1、基于剪切波变换的去卷积算法1毕业设计外文翻译基于剪切波变换的去卷积算法摘要：本文提出了一种新型基于剪切波分解的图像去卷积算法。剪切波提供了多方向多尺度的分解，在数学上已经证实其在表示离散不连续部分（比如边缘）时要优于传统小波。曲线波和轮廓波的构造也有类似的性质，但是它们的实现方式却和剪切波截然不同。利用剪切波变换中新型 M-通道实现的特性，我们研究了一种可使近似反演算子在多尺度多方向基上可控的算法。ForWaRD 是相关方法中的一个重大突破，它可以在不明确噪声方差的情况下，利用广义交叉验证（GCV）在各个尺度和方向上，对于噪声收缩自动决定阈值。不同实验证明本文的算法优于其它去卷积算法。关键词：
2、去卷积，广义交叉验证，剪切波，小波。基于剪切波变换的去卷积算法2目录摘要 .2目录 .3.引言 .4A.图像的去卷积问题 .5B.历史观点 .6C.基于剪切波的去卷积 .7D.论文框架 .7.剪切波变换 .8.广义交叉验证（GCV） .11.基于剪切波的去卷积 .13.实验结果 .17.结论 .24基于剪切波变换的去卷积算法3.引言图像恢复的目的是最大程度地还原降质图像。图像降质的例子包括由相机移动引起的模糊，还有系统的电子噪声等。把降质建模为卷积操作，那么从模糊图像中恢复出原始图像的过程就称为去卷积。去卷积的过程是一种不适定问题。因此，为了得到一个合理的图像估计，必须减小或控制噪声。小波在数
3、字图像显示中很受欢迎，它可以用于各种各样的图像处理应用中，比如压缩和恢复。小波之所以如此有价值，是因为它能够对那些光滑奇异的一维信号进行稀疏表示。通过稀疏表示，信号的大部分能量就可以用极少的变换系数表示。这可以用非线性逼近误差的衰减率来量化。事实上可以证明对于这种类型的信号，最优的非线性 M-项小波扩张能达到最好的衰减率。不难理解，衰减率越好，由噪声数据中估计得到的信号就越好。这是因为基于小波的去卷积表述的优良特性已经被提出来了。但是事实上，小波表述并不是对于所有类型的信号都是最优的。特别是在二维时，如果我们把图像建模为分段平滑的函数，那么标准的二维小波不能得到最优的衰减率。尤其是随着 M 增
4、加，小波的逼近误差以 的趋势衰减。结果就是，基于二维1M小波的去噪估计往往有意想不到的错误，并且为了提高估计的质量，需要对决策指标或计划进行优化。例如剪切波的多方向表述为这类图像（最优率随着 M增加呈 趋势）提供了几乎最优的逼近率，而且相应的去噪结果也不存在相2同类型的错误。尽管诸如轮廓波和曲波的相关变换也有相似的性质，但是在此项工作中，我们优化了对于能在去卷积中体现优势的剪切波变换来说非常特别的属性。之前即有人提出对于去卷积使用稀疏表述，从而得到理想估计的概念。然而，有些特征先前却没有考虑到，它们与这些表述的实现有关，这些表述能导致在此描述指标的产生。我们的基于剪切波去卷积的方法有独特的能力
5、，可以在抑制噪声之前实现多尺度和各向异性正则化反演。另外，对于一个给定的正则化参数，它的自适应噪声抑制超过了类似的方案。这是非常重要的一点，因为有时要寻找到最优的正则化参数是不太可能的。基于剪切波变换的去卷积算法4在实现阶段，为了解决边缘效应，文中围绕噪声收缩的想法提出了一些概念，噪声收缩在去卷积步骤之前或者之后实施。但是，为了有效地提出此类方案，需要一种能够在非递归公式中实施的变换，就像在此项工作中使用的剪切波变换。否则，由一组系数得到的误差估计将会在很大程度上影响另一组不同的但是独立的系数得到的估计。另外，为了有效地对近似去卷积过程正则化，应该对非下采样的变换进行优化。这种冗余不但能够提供
6、基于辅助函数（比如GCV 函数）使用更加有效的测量，而且在估计上也大有裨益。显而易见，这些性质都可以通过使用 M-通道的剪切波变换实现得到。A.图像的去卷积问题因为数字记录的图像是有限离散数据组，因此图像的去卷积问题可以建模为矩阵求逆的问题。不失一般性，假设记录的数组大小为 。 是一个N的样本数组，这些样本来自零均值、方差为 的加性高斯白噪声N 2（AWGN） 。给出 的阵列 y 和 x 分别代表观察得到的图像和原始图像。矩N阵去卷积问题可以表示为：Hxy（1）其中 y，x 和 是代表 y，x 和 数组的 列向量，H 是代表模糊算子的2N的矩阵。当 H 为块循环块矩阵时，问题可以描述为：2N2
7、12121 , nhxny（2）其中 ， 代表循环卷积，h 代表线性时不变空间的点扩展函数1,021n（PSF） 。在离散傅里叶变换域，公式（2）可以写为：21212121 , kkXHkY（3）其中 ， ， 和 分别是 y，h，x 和 的二维离散21,kY21,kH21,X21,傅里叶变换， 。这个系统的条件由 H 的最大和最小幅值/-N之比决定。通常， 包含了在零点或者零点附近的值，这些值会使得系21,统出现病态。基于剪切波变换的去卷积算法5通常情况下，为了正则化卷积算子的反演，需要一个正交卷积算子的表示，从而能够正确控制近似。尤其是如果 H 是一个块循环块矩阵，那么 H 可以通过傅里叶基
8、实现正交化。这就意味着，图像的估计可以通过对 H 傅里叶正交化后的正交部分滤波得到，从而去逼近 H 逆。例如，使 为一个滤波器，当21,k很大时，它接近于 1，当 近似为 0 时，它很小，如此一来，21,kH21,k就可任意定义。然后， 就可以给12, 212121,Y）（出基于傅里叶的图像估计。这又反过来证实了图像可以由傅里叶表述估计得到。然而，如果我们的图像是一个分段光滑函数，那么由傅里叶表述得到的非线性近似的衰减率随着 M 增加呈现 趋势。对于这种类型的图像，由小波2/1表述得到的非线性近似的衰减率随着 M 增加呈现 趋势。这就意味着站在去1噪的角度评估恢复的图像，基于小波的估计要比基于
9、傅里叶的估计好。简而言之，良好的图像恢复能力就是在以下两者中做权衡，一是能够对卷积算子反演进行有效正则化的表述，二是通过使用算子的近似反演从有色噪声中恢复图像的表述。B.历史观点去卷积的方法大致可以分为两类：直接和迭代。直接法：直接法中有一些是基于对奇异值分解(SVD)滤波，比如 Tikhonov,截断 SVD（TSVD）和维纳滤波器。这些直接法性能的提高可以归结为含有基于小波的估计器。其中一项技术叫做 Wavelet-Vaguelette 去卷积（WVD） 。在这项工作中，叫做 Vaguelette 的函数既可以去卷积同时又可以计算小波的系数。但是，这个方案并不能对所有的卷积算子提供良好的估
10、计。为了克服这个限制，Kalifa 提出了对于特定卷积算子频域匹配的小波包法。另外也有其它的基于小波的技术被相继提出。有人提出了一种改进的基于小波的混合去卷积算法，它可以在任何不理想的卷积系统中工作。这种傅里叶小波正则化去卷积（ForWaRD）的方法使用了傅里叶域的正则化反演，紧随其后的是小波域噪声收缩，从而减小图像中空间局部特征的失真。ForCuRD 是曲线波方面的扩展。基于剪切波变换的去卷积算法6递归法：共轭梯度算法、Richardson-Lucy 和 Landweber 都是比较基础的递归算法。小波以及其它稀疏表述（比如曲线波）的使用就是在这些方法之上所做出的扩展和改进。其中有些技术使用
11、了一范数变换域的稀疏性提高。这些方法可以较好地保留边缘信息。在直接法中，局部多项式逼近（LPA）算法在提高信噪比方面要比目前存在最好的去卷积算法优越，是最先进的算法。在本文中，我们将只关注作为对比的直接法，因为有些应用只需要直接法，而且有一些迭代法可以利用由这些技术提供的估计作为原始起点。C.基于剪切波的去卷积在本文中，我们提出了一种图像去卷积的新方法，它在傅里叶域正则化反变换和基于剪切波域去除噪声之间做权衡。非抽取型的剪切波变换把图像分解到不同的频带，这些频带的支撑通过一对关于原点和不同方向对称的梯形域得到。上述方面提供了特殊的能力，那就是当模糊图像首先被投射到剪切波域时，能够在各个方向上自
12、适应地正则化傅里叶反演。正则化反演之后，剪切波域的阈值将有色噪声收缩。为了提高估计能力，我们研究了一个广义交叉验证函数，从而在不明确计算噪声方差的情况下去寻找最优的剪切波域收缩阈值。D.论文框架在第部分，我们对剪切波变换做了简单介绍。在第部分，我们讲述了对剪切波域的有色噪声阈值使用广义交叉验证。在第部分，我们就所提出的去卷积方法做了细节讨论。在第部分中，我们展示了一些仿真结果，并把结语放在了第部分中。基于剪切波变换的去卷积算法7.剪切波变换在这部分中，我们将介绍剪切波变换，它是最近发展起来的一种多尺度多方向表述。考虑这样一个二维仿射系统21,2, :det RtuMusasatsa其中 是剪切
13、矩阵和各向异性膨胀矩阵的积，Msa01,当 时，Rsa,0112121,（4）其中对于 并且 supp ， 是连续小波，对于RC1,/-1，1并且 supp ，在 上 ， 的选取应使 。然2 -2， ， 02212后对于任意的 都满足表达式Lx，dstauxutsRta3,0,2其中 ， ， 。算子 SH 定义为 ，它是Rast tsaxtSH,的连续剪切波变换。剪切波变换是以下三个变量的函数：尺度 a，剪Lx2切系数 s 和转换系数 t。在频域内， 有一组支撑： tsa,。 asa12121 ,2, ：，因此，每个 因子都在一对梯形上有支撑，并且在每个尺度上都关于原tsa,点和一条斜线对称。
14、离散剪切波的集合可以表示为：基于剪切波变换的去卷积算法8202/0, ,:det ZkljxABjljklj 其中 ， 。对于 正确的选择，离散剪切波变换对于10B40A形成了帕斯瓦尔框架（边界等于一的紧框架） ，也就是它们满足以下特性2RL。2,2xxZklj klj上面描述的离散剪切波提供了频率平面的非均匀角覆盖，且平面受限于有限离散设置。因此，用下面的限制复述剪切波公式更为贴切：和 。具体来1/,81:,2210 D1/,81:, 221 D说，定义 ， ，其中1210 21，supp ,supp 。另外，我RC21, /,6/,1,们假设当 时， ，对于每个 ， 时，81201jj0j
15、。我们使 ， ，当 时选择221jjljl 401A1B2R满足0RC，121022 ddjl ljdXDjj其中 XD 代表 D 的指示函数。有了上面的函数 和 ，我们可以推导出下面的结果。定理 1：使 ， 。那么对于 ，kxkkxABxjdljdklj 2/3, 2RL的剪切波和 2:Zk1,0,10: 2, Zljjklj一起构成了帕斯瓦尔框架，其中 ,12,0:2, dZljxjdklj。根据 和 可以得到滤波器 和 ，从而 和dkljdkljXD, 12jvdljw, dkljx,基于剪切波变换的去卷积算法9也可以计算出来，因为 ，其中 是dkljx,kgxwvxdljdlj,*dl
16、jjdljwvg,*方向滤波器。为了简化符号，我们去掉了上标 ，并且通过重新定义参数 使l0 和 1 之间的差距减小，从而使基数变为两倍。一个 M-通道的滤波器组可以用文献 44中提到的技术实现，其中的滤波器与 相对应。但是导致的结果就是ljg,它的实现对于 的图像来说有 的复杂度。NN2lo值得注意的是，像连续剪切波那样，每个 因子都由一对梯形支撑，每klj,个梯形都包含于满足抛物线扩展属性且在近似为 的集合中。随着 ，j2j它们的支撑变得越来越细，每个 因子也表现出高度的方向敏感性，因为它klj,们的方向是沿着斜率为 的直线。由这些特性我们可以推导出下面的定理。jl2定理 2：使 x 为
17、且不在分段 曲线上， 为使用剪切波扩张中的 M 最C2SMx大系数得到的 x 近似构造，有 。322logCxSM这个结果的重要性是当 时，基于剪切波估计将得到 MSE 的近似率为0，其中 为含噪图像的噪声强度。 （这可以通过选取一个阈值，从而由最大的34含噪剪切波系数恢复出来。 ）相似地，当 时也可以得到小波/2M0MSE 的近似率为 。剪切波变换与曲线波变换和轮廓波变换有相似之处。事实上，剪切波和曲线波在数学上是使用图像的 M 最大系数提供 率的两种系统。曲线32logM波的空间频域划分和剪切波的表述在理论上是完全不同的，但是曲线波的实现却和剪切波或者轮廓波几乎一样。通过改变母小波 的支撑
18、以及扩张矩阵 和 可以实现不同的离散剪切波0A1分解。这些改变可以产生由不同梯形区域支撑的不同空间频域划分。当在一个非抽取的形式中完成时，剪切波变换会产生一个高度冗余的分解，其中包含了成对梯形区域的总数。对于去卷积使用剪切波的这种冗余来实现的一个优点就是它可以去独立评估每个带有不同量正则化的方向频带。之前没有人做过此项工作并且通过当下的曲线波和轮廓波也无法实现。基于剪切波变换的去卷积算法10.广义交叉验证（GCV）在这一部分中，为了减小噪声我们讲述一种基于 GCV 函数的剪切波阈值方案。这个 GCV 方案的主要优点就是在不知道噪声方差的情况下也可以得到几乎最优的阈值。它仅仅依赖于数据并且可以根
19、据数据自动调整收缩参数。在文献 48-50中提出了一种相似的用于小波阈值的 GCV 方法。注意，尽管我们建议使用 GCV 函数，但是使用新的 SURE 方法也是可行的。假设xy（5）其中向量 y,x 和 分别代表观察到的图像，原始图像和彩色噪声，假设它们都为二阶平稳（也就是说，均值是常数，两点之间的相关性仅依赖于它们之间的距离） 。对于相应的阈值 ，定义软阈值函数 在 时等于 ，否xTxsign则为 0。我们将会证明几乎最优的阈值 可以通过求 GCV 函数的最小值得到，lj,GCV 函数基于每个尺度 和每个方向 。j正如小波的例子一样，为了得到和文献 50中相似的结果，对于剪切波系数来说没有必要在任何时刻都是不相关的，但是噪声必须是二阶平稳的。如果噪声的过程 是平稳的，那么使用剪切波的多尺度和多方向框架，我们可以得到下面的引理。引理 1：如果 代表在尺度 ，方向 ，位置 k 上随机向量 的剪切klj,jl 波系数，那么系数的方差 仅取决于尺度 和方向 。2,kljEjl证明：它来自于下面的事实，就是我们使用一组带有合适方向的滤波器，如果 是一个离散平稳随机过程，其输入为时不变滤波器， 对应于尺度 和 ljg, j方向 ，那么其输出为 和 的卷积，同样也是平稳的。lljg,
