1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学文一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1.已知集合 A=1，2，3，B=y|y=2x-1，xA，则 AB=( )A.1，3B.1，2C.2，3D.1，2，3解析：根据题意，集合 A=1，2，3，而 B=y|y=2x-1，xA，则 B=1，3，5，则 AB=1，3.答案：A.2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为( )1213A. 56B. 2C.1D.3解析：甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件.根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率 P= + = .13256答案：A3.
2、将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )A.B.C.D.解析：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D-AD1C，棱 CD1在左侧面的投影为 BA1.答案：B4.已知双曲线 =1(a0，b0)的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2xya52x+y=0 垂直，则双曲线的方程为( )A. =124xyB. =12C. =12305xyD. =12解析：双曲线 =1(a0，b0)的焦距为 2 ，c= ，2xya5双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直， ，a=2b，1bac 2=a2+b2，a=2，b=1，双曲线的方
3、程为 =1.24yx答案：A.5.设 x0，yR，则“xy”是“x|y|”的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：设 x0，yR，当 x=0，y=-1 时，满足 xy 但不满足 x|y|，故由 x0，yR，则“xy”推不出“x|y|” ，而“x|y|” “xy” ，故“xy”是“x|y|”的必要不充分条件.答案：C.6.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(-，0)上单调递增，若实数 a 满足 f(2|a-1|)f(- )，则 a 的取值范围是( )2A.(-， )1B.(-， )( ，+)23C.( ， )D.( ，+)解析：f(
4、x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(-，0)上单调递增，f(x)在(0，+)上单调递减.2 |a-1|0，f(- )=f( )，2 |a-1| = .|a-1| ，解得 a .2212132答案：C7.已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 的值为( )AFBCA.-58B.1C. 4D. 8解析：如图，D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE=2EF， 132AFBCDFBCADEBC= 13244 = 2553BACBAC= 23cos60144= .5128答案：B.8.已知函数 f(
5、x)=sin2 + sinx- (0)，xR，若 f(x)在区间(，2)内没有x12零点，则 的取值范围是( )A.(0， 18B.(0， ，1)45C.(0， 58D.(0， ， 14解析：函数 f(x)=sin2 + sinx- = ，x121cos12insin(24)xx由 f(x)=0，可得 sin(x- )=0，解得 x= (，2)，44k ( ， )( ， )( ， )=( ， )( ，+)，18598185f(x)在区间(，2)内没有零点，(0， ， .48答案：D二、填空题本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分9.i 是虚数单位，复数 z 满足(1+i)z=2，则 z
6、的实部为 .解析：由(1+i)z=2，得 z= =1-i，z 的实部为 1.212iii答案：1.10.已知函数 f(x)=(2x+1)ex，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为 .解析：f(x)=(2x+1)e x，f(x)=2e x+(2x+1)ex，f(0)=2e 0+(20+1)e0=2+1=3.答案：3.11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为 .解析：第一次循环：S=8，n=2；第二次循环：S=2，n=3；第三次循环：S=4，n=4，结束循环，输出 S=4.答案：4.12.已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点(0， )圆 C 上，且圆心到直线
7、 2x-y=0 的距离为5，则圆 C 的方程为 .45解析：由题意设圆的方程为(x-a) 2+y2=r2(a0)，由点 M(0， )在圆上，且圆心到直线 2x-y=0 的距离为 ，5 45得 解得 a=2，r=3.圆 C 的方程为：(x-2) 2+y2=9.2245ar， ，答案：(x-2) 2+y2=9.13.如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为 .解析：如图，过 D 作 DHAB 于 H，BE=2AE=2，BD=ED，BH=HE=1，则 AH=2，BH=1，DH2=AH-BH=2，则 DH= ，2在 RtDHE 中，则
8、 DE=DH2+HE2=2+1=3，由相交弦定理可得：CEDE=AEEB，CE= = = .AEBD123答案： 314.已知函数 (a0，且 a1)在 R 上单调递减，且关243log10,fxax（ ） ， ， ，于 x 的方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 .解析：f(x)是 R 上的单调递减函数，y=x 2+(4a-3)x+3a 在(-.，0)上单调递减，y=loga(x+1)+1 在(0，+)上单调递减，且 f(x)在(-，0)上的最小值大于或等于 f(0). 解得 a .作出 y=|f(x)|和 y=2- 的函数草图如图所示：3401a， ， 34
9、3x|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解，3a2，即 a .综上， a .3x 23123答案： ， ).132三、解答题：本大题共 6 小题，80 分15.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin2B= bsinA.3(1)求 B；(2)已知 cosA= ，求 sinC 的值.13解析：(1)利用正弦定理将边化角即可得出 cosB；(2)求出 sinA，利用两角和的正弦函数公式计算.答案：(1)asin2B= bsinA，2sinAsinBcosB= sinBsinA，cosB= ，B= .3326(2)cosA= ，sinA= ，1323sinC=s
10、in(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= .23126116. 某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料，生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车品乙种肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润.解析：(
11、1)根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域；(2)令利润 z=2x+3y，则 y= ，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优23zx解.答案：(1)x，y 满足的条件关系式为：452083610xyy， ，作出平面区域如图所示：(2)设利润为 z 万元，则 z=2x+3y.y= .23x当直线 y= 经过点 B 时，截距 最大，即 z 最大.3z解方程组 得 B(20，24).z 的最大值为 220+324=112.452031xy，答：当生产甲种肥料 20 吨，乙种肥料 24 吨时，利润最大，最大利润为 112 万元.17.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED平面ABN
12、CD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE= ，BAD=60，G 为 BC 的中点.6(1)求证：FG平面 BED；(2)求证：平面 BED平面 AED；(3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.解析：(1)利用中位线定理，和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；(2)根据余弦定理求出 BD= ，继而得到 BDAD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；3(3)先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案.答案：(1)BD 的中点为 O，连接 OE，OG，在BC
13、D 中，G 是 BC 的中点，OGDC，且 OG= DC=1，12又EFAB，ABDC，EFOG，且 EF=0G，即四边形 OGEF 是平行四边形，FGOE，FG 平面 BED，OE 平面 BED，FG平面 BED；(2)在ABD 中，AD=1，AB=2，BAD=60，由余弦定理可得 BD= ，仅而ADB=90，即 BDAD，3又平面 AED平面 ABCD，BD 平面 ABCD，平面 AED平面 ABCD=AD，BD平面 AED，BD 平面 BED，平面 BED平面 AED.()EFAB，直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，过点 A 作 AHDH 于点 H，连接 BH，又平面 BED平面 AED=ED，由(2)知 AH平面 BED，直线 AB 与平面 BED 所成的为ABH，在ADE，AD=1，DE=3，AE= ，由余弦定理得6cosADE= ，sinADE= ，AH=AD ，235353在 RtAHB 中，sinABH= ，直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 .6AHB 5618.已知a n是等比数列，前 n 项和为 Sn(nN*)，且 ，S 6=63.123a
