1 离散数学（二）环和域 环 11 整环 2 主要内容: 环和域的定义 重点: 重点和难点 : 域 3 域的定义 难点: 一、环 环的定义： 设 设是一代数系统, +和是二元运算，若满足 (1) 是阿贝尔群(加法群) (2) 是半群 (3) 乘运算对加运算+可分配，即对所有a,b,c A有 a (b + c)= a b + a c 和 (b + c) a = (b a) + (c a) 称代数结构为环(ring). 例1 (a) 是个环, 因为是加法群, 0是么元; 是半群, 乘法 在加法上可分配。 (b) 是个环, 这里N k =0, 1, , k-1, k0, + k 和 k 分别是模k加法 和模k乘法。 因为是阿贝尔群, 0是么元;是半群, 对任意元素a, b, c N k , 有 又 k 可交换, 所以,乘法在加法上可分配。一、环 定理1：设为环， 0是加法么元,那么对任意a,b,c R （1） a0 = 0a = 0 (加法么元必为乘法零元) （2） (-a)b = a(-b) = -(ab) （3） (-a)(-b) = ab （4） a(b-c) = ab-ac （5）
