1、巧用“ff -1(x)=x,f-1f(x)=x”解有关反函数题云南省保山曙光学校 周世喜反函数是函数中的一个重要的知识点，掌握反函数的概念，求反函数是高考中必考的内容。但求反函数有时又是比较复杂的，若在实际答题过程中巧用反函数的性质，可收到事半功倍的效果，达到快而准的目的。性质若 y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数，设 f(x)的定义域为 A，值域为C。则有 ff-1(x)=x （xC）, f -1f(x)=x (xA) 成立。下面通过几道例题介绍该性质的应用：例 1.已知函数 y=f(x)的反函数为 f-1(x)2 x+1，求 f(1).分析：（方法一）先求出函数 y=f(x)的解析
2、式，再代值求解。（方法二）根据原函数和反函数的关系，列出等式：2 x+1=1，解之即得 f(1)的值。（方法三）利用性质来解。令 f(1)=x ,由此可得：f -1f(1)=f -1(x) 2 x+1=1x=-1当然方法二与方法三实质上是一致的，但我认为方法三学生更能理解掌握。例 2.已知函数 y=f(x)在定义域（，0）内存在反函数，且 f(x+1)=x2-2x.求f-1( )41分析：（方法一）由 f(x+1)=x2-2xf(x-1)=(x-1) 2-1 所以 f(x)=x2-1 x(-,0)，再求出其反函数 f-1(x)= ，故 f-1( )= 。),1(x413（方法二）由 f(x+1
3、)=x2-2xf(x-1)=(x-1) 2-1 所以 f(x)=x2-1 x(-,0)，再令f-1( )x41ff -1( )=f(x) =f(x)x 2-1= 41x 2= 3x= 23例 3. 已知函数 f(x) 的反函数为 f-1(x)，解不等式 f-1(x)1)2(1x解：（用性质来解）函数 f(x)在其定义域（-，+）上是增函数ff -1(x)f(1)xf(1)x )21(x 43例 4.已知函数 f(x) 的反函数为 f-1(x)，解不等式 f-1(x) m x1log2(其中 mR)解：（用性质来解）函数 f(x)在其定义域（-1，+1）上是增函数当1m1 时，有ff-1(x)
4、f(m)x mlog2当 m-1 时，1f -1(x)1不等式无解当 m1 时1f -1(x)1不等式的解集为 R所以 当1m1 时原不等式的解集是：（， ）m1log2当 m-1 时原不等式的解集是 当 m1 时原不等式的解集是 R。例 5.已知函数 f(x) ，函数 y=g(x)的图象与函数 y=f-1(x+1)的图象132x关于直线 yx 对称，求 g(11)的值。解：（方法一：用性质来解）由 y=f-1(x+1)f(y)=x+1x=f(y)-1g(x)=f(x)-1= 14xg(11)= 23(方法二：用常规方法来解)由 f(x) f -1(x)x23xf -1(x+1) 14函数 y=g(x)的图象与函数 y=f-1(x+1)的图象关于直线 yx 对称函数 y=g(x)与函数 y=f-1(x+1)互为反函数由 y= f-1(x+1) 得 x=14yg(x)= xg(11)= 2314由以上这些例题可知，能灵活运用相关性质解题的确可以收到事半功倍的效果。
