1、第 2 章 状态空间表达式的解第 1 节 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程 0()xAx的解为0()tet式中，2)!kAt kteI证明：用拉普拉斯变换法。对 作拉氏变换，得xA0()()sXxAs10I1tL因为 223()sI Is故 1AIA20231()xtLxss)!Itt Ate顺便可知 )(11sILeAt第 2 节 矩阵指数函数 Ate1、 的定义 和性质Ate（1）定义 20()!kAt ktAteI式中 线性定常系统系统矩阵， 阶；n矩阵指数函数， 阶时变矩阵。At n若 中各元素均小于某定值， 必收敛；若 为实矩阵， 绝对AteAte收敛。（2）基本性质：组
2、合性质： )(2121tAte其中 为相衔接的两时间段。21,t推论 1： IettA0)()(推论 2： )(1tAte微分性质： Aetttd当 A、B 两阵可交换，即 ，则BttAe)(若 存在， 则 1PPP112、 的计算Ate（1）级数计算法 0()!kAtkte（2）拉氏变换法)(11AsILeAt当 A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。（3）多项式表示法 10)(nkkAtte若 的特征根 ， ，, 两两互异，则12 1220111 221()() nntntnnt et （4）非奇异变换法1）设 的特征根 ， ，, 两两互异，则A121diag21PePettAt n
3、其中 P 满足 diag211nA推论：若 ，则 i21ttt nee2）设 为具有共轭复特征根 的二阶阵，则j,1cosiiAttttPP其中 P 满足 （模态规范型）。1证明：因 与 可交换，故tttt ee )(tteI而2435()()1! !3524()1! cosinittttttttt tte 故 cosinitttte再由1PA即得所证。第 3 节 状态空间表达式的解1、线性定常系 统状态空间表达式的解设线性定常系统，xABu0()xt可以证明，状 态方程的解为 00()()“()dtAtxeext其中 自由响应，只与 和 A 有关。0()t0强迫响应，与 和 A, B 有关。
4、0()“ dtABu )(tu系统的输出 00()()() dtAt AtytCxtexCe2、阶跃输入下状 态方程的的解设 ， ， 为 与 同维的常数向量， 则 0t)(1tku)(tukBIeAxet013、状态转移矩 阵又称作状态转移矩阵，常记为0()Ate。0()0(Atte使用该符号， 线性定常系统状态方程的解可表为 00()()(dtxttxBu若 ，则 ，且0Ae0()()()(tt采用符号 ，主要是便于时变系统状态转移矩阵的表述。0第 5 节 线性时变连续系统运动分析线性时变连续系统， ，()xAtBtu 0()x,ft设在域 内， 和 的元素是 的分段连续函数，以保证0,ft上述状态方程解的存在性和唯一性。1、线性时变连续 系统状态方程的解回顾：线性定常连续系统状态方程解 00()()(dtxttxBu式中， 状态转移矩阵。其 满足如下两式0Atte比照定常系统，可写出 线性时变连续系统状态方程的解为 00(),)(,)()dtxttxu式中， 线性时变连续系统的状态转移矩阵，具有性质：0(,t
