1、第5章 非正弦周期电路,5.1 正弦周期信号及频谱分析5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,5.1.1非正弦周期性信号1.常见的非正弦信号在实际工程中往往会遇到电压、电流不是按照正弦规律变化的情况，将电路中不是按照周期性正弦规律变化的电压或电流称为非正弦周期信号。常见的非正弦信号如图5-1所示。2.非正弦信号产生的原因电路中产生这种非正弦信号主要原因有以下几种情况：(1) 电路中存在非线性元件。,返回,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,当电路中存在非线性元件时，即使电源提供的电压是正弦的，也会导致电路中的电流或电压为非正弦。如半波整流电路中，加
2、在输入端的电压是正弦电压，但由于二极管是非线性元件，具有单向导电性，所以经过整流电路后输出的电压是非正弦的，称为半波整流电压。如图5-2所示。(2) 电源电压本身就是非正弦的。如脉冲信号发生器提供的电压就是矩形脉冲电压。如图5-3所示。(3)电路中含有多个不同频率的电源共同作用。当电路中多个不同频率的电源同时作用时 ，由于各个电源频率不同，即使这些电源本身输出的电压都是正弦量，但重叠在一起之后波形就为非正弦的了。如图5-4所示。,返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,5.1.2.非正弦信号的合成与分解由图5-4可知，几个频率不同的正弦信号叠加之后所形成的为非正弦信号。同样，也
3、可以将这个非正弦信号分解为若干个不同频率的正弦信号分量。由数学知识可知, 如果一个函数是周期性的, 且满足狄里赫利条件, 那么它可以展开成傅里叶级数。 电气电工工程中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。 设周期为T，角频率2/T的周期性信号 满足狄里赫利条件，则 的傅立叶级数展开式为,返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,（5-1）式中 为非正弦周期信号； 是不随时间变化的常数，为 的恒定分量或直流分量，也称为零次谐波； 属于正弦函数，其幅值为 ，初相位为 ，角频率为，2/是 的周期，被称为一次谐波，也叫做基波；,返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,频率
4、为基波频率的二倍，称为二次谐波； 频率为基波频率的k倍，称为k次谐波。式中k=1、3、5、7次等谐波称为奇次谐波，k=2、4、6次等谐波称为偶次谐波。由于傅立叶级数具有收敛性，故在实际工程中常计算到7次谐波左右就可以了。利用三角函数公式, 还可以把式（5-1）写成另一种形式： （5-2）,返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,式中, 称为傅里叶系数， （5-3）式（5 -1）和式（5 - 2）各系数之间存在如下关系： (5-4),返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,（5-5）在实际工程中，可以通过表5-1直接写出几种常见的信号的傅里叶级数形式例 5.1 已
5、知矩形周期电压的波形如图5-5所示。 求u（t）的傅里叶级数。 解 如图5-5示矩形周期电压在一个周期内的表示式为,返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,由式（5-3）可知：,返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,当k为奇数时， 当k为偶数时，,返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,由此可得 (k为奇数)5.1.3.非正弦周期信号的频谱一个非正弦周期性函数展开成傅里叶级数如式（5-1）所示。但这种数学表达式却不能直观的表示出一个非正弦周期信号所包含的频率分量和各个分量的比重，因此为了更加详尽和直观的观测到频率分量和各个分量的“比重”，故采用
6、了频谱图分析方法。,返回,上一页,下一页,5.1 非正弦周期信号及频谱分析,以表5-1中锯齿波为例，在一个直角坐标中，以相应的谐波角频率k为横坐标，在各谐波角频率所对应的点上，作出一条条垂直的线（称为谱线），线段长度由展开式中直流分量和各次谐波分量的幅值而定。图5-6锯齿波频谱图,返回,上一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,5.2.1.非正弦周期信号的有效值与正弦信号相同，周期性非正弦信号的大小也可以用有效值来表示。对于任一非正弦周期电流的有效值为 （5-6）将其展成傅里叶级数的形式,返回,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,将该表达式代入到式（5-6）中，得
7、 将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开，可以的到以下四种结果：,返回,上一页,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,因此，可以得到电流 i 的有效值计算公式为 （5-7）同理，非正弦周期电压的有效值为 （5-8）,返回,上一页,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,由（5-7）式和（5-8）式可以表明，任一非正弦周期信号的有效值等于各次谐波分量的有效值平方和的平方根值。应当注意，非正弦信号的最大值和有效值之间不再存在 倍的关系，但对于各次谐波而言，最大值和有效值之间仍然存在 的关系，即例 5.2 已知非正弦周期电压u=100+70.7sin（t-20）
8、+42sin（2t+50）V， 试求其有效值。,返回,上一页,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,解：给定电压中包括直流分量和不同频率的正弦量，并且已知各正弦量的振幅， 所以周期电压的有效值由式（5-8）可知,返回,上一页,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,5.2.2.非正弦周期性信号的平均值在实际工程中还会用到平均值这个概念来分析周期量的大小。以非正弦周期电流i为例，其平均值为 （5-9）即非正弦周期电流的平均值等于该电流绝对值在一个周期内的平均值同理,，非正弦周期电压平均值的表示式为 （5-10）例5.3 求正弦电流 的平均值。解：将i代入到式（5-9
9、）中得,返回,上一页,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,5.2.3.平均功率设任意一个二端网络在关联参考方向下其端电压和端电流分别为u，i ，则其瞬时功率为 p=ui 其平均功率可表示为瞬时功率在一个周期内的平均值 （5-11）,返回,上一页,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,设非正弦周期电压和电流的傅里叶级数为 将其代入到式（5-11）中，得平均功率为 将上式被积分部分展开，可得,返回,上一页,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,（5-12） k 为k次谐波电压与k次谐波电流的相位差。 必须注意, 只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率, 不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率, 也不等于端口电压的有效值与端口电流有效值的乘积。,返回,上一页,下一页,5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和功率,例 5.4 已知某无源二端网络的端电压及电流分别为 求二端网络吸收的平均功率。解：根据式（5-12）可得,返回,上一页,图5-1 常见的非正弦信号,返回,图5-2 半波整流电路及输出电压,返回,图5-3 矩形脉冲电压,返回,图5-4 不同频率的正弦波,返回,图5-5 例5.1,返回,图5-6 锯齿波频谱图,返回,
