10.4 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念和性质 前面已经介绍了两类曲线积分，对第一 类曲线积分 其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问 题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和 式 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念1.定义其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量 2.对面积的曲面积分的性质 由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似 ）线性性 ）可加性 ）存在性 ） 表示闭曲面则 则 二、对面积的曲线积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种：则 对面积的曲面积分化为二重积分的计算步骤 1） 将曲面的方程代入被积函数 2）换面积元 3）将曲面投影到坐标面得投影区域注： （1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加 （2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 及投影区域 （3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数 （4）切记任何时候都要换面积元例1 解例2 计算 与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面 解在 x
