送修周期备件定期补给周期系统正常工作周期备件定期补充时刻故障件送修时刻图 3 维修备件定期补给过程Fig.3 Periodic supply process of maintenance spare parts图中：T 表示系统正常工作的周期，T d为系统的平均换件维修周期，T s 为系统中故障件的送修周期，T s=T+Td，其中，系统的备件定期补给周期与系统的正常工作周期保持一致。设从某一时刻 0 开始，经过时间 T，系统需停机进行维修，此时，备件已从基地级送至基层级进行补给，经过 Td时间，即在时刻
17、Ts 时，系统完成修复，此时，将未修复的故障件送至基地级进行维修；再过时间 T，即在时刻 T+Ts 时，将备件从基地级送至基层级进行补充；如此，反复执行，此过程即为备件的定期补给过程。鉴于 K/N 系统的备件配置结果与系统维修策略及库存策略有很大的关系，为便于开展研究，需做出假设如下：（1）系统中所有 LRU 服从参数为 LRU 的的指数分布，所有 SRUi 服从参数为 SRUi 的指数分布；（2）所有故障件均能得到修复，维修过程中不存在报废，且修复如新，可作为备件使用；（3）故障件采取两级维修体制，即基层级维修和基地级维修，基层级只负责对故障 LRU进行 SRUi 换件维修，基地级负责故障
18、SRUi 的维修，且维修能力有限；（4）SRU i 维修渠道不同，维修时均遵循排队原则，维修工作相互独立，且同时进行，一个维修渠道同时只能修理一个故障件，SRUi 的维修渠道总数小于 SRUi 故障件的数目；（5）基层级采取(T ,S)定期补给库存策略，即以固定周期 T 对基层级库存进行定期补给，将基层级库存补充到 S；（6）不考虑 LRU 中除 SRUi 之外的组成部分对 LRU 故障造成的影响。2 系统备件优化配置模型令 i0 代表 SRU；令 j=0 代表基地级，j =1代表基层级。如 Sji=S03代表基地级 SRU3 备件的库存量，S ij=S11代表基层级 SRU1 备件的库存量。
19、结合故障件的维修周转过程可知，SRUi 的备件库存由基层级库存 S1i 和基地级库存 S0i 两部分组成，为保证系统的正常运行，基地级必须有充足的备件来满足基层级的库存。设备件 SRUi 的需求率为 mi，则 mi 的计算公式为 10（1）SRUiN式中：N 为 SRUi 总数；U 为产品利用率因子；R 为拆卸率因子，本文取 U=1，R =1。系统的工作周期可分为两个阶段，包括系统正常运行时间 T=ET 和 LRU 换件维修时间Td=ED。根据 K/N 系统定义可知，当系统中故障件数目达到 mmax=N-K+1 个时，整个系统会停止工作，则系统的平均工作时间 ET 可表示为（2）10LRUmE
20、T设有 cr 个 LRU 换件维修人员，换件维修率为 r，则可得到 LRU 换件维修的时间 ED 为（3）axrDc在 T 时间段内，系统正常运行，会出现故障的 LRU，因此，也会出现 SURi 故障。由于SRUi 的故障是随机发生的，因此，SRUi 备件的需求服从泊松过程。可求得系统对 SRUi 备件的平均需求为 miT 时，T 时间内发生 xi 次需求的概率为（4）!iimTxi iepxSRUi 故障后，被成批的送至基地级维修点进行维修。设 mmi 为系统中有 mmax 个 LRU 故障时对应的 SRUi 的数目，为了保障备件的充足，其值应满足（5）SRUmaxLii设 SRUi 的维修
21、渠道为 ci 个，则故障件的维修过程可以看作一个到达率为 、维修率为 i、具有 mmi 个顾客和 ci 个服务台的 Mmmi/M/ci 排队系统。根据维修备件的定期补给过程可知，故障件到达基地级的周期 Ts=T+Td，其中，在 Td时间段内，系统处于停机维修状态，在此期间没有新的故障 LRU 产生。因此，可以得到故障件的到达率 为（6）1sdT进一步可画出 Mmmi/M/ci 排队系统的状态流图如图 3 所示。0 1 ci- 1 cimm imm i+ 1 mm i+ ci- 1 mm i+ cii2 i( ci- 1 ) icii2 mm i- 1mm i- 1ciiciiciiciicii
22、ciiciiciicii图 3 状态流程图Fig.3 State flow chart根据状态流图，可列出平衡条件下的 K 氏代数方程为（7）110 21i ii iii iyiyi iimiyymyippyccc 设存在比例系数 i=/i，则系统中恰有 yi个 SRUi 的稳态概率可表示为（8）00 0 21i iii ii iiii iipyyccmpm式中： i(yi)、 i(yi)、 i(yi)分别为在修或待修部件数 yi 的函数，其表达式如下（9）1010!iiimyiji yciiyiijjpc由于系统中所有稳态概率之和为 1，令 p(j)表示提取系数 pi0 后 pi(yi)的值
23、，则可以得到系统的稳态概率 pi0 为（10）0112 10i mii imimiiciiyycyiiiy jppc进一步可得到各稳态概率 pi(yi)的值。为有效的开展备件配置研究，必须掌握在补给周期时间 t(0tT)内 SRUi 备件的短缺情况。设备件短缺数为 ni，下面分不缺备件(n i=0)和备件短缺( ni0)两种情况进行讨论 11。当 ni=0 时，需满足条件：系统对 SRUi 备件的需求数 xiS1i，且基地级在修或待修 SRUi 的件数小于或等于 S0i。进而得到 T 时刻系统不缺SRUi 备件的概率为（11）100PrPri ii iii i iSSi ixyBOmDIpTp
24、当 ni0 时，需满足条件：系统对 SRUi 备件的需求数 xi=S1i+ni，且基地级在修或待修 SRUi的件数小于或等于 S0i。进一步得到 T 时刻系统SRUi 备件短缺数 ni (ni1)的概率为（12）01 0Pr Priiiiiii iSiiiyBOpmDISTp对于 SRUi 而言，每个 LRU 中有 1 个安装位置，则 N 个 LRU 中有 N 个安装位置。设 N 个LRU 中 SRUi 备件短缺总数为 ni，若随机选取的一个 LRU 中 SRUi 的备件短缺数为 0，则其余(N-1)个安装位置中必定存在 ni 个备件短缺数。根据超几何分布的知识，可知随机选取的任意一个 LRU
25、 中 SRUi 备件短缺数为 0 的概率 pi(ni)为（13）1iinNiiCp则 N 个 LRU 中未因 SRUi 备件短缺而故障的概率为（14）max0Pri iiniipBOnp式中：n imax 为 SRUi 备件短缺数的最大值，满足 nimax=mi。从而可求得任意一个 LRU 正常工作的概率为（15）01Miip根据 K/N 系统的定义，进一步求得系统的供应可用度为（16）0NkksNKACp至此，可以备件配置费用最小为优化目标，以系统供应可用度为约束条件构建系统的备件优化配置模型为（17）011min . MiiisCStA式中：C i 为第 SRUi 备件的单价；S 0i 为
26、基地级 SRUi 备件的数目；S 1i 为基层级 SRUi 备件的数目；A s0 为系统使用方可接受的供应可用度最小值。分析建立的优化模型可知，模型的求解是一个大规模、非线性的 NP 问题。在模型求解方法方面，相对于遗传算法、粒子群优化算法等其他优化算法而言，边际效应分析法操作简便、计算准确度高，已成为国外一些先进的备件模型，如瑞典的 OPUS10、美国的 VMETRIC 的核心算法12。可见，边际效应分析法已在实践中得到了检验，是一种成熟的备件配置优化算法。为此，本节将利用边际效应分析法对模型进行求解。首先，需求解备件满足率的边际效益值，为此，定义边际效益算子 Sji 为（19）1jisji
27、sjiiSAC下面介绍具体算法：Step1 确定系统控制变量，即 Sji，令 S=S01, S02, , S0M, S11, S12, , S1M,=0,0,0，记 S 中第 h(1h2M)个元素为 Sh=Sji。Step2 计算每一轮迭代过程中控制变量的最大边际效益值 Shmax=maxS1,S2, S2M，如果S hmax =Sh，则 Sh=Sh+1。Step3 计算对应控制变量下的系统供应可用度的值 As，如果 As S12 S14 S11，这与 SRU 故障率的大小 SRU3SRU2 SRU4SRU1 是相符的，表明基层级备件的配置水平与 SRUi 的故障率是正相关的。基地级备件的配置
28、结果则表现出 S02 S03 S04 S01，表明基地级备件配置水平受 SRUi 故障率 i、基地级维修渠道数 ci 以及维修率 i 等因素的多重影响。纵向来看，基地级的备件配置水平高于基层级，表明在现有基地级维修条件下，基地级备件数目需高于基层级备件数目才能保障系统的备件供应可用度要求。总的来说，本节提出的备件配置方法能够反映备件需求的基本规律，符合实际情况。为了验证模型的有效性，下面通过比较分析的方法进行进一步的说明。（1）算例一为了突出配置 SRU 备件的优越性，与利用单项备件配置方法配置 LRU 的情况进行了比较。利用单项备件配置方法对天线阵面的 LRU 备件进行配置时，当 nT5 时
29、，备件需求量可利用正态分布近似计算，其计算公式为 1（19）pSNTu式中：u p为正态分布分位数，当要求保障概率为 0.95 时，u p=1.65.根据上述计算方法，需配置 LRU 备件约 267个，其备件费用为 801 万元。综合比较可知：配置 SRU 备件比配置 LRU备件可节约备件费用约 604.4 万元，降低约 75.46%的经费。可见，配置 SRU 备件可以大大减少备件的配置费用，取得很好的经济和军事效益。（2）算例二为了验证模型的有效性，保持其他各项参数不变，将维修能力增加一倍，即 ci=6,12,16,10。经过仿真，可得到维修能力增加后，各项备件的配置结果如表 3 所示。表
30、3 增加维修能力后的 SRUi 备件配置结果Tab.3 Configuration results of SRUi spare parts after increasing the repair capacity库存 备件 数目/个 供应 可用度 备件费用/万元S11 18S12 43S13 67基层级S14 27S01 22S02 16S03 16基地级S04 250.9580 158.5综合比较表 2 和表 3 可知：随着维修能力的增加，提高了基地级 SRUi 备件修复的效率，缩短了维修时间，从而打乱了原有 SRUi 备件配置之间的平衡关系，维修备件开始重新进行配置，备件总数大大减少，使得
31、备件费用也相应降低近19.4%；然而，由于采用定期补给的方式，为保证基层级备件的需求，因此，出现基层级备件配置数目增加的情况，这与实际情况是相符合的。图 4 给出了维修能力增加前后备件配置费用与系统可用度曲线的对比图。0 50 100 150 20000.20.40.60.81修修修修修修修修修修修修修修备件配置费用 （ 万元 ）0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0系统供应可用度00 . 20 . 40 . 60 . 81图 4 维修能力增加前后备件配置对比图Fig.4 Comparison chart of spare parts configuration before and
32、after the increase of repair capacity从图中可以看出：维修能力增加一倍后，花费很少的备件配置费用，系统供应可用度就可以达到 As0 的最低要求；而当备件严重不足时，通过增加维修能力也可以得到较高的系统供应可用度。然而，在降低备件配置数目和备件配置费用的同时，增加系统的维修能力意味着维修费用也相应地增加。同时，从部队的角度来讲，编制体制也需相应变化，因此，一般不会通过增加维修能力的方式来降低备件配置水平。4 结束语相控阵天线阵面的备件配置问题一直是部队亟待解决的难题。为此，本文从装备实际情况出发，综合考虑装备的冗余性、两级维修的特点以及维修能力的实际情况，提出
33、了一种基于定期补给的相控阵天线阵面备件优化配置方法。构建了系统的供应可用度模型，以备件费用最小为目标对模型进行了优化，并运用边际效益分析法对模型进行了求解。算例仿真与分析表明，本文提供的方法能够解决两级维修条件下考虑批量送修的大型冗余系统的维修备件配置问题，并且对于同一配置条件，相对于单独配置 LRU 的策略而言，本文提出的方法可以将维修备件的配置费用降低约 75.46%。此外，本文提出的方法能够结合装备与部队的实际情况对备件进行合理地配置，具有一定的应用价值。参考文献1 国防科学技术工业委员会.GJB 4355-2002 备件供应规划要求S.北京: 国防工业出版社,2002. (Commis
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