1、连续时间信号与系统的S域分析,连续时间信号的复频域分析 连续时间系统的复频域分析 连续时间系统函数与系统特性 连续时间系统的模拟,连续时间信号的复频域分析,从傅立叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 拉普拉斯变换反变换,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,f (t)=eatu(t) a0的傅里叶变换？,将f(t)乘以衰减因子e-t,若 ,不存在!,推广到一般情况,令s= +j,定义：,对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出,拉普拉斯正变换,拉普拉斯反变换,拉普拉斯变换符号表示及物理含义,符号表示：,物理意义：,信号f(t)可分
2、解成复指数est的线性组合,F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。,s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。,关于积分下限的说明：,二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件,积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。,单边拉普拉斯变换,单边拉普拉斯变换存在的条件,对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足,(0),充要条件为：,0称收敛条件,0称绝对收敛坐标,S平面,右半平面,左半平面,例 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域,分析：求收敛域即找出满足,的取值范围。,收敛域为全S平面,不存在,（1）指数型函数e t u(t),三、 常用信号的拉普
3、拉斯变换,同理：,正弦信号,(2) 阶跃函数u(t),(4) t的正幂函数t n,n为正整数,根据以上推理,可得,常用信号的单边拉氏变换,常用信号的单边拉氏变换,常用信号的单边拉氏变换,常用信号的单边拉氏变换,四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,例计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换,解：时域信号傅里叶变换 拉普拉斯变换,不存在,结论：,（1）当收敛域包含轴时，拉普拉斯变换和傅里叶 变换均存在。,（2）当收敛域不包含轴时，拉普拉斯变换存在而 傅里叶变换不存在。,（3）当收敛域的收敛边界位于轴时，拉普拉斯变换 和傅里叶变换均存在。,例由F(s)求F(j ),解：,1)收敛域-4包含j 轴,2）
4、收敛域的收敛边界位于j 轴,五、拉普拉斯变换的性质,1、线性特性,若,则,2、展缩特性,若,则,3、时移特性,若,则,4、卷积特性,5、乘积特性,乘积性质两种特殊情况：,1. 指数加权性质,若,则,2.线性加权性质,6、微分特性,证明,重复应用微分性质，求得：,若f(t)=0, t0, 则有f r(0 -) = 0，r=0,1,2,.,7、积分特性,若f -1(0-)， 则有,证明,其中， 右边第一项,第二项按部分分式，得,8、初值定理和终值定理,六、拉普拉斯反变换部分分式展开法,计算拉普拉斯反变换方法：,1. 利用复变函数中的留数定理,2. 采用部分分式展开法,例 采用部分分式展开法求下列的
5、反变换,解：,F(s)为有理真分式，极点为一阶极点。,解：,解：,F(s)为有理假分式,将F(s)化为有理真分式,归纳：,(1) F(s)为有理真分式( m n)，极点为一阶极点,(2) F(s)为有理真分式( m n)，极点为r重阶极点,(3) F(s)为有理假分式( m n ),为真分式，根据极点情况按(1)或(2)展开。,例 求下列F(s)的反变换,解：,解：,令s2=q,解：,k2, k3用待定 系数法求,信号的复频域分析小结,信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合。 信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换。 利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进
6、行复频域分析。 复频域分析主要用于线性系统的分析。,连续系统响应的复频域分析,微分方程描述系统的S域分析 电路的S域模型,微分方程描述系统的s域分析,时域差分方程,时域响应y(t),s域响应Y(s),拉氏变换,拉氏反变换,解微分方程,解代数方程,s域代数方程,二阶系统响应的S域求解,已知 f (t)，y(0-)，y (0-) ，求y(t)。,(1) 经拉氏变换将域微分方程变换为s域代数方程,(2) 求解s域代数方程，求出Yx(s), Yf (s),(3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式,求解步骤：,Yx(s),Yf (s),y”(t),a1y(t),a2y (t),系统的微分方程为y(t)+
7、5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0-)=3， y(0-)=2，求响应y(t)。,例1：,解 ：对微分方程取拉氏变换可得,电路的s域模型,时域,复频域,R、L、C串联形式的s域模型,例2图示电路初始状态为vc(0-)=-E, 求电容两端电压 vc(t).,解：建立电路的s域模型,由s域模型写回路方程,求出回路电流,电容电压为,系统函数H(s)与系统特性,系统函数H(s) 系统函数的定义 H(s)与h(t)的关系 s域求零状态响应 求H(s)的方法零极点与系统时域特性 零极点与系统频响特性 连续系统的稳定性,一、系统函数H(s),(1)定义：
8、系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式 与输入的拉式变换式之比，记为H(s)。,(2) H(s)与h(t)的关系：,一、系统函数H(s),(3)求零状态响应：,(4)求H(s)的方法：,由系统的冲激响应求解：H(s)=Lh(t),由系统的微分方程写出H(s),f(t),yf(t)=f(t)*h(t),F(s),Yf(s)=F(s)H(s),由定义式,二、零极点与时域特性,零极点分布图,极点,零点,s,jw,0,u(t),e-t u(t),et u(t),1,-1,H(s)与h(t) 的关系.,3,1)位于s 轴的单极点,s,jw,0,-1,1,sin(t) e-t u(t),sin(t) et
9、u(t),sin(t) u(t),1,-1,三、零极点与系统频响特性,频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。,系统稳定时，令H(s)中 s =jw ，则得系统频响特性,幅频特性,相频特性,系统频响特性,对于零极增益表示的系统函数,当系统稳定时，令s=jw，则得,复数a和b及a-b的向量表示,系统函数的向量表示,例已知,，求系统的频响特性。,解,四、H(s)与系统的稳定性,因果系统在s域有界输入有界输出(BIBO)的充要条件是系统函数H(s)的全部极点位于的 左半s平面。,连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是,例判断下述系统是否稳定。,（1）极点为s= -1和
10、s= -2，都在s左半平面。,显然输出也有界，所以系统稳定。,若激励为有界输入u(t)，则其输出为,解:,（2）极点为j0，是虚轴上的一对共轭极点。,显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。,若激励为有界输入sin(0 t )u(t)，则其输出为,连续时间系统的模拟,系统的基本联接 系统的级联 系统的并联 反馈环路 连续系统的模拟框图 直接型结构 级联型结构 并联型结构,1)系统的级联,系统的基本联接,2)系统的并联,3)反馈环路,连续系统的模拟框图,N阶LTI连续时间系统的系统函数为,设m=n, 并将H(s)看成两个子系统的级联, 即,H1(s),H2(s),1、直接型结构,这两个子系统的微
11、分方程为,用 加法器、乘法器和积分器 实现这两个方程即得系统的直接型模拟方框图。,+,+,+,+,+,+,_,_,_,_,+,+,+,+,+,+,_,_,_,_,2、级联型结构,画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统级联。,H(s)=H1(s)H2(s).Hn(s),将系统函数分解为一阶或二阶因子相乘的形式, 即,一般，实数极点对应实系数一阶有理分式，共轭复数极点对应实系数二阶有理分式。,3、并联型结构,画出每个子系统直接型模拟流图, 然后将各子系统并联。,H(s)=H1(s)+H2(s)+.+Hn(s),将系统函数分解为一阶或二阶因子相加的形式,一般，实数极点对应实系数一阶有理分式，共轭复数极点对应实系数二阶有理分式。,例：画出系统的模拟方框框图,解: 直接型框图,(b)级联式,(c)并联式,
