1、陇南师专数学系高等代数精品课程教案 第五章 向量空间 6.3 齐次线性方程组解的结构陇南师专数学系高等代数精品课程6.3 齐次线性方程组解的结构教学目的在复习前一节的知识的基础上得到数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件，进Fn而理解数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间，掌握齐Fn nF次线性方程组的基础解系及求法 教学难点 数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间n教学重点 齐次线性方程组的基础解系及求法教 学 过 程 备 注教学引入考虑下述特殊形式的数域 F 上的线性方程组(1).02122121nmmnxaxa 我们把这种常数项
2、全为零的线性方程组叫做齐次线性方程组.对于齐次线性方程组来说，其增广矩阵的最后一列全为零，所以增广矩阵和系数矩阵有相同的秩. 因此，齐次线性方程组永远有解，例如它至少有零解. 所以对于齐次线性方程组来说，我们关心的是它是否有非零解. 教学环节一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件Fn定理 6.3.1 齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵 A 的秩小于n.证 由定理 6.1.2 知, 当 r(A) n 时，(1)有唯一解，那只能是零解；当 r (A)n 时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. 推论 6.3.2 如果 mn，那么齐次线性方程组(1)有非零解.证
3、 当 mn 时， r (A) minm,n mn. 所以由定理 6.3.1 即知(1)有非零解. 二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间FFnF下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式AX 0, 其中 A 是系数矩阵，X .nx21(1)的每一个解都可以看成是一个 n 维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. 陇南师专数学系高等代数精品课程教案 第五章 向量空间 6.3 齐次线性方程组解的结构陇南师专数学系高等代数精品课程(1)的解向量有以下的性质.定理 6.3.3 如果 v1, v2是齐次线性方程组(1)的两个解向量， a, b 是两
4、个数，那么 av1+bv2也是(1)的解向量.证 因为 v1, v2是(1)的解向量，所以Av1 0， Av2 0.因此，A(av1+bv2) A(av1)+A(bv2) a(Av1)+b(Av2) 0，即 av1+bv2是(1)的解向量. 定理 6.3.4 数域 F 上的 n 元齐次线性方程组(1)在 F 上的所有解向量构成 Fn的一个子空间. 我们把这个子空间叫做齐次线性方程组(1)的解空间.下面考虑解空间的结构. 当 r (A) n 时，齐次线性方程组(1)只有零解，所以此时解空间是零空间. 下设 r (A) n. 此时，和第一节讨论的结果一样，可通过行初等变换和第一种列初等变换将增广矩
5、阵 变为 .00010001,2,211 rnrrncc这个矩阵对应的齐次线性方程组是(2) .01121 , 2,2 1, nrr nr irii iiii xcxcx 这里 i1, i2,， in是 1, 2, n 的一个排列.令 y1 , y2 ，, yn ，把(2)改写成关于 y1, y2, , yn的齐次线1ix2i nix性方程组(3) .01, 21,22 1,1 nrrr nr ycycy 陇南师专数学系高等代数精品课程教案 第五章 向量空间 6.3 齐次线性方程组解的结构陇南师专数学系高等代数精品课程方程组(3)有 n r 个自由未知量 yr+1, , yn.让 依次取值 ,
6、 ，即可得到方程组(3)的 n r 个nry21,01,10解向量：(4)，01,1,rrrc,012,2,12，rrrc.101rnnnc由5.2 的例 14 知, r+1, r+2, , n线性无关.设 nd2是(3)的任意一个解向量，代入方程组（3）得d1 c1,r+1dr+1 c1,r+2dr+2 c1ndn，d2 c2,r+1dr+1 c2,r+2dr+2 c2ndn，dr cr,r+1dr+1 cr,r+2dr+2 crndn，dr+11 dr+1，dn1 dn.于是 =dr+1r+1 dr+2r+2 dnn，n2即 是 r+1, r+2, , n的线性组合. 这就证明了方程组(3
7、)的每一个解向量都可以由 r+1, r+2,n线性表示. 由基的定义即知向量组 r+1, r+2, , n构成方程组(3)的解空间的一个基. 再重新排列每一个解向量 i中分量的次序，就得到齐次线性方程组(1)的解空间的一个基.陇南师专数学系高等代数精品课程教案 第五章 向量空间 6.3 齐次线性方程组解的结构陇南师专数学系高等代数精品课程定理 6.3.5 如果 n 元齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r，那么它的解空间的维数为 n r. 三、齐次线性方程组的基础解系及求法定义 1 齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系.由定义即知齐次线性方程组的基础解系是不唯一的. 不
8、过我们的主要目的是掌握齐次线性方程组的解空间，所以只须知道解空间的一个基就够了. 而上面的过程即给出了求出一个基础解系的方法.例 1 求出下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示所有解向量. .079382541341xx对系数矩阵施行行初等变换： 814072579311825A. 0273042所以原方程组与方程组 43217x同解，其中 x3, x4是自由未知量，让 4依次取值 01, ,可得到方程组的解1 0273, 2 . 101陇南师专数学系高等代数精品课程教案 第五章 向量空间 6.3 齐次线性方程组解的结构陇南师专数学系高等代数精品课程1, 2,即是原方程组的一个基础
9、解系，原方程组的任意一个解都有如下形式k11 k22 . 212173kk这里 k1, k2是任意数，方程组的解空间由一切形如 k11 k22的解向量构成.例 2 求出齐次线性方程组 024321xx的一个基础解系.对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得3021121 A，0110 01这里我们交换了矩阵的 2、3 两个列. 与上述最后一个矩阵相对应的齐次线性方程组是(5).4231y依次取 为 , 即可求出(5)的两个解43y01, .01102再把 i的第 2、第 3 两个坐标互换，( i1,2),即得1 , 2 .010陇南师专数学系高等代数精品课程教案 第五章 向量空间 6.3
10、 齐次线性方程组解的结构陇南师专数学系高等代数精品课程1, 2即为原方程组的一个基础解系.在实际求解时，我们尽量不做交换列的初等变换. 例如在例 2 中，当把 A 用初等行变换变为矩阵 011时，即可写出与之对应的方程组： .04321x所以可以让 x2, x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一421个基础解系：1 , 2 .010例 3 设 1(1, 2, 1, 0), 2(1, 1, 1, 1)，1(2, 1, 0, 1)， 2(1, 1, 3, 7)；求 L (1, 2)与 L (1, 2)的交空间的维数及一个基.设 L (1, 2) L (1, 2)，于是有 x11 x
11、22， x31 x42. 上两式两端相减，得x11 x22 x31 x42 0比较分量，得 .0732414xx解方程组，得基础解系(1，4，3，1) T. 这说明如果 L(1, 2) L(1, 2)，那么 必须是 1 42的 k(kF)倍. 反之，由于 14 23 1 2，因此，对任意 kF，向量 k(14 2)一定在 L(1, 2) L(1, 2)中. 由于 14 2(5,2,3,4)，所以 L(1, 2) L(1, 2)的维数是陇南师专数学系高等代数精品课程教案 第五章 向量空间 6.3 齐次线性方程组解的结构陇南师专数学系高等代数精品课程1，(5,2,3,4)是它的一个基. 教学小结本节内容可分下面三个问题讲：1、 数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件Fn2、 数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间FnF齐次线性方程组的基础解系及求法本节作业本节教育评注
