1、1数学必修 4 三角函数与平面向量第一章 三角函数1.1.1 任意角 1*学习目标*1认识角扩充的必要性，了解任意角的概念；2会用集合和数学符号表示终边相同的角，象限角以及区间角；3会用运动的观点认识任意角的概念以及终边相同的角、象限角和区间角的集合表示*要点精讲*1角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形我们规定，按逆时针旋转形成的角叫做正角，按顺时针旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角2直角坐标系内讨论角：角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合那x么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角如果角的终边在坐标轴
2、上，则这个角不属于任何象限3所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合，|360,SkZ即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和*范例分析*新课引入：钟面上的时针与分针从 时出发，问经过几时几分第一次重合？例 1在 （指 ）范围内，找出与 角终边相同的角，并判断036:036 95012它是第几象限的角例 2 （1）写出终边在 轴上的角的集合终边在 轴上的角的集合呢？终边在坐标轴上的xy角的集合呢？ （2）写出终边在直线 上的角的集合 ，并把 中适合不等式 的yS36072元素写出来2例 3 （1）若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则 x（2）若角 的终边与角
3、的终边关于 轴对称，则 y（3）若角 的终边与角 的终边关于原点对称，则 例 4 （1）已知 是第四象限角，试确定 ， 角所在的象限；2a（2）如图，分别写出角的终边在甲、乙图中阴影区域内的角的集合(包括边界) *规律总结*1数学是讲究简洁性的，通过数学概括能使表达更加简洁，如例 2把终边在 轴上x的角的集合写成 .同样，可以把终边在 轴上的角的集合写成|180nZ（ y，终边在坐标轴上的角的集合写成 。|809n+（ |90nZ（2终边在同一直线上的角有两个，都可以合并在一个集合中，设其中一个角为 ，则终边在此直线上的角的集合是 。|180nZ（3在角 中，适当取整数 的值，把它化成 的形式
4、，从而确定出kk363角的终边的位置。4用区间来表示的角叫做区间角，区间角表示角的取值范围，象限角是区间角，终边在某一区域内的可以用区间角表示，如例 4*基础训练*一、选择题1 角所在的象限是（ ）208A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设 小于 的角 ， 第一象限角 ，则 （ ）9ABA 锐角 B 小于 的角 C 第一象限角 D 第一象限且小于 的角0 903下列各组角中，终边相同的是（ ）A B 60,34260,3,420C D 4已知 是第三象限角，则 所在的象限是（ ）2A第一或第二象限 B第二或第四象限 C第一或第三象限 D第二或第三象限5如果角 与角 的终边相同，角
5、 与角 的终边关于 轴对称，则 与 的45x45xx关系是（ ）A B9036,kZ 90C D2 36,kZ二、填空题6与 角终边相同的角的集合是 ，490它们中最小的正角是 ，最大的负角是 ，它们是第 象限角7如图，终边在阴影部分内的角的集合（不包括边界）是 8如果 为小于 的正角，这个正角的 倍角的终边与这个360 7角的终边重合，则 三、解答题9 （1）写出与 终边相同的角的集合 ；84 M4530Oxy251204（2）若角 ，且 ，求角 。M360,10若角 的终边与 角的终边分别关于 轴、 轴、原点、直线 对称，分别写45 xyyx出这些角的集合*能力提高*11已知 ，|3018
6、75180,AkkZ， （ ）|242,kABA |636kB 或 |30505C 或| 4kk246236,ZD 或|3050kk14,12半径为 的圆心位于坐标原点，点 从点 出发，以逆时针方向等速沿单位圆圆周P(1,)旋转，已知 秒钟内转过的角度为 ，经过 秒钟到达第三象限，经过1082秒种后又恰好回到出发点，求角 的值45第一章 三角函数1.1.1 任意角 1*参考答案*新课引入：分析：第一次重合时，分针比时针多旋转了 应用题，考虑旋转量，可不考虑正负角360解：设过 小时时针与分针第一次重合，因为时针每小时顺时针旋转 ，分针每小时顺时x 30针旋转 ，所以 小时时针顺时针旋转 度，分
7、针顺时针旋转 度（分针360xx6x每分钟旋转 度） ，依题意得，x12答：经过 小时 分钟，时针与分针第一次重合15例 1分析：方法 1：把 角写成 的形式；902360(,360)kZ方法 2：把与 角终边相同的角 的集合写出来，然后取适当的整数 的值，5 k使 036解：方法 1： 除以 ，商为 ，余数为 ，故9203129485012，所以在 范围内，与 角终边相同的角是2486:，它是第二象限的角方法 2：与 角终边相同的角 的集合 ，9501 |9501236,SkZ集合 中适合 的元素是：当 时， ，所以在 范围内，S363k48 0:与 角终边相同的角是 ，它是第二象限的角95
8、012 12948例 2 （1）在 范围内，终边在 轴上的角有两个，即 ， 角所有与 角终0:x01边相同的角构成集合 ，1|360SkZ（而所有与 角终边相同的角构成集合8 2|1836SkZ（6于是，终边在 轴上的角的集合x12S|036|8036kZkZ （|218|1 | n（2）在 范围内，终边在直线 上的角有两个，即 ， 角因此，终边036:yx452在直线 上的角的集合yx|45360|2360SkZkZ （|18n中适合不等式 的元素是 时对应的 ，72 1k（ 315， ， ， ， 135425405例 3分析：设一基本角 ，角 与角 用 来表示,36)解：（1）设 ，则 ，
9、11kZ 22360,kZ所以 ，所以22()0, （2）设 ，则 ，1136k 228,k所以 ，所以 2128(),kZ 18036,kZ（3）设 ，则 ，110,k 220,k所以 ，所以 212()36,k ,k例 4 （1） 是第四象限角， ，90360kZ ，80236236kk 是第三或第四象限的角或终边在 轴的非正半轴上ay ，4511802kkZ当 为偶数时， 是第四象限的角，当 为奇数时， 是第二象限的角k27（2） ，|60315360,kkZ|45*基础训练*答案1C 提示： 1208360294 2D 提示： 第一象限且小于 的角AB3C 提示：任意两角度数之差必须是
10、 的整数倍4B 提示： ， 1803627036kk901835180kk，5 A 提示： ， 11(45),xZ 22(45)60,xZ6 ， ， ，三 提示：适当取 的值|9036,k230 k7 提示：对顶角区域可合并|88,k8 提示： ， ，,12,4760k1,2349 （1） |103,MkZ（2）当 时， ，当 时， 。5k 2所以 或40210 ， ，|36,kZ|13560,kZ， |5|2*能力提高*11C 提示：按 来讨论集合 中角 的终边所在的区域，按,1knA来讨论集合 中角 的终边所在的区域，两区域的公共部分为所求角3,12knB的区域12 且 ，则必有 ，于是0803627036,kkZ 0k9135又 ， ， ， ，46n()Z187n91857n7214n8或 ，4n5故 或72097
