8.6 多元函数的极值及其求法 主要内容 1、多元函数泰勒公式 2、多元函数的极值和最值 3、条件极值拉格朗日乘数法一元函数的泰勒公式： 8.6 多元函数泰勒公式与极值 一、问题的提出引入函数 显然 利用一元函数的麦克劳林公式，得 由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得 (*)二、二元函数的泰勒公式 一般地,记号其中上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.例 1 解其中1、多元函数极值的定义 设PR n , 函数u=f(p)在p 0 的某邻域U(p 0 , )内有 定义，对任何p U(p 0 , ), , 都有f(p)f(p 0 ), 称 函数 u=f(p)在p 0 点有极小值。(1) (2) (3) 例1 例 例 极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.2、多元函数取得极值的条件 证注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为 函数的驻点. 驻点 极值点 如何判定驻点是否为极值点？ 注意：求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在 D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值. 3、多元函数
