1、 本科生毕业设计(论文)微积分基本定理及应用 The fundamental theorem of calculous and its application 院 (系 ): 江西师范大学科学技术学院数信系 专业年级: 数学与应用数学（师范类）2010 级 姓 名: 廖翠芝 学 号: 1007019094 指导教师: 胡誉满 教授 完成时间: 2014 年 04月 27日 教务办公室 制声 明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。其中除加以标注和致谢的地方，以及法律规定允许的之外，不包含其他人已经发表或撰写完成并以某种方式公开过的研究成果，
2、也不包含为获得其他教育机构的学位或证书而作的材料。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在文中作了明确的说明并表示谢意。本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学科学技术学院读书期间在指导教师指导下取得的，成果归江西师范大学科学技术学院所有。特此声明。声明人（毕业设计（论文）作者）学号：1007019094声明人（毕业设计（论文）作者）签名：廖翠芝签名日期：2014 年 04月 27日摘 要本论文讲述的主要内容是微积分基本定理及其应用，重点是其应用，主要将它分为以下几个方面：微积分基本定理、微积分基本定理的证明、微积分基本定理的推广及应用。首先，给出本论文过程中需要用到的一些相关概念和定理，帮助过
3、程理解；其次，从定积分的定义和基本性质、中值定理、微分、原函数存在定理等多个角度给出了这一定理的证明方法；再次，给出该定理的一些应用，并进行拓展，例如从证明Taylor中值定理、零点定理、在复数函数中的应用、在常见应用举例基础上等更多方面进一步推广加以归纳总结，力求体现这一基本定理的应用价值。关键词：微积分基本定理 应用 推广 IAbstractAbout the main content of this paper is the fundamental theorem of calculus and its application, the emphasis is the applicati
4、on of it mainly divided into the following several aspects: the fundamental theorem of calculus, the fundamental theorem of calculus proof, the promotion and application of fundamental theorem of calculus.First of all, this thesis is given in the process need to use some of the related concepts and
5、theorems, and help process understanding；Second, from the definition and basic properties of definite integral, differential mean value theorem, the theorem of existence of primitive function, etc. Multiple Angle are given proof of this theorem method；Again, some applications of the theorem is prese
6、nted, and expand.，For example from Taylor mean value theorem proof, zero point theorem, in the application of complex functions, in the common application, for example, further the finest more promotion to sum up, to show the basic theorem of application value.Keywords: the fundamental theorem of ca
7、lculus ，the application ， extendII目 录1引 言 .12 微积分基本定理 .22.1 需要的相关概念及定理 .22.2 微积分基本定理及其证明方法 .32.2.1 利用定积分定义证明 .32.2.2利用原函数存在定理证明 .42.2.3 利用微分定义证明 .43 微积分基本定理的应用 .53.1 微积分基本定理在 Taylor中值定理的积分证明中的应用 .63.2 利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理 .73.3 在复变函数中的应用 .73.4 常见的应用举例 .73.5 微积分基本定理的拓展应用 .93.5.1 一元函数牛顿-莱布尼茨公式的推广 .103
8、.5.2 二元函数牛顿-莱布尼茨公式的推广 .124 小结 .15参考文献 .17致 谢 .1801 引 言公元前三世纪前后，古希腊人已经有了定积分的思想，他们会用“化整为零”的思想计算曲边梯形的面积，但遗憾的是那个时期的经济不发达，生产力低下，社会不需要微积分，并在以后二千多年的时间里，人们开始有了许多无穷微分积分的思想，然而微分与积分的内在联系这个重要的问题却无人论及.直到十七世纪中叶，随着经济的腾飞、科学的发展、社会的进步，微积分应运而生，可以说微积分的诞生是社会发展和天才降临共振的结果。天才科学家牛顿(1642-1727)和莱布尼兹(1646-1716)在不同的国度几乎在同一时间先后发
9、现了一个重要的沟通了微分积分关系的定理，称为是微积基本定理.该定理中的核心部分即其重要公式 ，牛顿是)()(aFbdxfba稍先于莱布尼兹发现该公式，不过当时没有正式发表，而莱布尼兹发现该公式后立即就发表了，所以，该公式当时命名为莱布尼兹公式.而当牛顿逝世后，人们在他的手稿中竟发现了该公式与莱布屁兹所发现的公式大同小异，其实内容一样，只是叙述方法略有差异而已.他们的工作是彼此独立完成的，为了纪念牛顿和莱布尼兹对数学上的伟大贡献，后人将该公式正式命名为牛顿莱布尼兹公式或微积分基本公式.从定理命名中的“基本”二字，我们可以看出该定理的重要性，它是微积分中最重要的定理之一，它建立了微分和积分之间的联
10、系，指出微分和积分互为逆运算,，它的建立标志着微积分的完成，成为数学上的一个里程碑。而微积分又是广泛应用于自然科学各个领域的基本的数学工具，微积分的创立极大地推动了人类的文明进程.在当今经济发展迅速的信息时代，微积分基本定理仍然很重要，除了在数学领域，还在物理学领域，在生活领域等自然科学领域都有着极其重要的应用，在实际生活中也得到了广泛的应用，这一定理的推广使其应用价值也会越来越高，对社会经济等的发展影响就越大，值得我们继续研究探索并创新出更优秀的成果. 112 微积分基本定理在叙述微积分基本定理这一节，我将分为两部分进行，先了解一些论文过程中需要的数学基础知识，再通过对微积分基本定理的各种证
11、明方式更加深入明确理解这一定理.2.1 需要的相关概念及定理在本文设计过程中，因涉及一些需要用到的相关概念和定理，为此，我们先给出这些概念和定理以便于后文理解 .2定义 1（导数） 设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限)(xfy0存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处的0)(lim0xfxf0 f0x导数，记作 .f定义 2（原函数） 若果定义在 上的函数 和 满足条件：对每一个),(ba)(xFf，都有 ，则称 为 的一个原函数.),(bax)(xfF xFf定义 3（微分） 设函数 定义在点 的某邻域 内，当给 一个增量)(fy0)(0U0x时，相应地得到函数的增量为
12、如果存在常数)(,00U .fxfy,使得 能表示成 则称函数 在点 处可微，并称上式中的Ay),(xoA0为 在点 的微分，记作 或xf0xdy0 .)(0Axdf定理 1 函数 在点 处可微的充要条件是函数 在点 处可导，而且上式中的f0x 0x等于 .A0xf定义 4 （定积分） 设 是定义在 上的一个函数，设闭区间 上有f,ba,ba个点，依次为 它们把 分成 个小区间1n ,1210xxan ,n这些分点或这些闭子区间构成对 的一个分割，记为.,2,nixii 或 . 小区间 的长度为 ，并记10nT ,21n i1iix称为分割 T 的模，任取一点 ，作和有,maii ii(fn)
13、0f(+ + ,称 为函数)2)1x )(1iixf)(1nnxf iixf)(n在区间 上的积分和 .如果当 时，积分和 存在极限 ，即(f,ba0TnI2，且数 与分法 无关，也与 在 上的取法无关，则称IxfiniTnT10|0|lmliITii函数 在 上可积， 是函数 在 上的定积分，记为： )(xf,ba)(xf,babaxf)(d.IfiniT10|l定理 2 (拉格朗日中值定理) 若函数 满足如下条件：（i ） 在闭区间f f上连续；（ii） 在开区间 内可导，则在 内至少存在一点 ，使得,baf),(ba),(ba.aff)()(定理 3（原函数存在定理） 若函数 在 上连续
14、，则函数)(xf,ba是 在 上的一个原函数，即 ，证xadtfF)()()(xf,b )()(xfdfFa明略. 2.2 微积分基本定理及其证明方法微积分基本定理的表述形式有多种，本文我们将其叙述如下：引理 1 若 在 上连续，则 在 上处处可导，且f,batdfxFa)()(,b.),(xfF,ba引理 2 若 是 上只有有限个间断点的有界函数，则 在 上可积.f f,a2定理 4（微积分基本定理） 若函数 在 上连续，且存在原函数 ,即f,baF, ,则 在 上可积，且 这称为牛顿-莱)(xfFbaf,ba).()(Fdxb布尼茨公式，也称为微积分基本公式,它也常写成 .afxba22.
15、2.1 利用定积分定义证明 证明 由定积分定义，任给 ，要证存在 ,当 时,有00T| - | .)(1niifix)(aFb下面只需要证明这样的 存在即可.事实上，对于 的任一分割 = = , = ,在每个小区间 , 上对,baTa,10n 1ixi使用拉格朗日中值定理，则分别存在 ， ， 使得)(xFi),(1ix,2n3)()(11iniixFaFb= .iii1nifix在 上连续f,ba在 上一致连续对上述 ，存在 ，当 且 时，有00,baxx.fxf)(于是，当 时，任取 ，便有 ，这就证得iT,1iii=nii aFbxf1 )()(ni iiixff1)(.ii iiniix
16、ab1在 上可积，且 见文 .f,ba).()(abdxfba22.2.2 利用原函数存在定理证明 证明 已知 是 在 上的一个原函数，由原函数存在定理可知函)(xFf,ba数 也是 在 上的一个原函数，则这两个原函数之间仅会相差一xadtf)(f,个常数 ，因此有 = + ，在上式中，令 ， 有 0=Cxat)()xCax)(adtf+ ，即 = - ，则有： ，若在该式中再令 ，则)(FFaFdtf)( bx可得 ，将积分变量改为 表示，上式即为batf)，从而定理得以证明. babdxf)()( 22.2.3 利用微分定义证明 3证明 对区间 进行分割为： ,ba21xa11iiixbn
17、1定义 ， ；并对m),(),11 iiiiiii xFxFx ,2变形可得：)(abF（1）11 )()()( niini ii xFab4因为 在 内可导，由微分的定义，故)(xF,ba)()()( iiii xoxfFxd其中 为 的高阶无穷小量，则（1）式可变为：ioiniiinixfab11)()(lm)(接下来我们证明 ，即证明 .niifF10l)(max 0)(lm10axniio由导数的定义可知，对于 ，有下式成立：111)()(li1 iiixfxF故当 时，有下式成立：iix1iiiii xfxf )()()(11也即下式成立： i xox1)(令 ，则有：ab1 )()
18、(lim110ax abxabniini即 .0)(lim10axnio接下来我们要再证明： ，其中 ，即证inixinix xff )(l)(l 111,iix明函数的积分与其分割无关.在闭区间 上连续， 对于 ，当 时，有如下式成立： )(xfba,0iiabfxfii)(成立，即证明了上述的命题.()(lim1 abxfxfiniix综上所述： .inixfFb)lm10ax由于函数 在闭区间 上连续，可知 ，则 )(xf, )(sup)(fxff0maxli的极限存在，再由积分的定义可得： . 得证. niif1)( badF)( 3这一种证明方法是证明微积分基本公式的一种新证法，新证法比教科书上的变上限法复杂，但它却揭示了导数、微分及积分间的内在联系，从微分的角度揭示了牛顿-莱布尼茨公式的几何意义.
