1、浙江大学远程教育学院 工程数学 课程 作业 姓名: 学 号: 年级: 学习中心: 复变函数与积分变换 第一章 1.1 计算下列各式: ( 2)、( a-bi) 3 解( a-bi) 3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3 =a3-3ab2+i(b3-3a2b) ; ( 3)、 ; 解 = = = = 1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质: ( 1) ; 证 ( )-i( ) = = ( 2) 证 = = = - - = =( )( ) = - - 即左边 =右边,得证。 ( 3) = (Z2 0) 证 = =( ) = = = = 1.4、将直线方程 ax+by+c=0 (a2+b
2、2 0)写成复数形式提示:记 x+iy=z z+A +B=0,其中 A=a+ib, B=2C(实数 ) 。 解 由 x= , y= 代入直线方程,得 ( )+ ( )+c=0, az+ -bi( )+2c=0, (a- ib)z+( a+ib) +2c=0, 故 z+A +B=0,其中 A=a+ib, B=2C 1.5、将圆周方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0 (a 0)写成复数形式(即用 z 与 来表示,其中 z=x+iy) 解: x= , y= , x2+y2=z 代入圆周方程,得 az + ( )+ ( )+d=0, 2az +(b-ic)z+(b+ic) +2d=0 故 Az
3、+ +B +C=0,其中 A=2a, C=2d 均为实数, B=b+ic 。 1.6 求下列复数的模与辅角主值: ( 1)、 =2, 解 arg( )=arctan = 。 1.8 将下列各复数写成三角表示式: ( 2)、 i ; 解 =1,arg( )=arctan( )= -a 故 i = +i 。 1.10、解方程: Z3+1=0 解 方程 Z3+1=0,即 Z3=-1,它的解是 z= ,由开方公式计算得 Z= = +i , k=0,1,2 即 Z0= = + i, Z1= = 1, Z2= + i = i 。 1.11 指出下列不等式所确定的区域,并指明它是有界的还是无界的?是单连通区
4、域还是多连通 区域? ( 1)、 2 3; 解 圆环、有界、多连域。 ( 3)、 arg z ; 解 圆环的一部分、单连域、有界。 ( 5)、 Re z2 1; 解 x2-y2 1 无界、单连域。 ( 7)、 ; 解 从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域; 第二章 2.2 下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? ( 1) f(z)= z2; 解 f(z)= z2= z z= z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+y2), 这里 u(x,y)=x( x2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。 ux= x2+y2+2 x2, vy= x
5、2+y2+2 y2, uy=2xy, vx=2xy 。 要 ux= vy, uy =-vx,当且仅当 x=y=0,而 ux, vy, uy ,vx均连续, 故 f(z)= z2仅在 z=0 可导; z 0 不可导;复平面上处处不解析; ( 2)、 f(z)= x2+ iy2; 解 这里 u= x2,v= y2, ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y,四个偏导数均连续,但ux= vy, uy= -vx仅在 x=y 处成立,故 f(z)仅 在 x=y 上可导,其余点均不可导,复平面上处处不解析; 2.3 确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数: ( 1)、 ; 解 f(z)= 是有理
6、函数,除去分母为 0 的点外处处解析,故全平面除去点 z=1 及 z=-1 的区域为 f(z)的解析区域,奇点为 z= 1, f(z)的导数为: f(z)= )= 则可推出 = =0,即 u=C(常数 )。故 f(z)必为 D 中常数。 2.9 由下列条件求解析函数 f(z)=u+iv ( 1)、 u=(x-y)(x2+4xy+y2); 解 因 = =3 +6xy-3 ,所有 v= dy = +3x - +( x),又 =6xy+3 +( x) ,而 =3 -3 ,所以 ( x) =-3 ,则 ( x) =- +C。 故 f(z)=u+iv=(x-y)( +4xy+ )+i( - +C) =
7、(1-i) (x+iy)- (1-i) (x+iy)-2 (1+i)-2x (1-i)+Ci =z(1-i)( )-2xyi iz(1-i)+Ci=(1-i)z( -2xyi)+Ci =( 1-i) z3+Ci ( 3)、 u=2(x-1)y, f(0)=-i; 解 因 =2y, =2(x-1),由 f(z)的解析性,有 = = 2(x-1),v= dx= + ( y) ,又 = =2y,而 = ( y),所以( y) =2y, ( y) = +C,则 v= + +C,故f(z)=2 y+i( + +C),由 f(2)= i 得 f(2)=i( 1+C)= ,推出C=0。即 f(z)=2 y+
8、i( )=i( +2z ) = i(1 z)2 ( 4)、 u= (x ), f(0)=0; 解 因 = (x )+ , = (-x ),由 f(z)的解析性,有 = = ,= = (x )+ 。则 v(x,y)= dx+ dy+C = + dy+C = X dy- dy+ dy)+C = +C = x - +C,故f(z)= -i ( )+iC。由 f(0)=0 知 C=0 即 f(z)= ( x ) + i ( )=zez 。 2.13 试解方程: ( 1)、 =1+ i 解 =1+ i=2( +i ) =2 = ( 4)、 + =0 解 由题设知 =-1,z=k - , k 为整数 。
9、2.14 求下列各式的值: ( 1)、 解 = = ; ( 3)、 ; = = = = =27 ( -i )。 第三章 3.1、计算机积分 dz 积分路径为( 1)自原点至1+i 的直线段;( 2)自原点沿实轴至 1,再由 1 沿直线向上至 1+i;( 3)自原点沿虚轴至 i,再由 i 沿水平方向向右至 1+i。 解( 1) dz= dt=i(1+i) = ; 注:直线段的参数方程为 z=(1+i)t, 0 t 1 。 ( 2) C1: y=0,dy=o,dz=dx, C2: x=1,dx=o,dz=idy, dz= + = dx+ idy= + i; ( 3) :x=0,dz=idy; :y
10、=1,dz=dx。 dz= + = dy+ dx= 3.2、计算积分 dz 的值,其中 C 为 ( 1) =2;( 2) =4。 解 令 z=r ,则 dz= =2 i 。 当 r=2 时,为 4 i;当 r=4 时,为 8 i 。 3.6、计算 dz,其中 C 为圆周 =2; 解 f(z)= = 在 =2 内有两个奇点 z=0,1,分别作以 0,1 为中心的圆周 C1, C2, C1与 C2不相交,则dz= dz- dz=2 i-2 i=0 3.8 计算下列积分值: ( 1)、 dz; 解 dz = i0=1- ; ( 3)、 dz; 解 dz=(3 + ) 0i =3 = 3 。 3.10
11、 计算下列积分: ( 1)、 dz; 解 dz =2 i =2 i ( 2)、 dz; 解 dz =2 ( 2 ) =4 i ( 4)、 (r 1); 解 为 0; r 1 时 n=1 为 2 i, n 1 为 0 。 3.11、计算 I= 其中 C 是( 1) =1;( 2) =1;( 3)= ;( 4) =3。 解( 1)被积函数在 1 内仅有一个奇点 z= ,故 I= dz =2 ( ) = i; ( 2)被积函数在 1 内仅有一个奇点 z=2,故I= dz=2 ( ) = i; ( 3)被积函数在 内处处解析,故 I=0; ( 4)、被积函数在 3 内有两个奇点 z= , z=2 由复合闭路原理,知 I= + = dz + dz= = i,其中C1为 =1, C2为 =1。