1、1000()(lim=lixxfxff000()(=limlixxfxfyf）00()(limxfxf000()(=limxfxff ）导数在中学数学中的应用1.引言导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新视角、新方法，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率、数列求和、方程求解和解决一些物理问题等等的有力工具。利用导数解题也非常有它自己的方法和规律可循，学生掌握了方法，解有关导数方面的题就不难了。从近几年的高考来看，导数和函数、函数图象相结合的大题目几乎每年必考，而导数或导函数的应用又常常是突破口。由此可见，导数的应用在初等数
2、学的学习中占有举足轻重的地位2.导数的概念在中学教材中的定义：一般地，如果函数 在 处的瞬间变化率为，我们就称()yfx0它为函数 在 处的导数，记为 或0()fx0/yx即注意：(1)只有函数在点 的周围有定义时，导数才存在，不然导数不存在 0(2)如果极 限不存在，则称函数 为不可微函数()yfx(3)在衍生型的极限的定义，达到 0 可以是积极的，消极的，但不是 0. (4)要是一般函数 在点 x处的瞬时变化率为，()yf 然2yx而反映的是函数 )(xfy在 点处变化的快慢程度，从而可得其几何意义是曲线 )(f在0点 处的切线的斜率0(,)xf(5)假如对于一般函数 在自变量 到 范围内
3、的平均变化率为，()fx则它的几何意义为过函数图像的曲线 )(fy上的点 与点 的割线斜率0(,)f00(,(+)xf(6)假如函数 要在开区间 内的每一点都有一个确定的导数，我们就可以说函()fx,ab数 在开区间 内是可导的；此时就有每一个 的值，必定都对应着一个确()yfx,ab(,)ab定的导数 ,构成一个新的函数 ，称这个新的函数为之导数. ()fx3.导数在中学数学内的应用3.1 导数在几何问题中的应用函数 f(x)在点 的导数 是曲线 在点 处的切线斜率，当0x0()fx()yfx0,()fx，表示切线与 轴正向夹角为锐角，当 ,表示切线与 轴正向夹角为钝角，0()fx x当 ，
4、表明切线与 轴是平行的关系.3.1.1 利用导数求切线方程考虑二次曲线方程为： 是 的函数，利用复合函数求导法是可以求出此切线的斜率yx例 1 已知函数 在 上满足 ，则曲线 在点()fR2()28fxfx()yfx处的切线方程是 （ ）(,)fA. B. C. D. 2yxyx3y3yx分析 该题是没有直接告诉我们 的具体解析式，只是告诉了我们一个有关 的关()f ()fx系表达式要是想求其在 处的切线方程，显然是要首先求在 的斜率 (1,)f (1,)fk解根据求导法则，对 两边分别对 求导后有 228xxx()ffx所以.(1)8ff3221()xytab即 (1)2f由于.2(1)8f
5、f所以 (1)f则 在点 处的切线方程为x,()f(1)(1)yfx即21yx所以选答案 A3.1.2 利用求导的方法来求解中点弦的问题假如要以圆、椭圆等图形的中心为中心来探讨问题，按照比例来缩小原有的图形，则肯定是存在同样类似的圆、椭圆等与弦 AB 的中点 M 是相切的（图一） ，要是在此时缩小曲线方程的比例，假设为 ， ， 22()()(xaybtR两边对 同时求导，我们可以x发现并不能改变原有方程之前推导出来的结果，所以，可直接利用导数得方法来求中点弦的斜率也就是 在中点位置处的值xy4图一例 2 已知有双曲线的方程为 ,(1)求出以点 为中心点的双曲线的弦所在2xy1,2A的直线的方程
6、；(2)过点 ,能不能作出直线 ,使直线 与我们所给曲线交于 这两1BLPQ、点,要是已知点 是已知弦 的中心点，这样的直线假如要是存在,那么求出它的直线方程；PQ要是不存在,请说明原由.解 对函数 的两边同时求导, 可得2xy024xy(1) 要是以点 为中心点的弦的斜率是 , 因此所求中点弦所处的直线1,A2|1,yk方程为 .2()yx(2) 要是以 为中心点的弦的斜率为 , 所以所求中点弦所在直线的具,B|1,2yx体方程是 1()即 ,与双曲线的方程 联立，从而消去 得20xy2xy430,8所以函数是没有实根的.进而直线 与双曲线也是没有交点的, 即满足已知条件的直线 是不l l存
7、在的.这样求出的方程只是满足了必要的性质, 但是还必须验证一下它的充分性, 即所要求的直线与已知的双曲线确实要有两个相交的点.3.2 导数如何确定函数形态3.2.1 利用函数导数判断一般函数的单调性函数的单调性是函数的重要特征，在高中阶段有较多的应用，对解决许多实际问题也有简化的作用，有时我们对于一些函数的单调性不易做出判断的情况下，可以利用该函数的导数进行判断，即假设函数 在区间 I 上是可导的：()fx 若函数 在区间 I 上的导数 时，则函数 在区间 I 上是单调递增函数()0fx()fx 若函数 在区间 I 上的导数 时，则称函数 在区间 I 上是单调递减函数()fx 若函数 在区间
8、I 上的导数 时，则 在区间 I 上为常量函数()0fx()fx521()fx可以很方便的判断一个函数的重要性质即单调性，但是在应用时应特别的注意在区间内 是 在此区间上为单调递增函数的充分而不必要条件同时 也是在区()0fx()yf ()0fx间上为单调递减函数的充分而不必要条件 例 3 证明函数 在 上是增函数,分析 要证明一个函数在某区间上是增函数还是减函数，则其证该函数的导数在该区间上大于 0 还是小于 0，因为一个函数的导数在某区间上大于 0（小于 0）是该函数在该区间上单调递增（递减）的充分条件证明 因为 ，当 时 ，所以 321()xfx13x()fx故函数 在 上是增函数()f
9、,例 4 求函数 的增区间32()156fxx分析 要求一个函数的单调区间，则判断其导数的正负，若 的导数 的区间()fx()0fx为 I，则 的增区间为若 的导数 的区间为 I，则 的减区间为 I若()f ()f()0fx的导数 的区间为 I，则 在 I 上为常量函数()fx0x解 因为 ，所以当满足 恒成立时，即当 或 时，2()3fx()f1x函数在该区间上为增函数故函数 的增区间为 .()fx(,1)(,)例 5 假设函数 在区间 上是增函数，则求出实数 的取值范32yxm(,)m围.分析 已知该函数在 上的是增函数，则可得该函数的导数在该区间上大于零，(,)根据这一条件从而求出函数中
10、的参数范围解 由题可知.23yxm因为函数在 R 上是增函数，所以 在 R 上恒成立.06103m1313m103942xm所以 .即：4120. 例 6 假设函数 在区间 上是递增的函数，求出实数 的取值范321yx(0,)m围 解 由题可知 .23yxm因为函数在 上是增函数.(0,)所以 .230yx在 上恒成立.(0,)所以 或4120m即 或综上有满足条件的 取值范围为 m0+，从以上的两个例子可看出函数在某区间上单调性恒成立，相同函数在不同的区间上的单调性相同，由于是在不同的区间上，故其考虑因素是不一样的即侧面的反应出在区间内是 在此区间上为单调递增函数的充分不必要条件同时 也是在
11、区间()0fx()yfx ()0fx上为单调递减函数的充分条件而不是必要条件3.2.2 利用导数求极法和最值问题7最大值，最小值问题是高中数学教材中的一个重点，同时对于学者也是一个难点.在高考中也占有较高的分值，它涉及到了高中数学知识中的各各方面，渗透范围极广，往往是需要多种技能多种技巧来解决这样的问题，并且需要选择合理快捷的解决过程与方法，达到方便简化的作用然而正好用函数的导数解决这类问题可以使解答问题的过程更加简化，步骤更加清晰明了，学生也能更好得掌握实际问题应注意的是函数的极大值与极小值和最大值最小值的差异与联系，极值是在某个区间上加以探讨研究的局部性问题的概念，而最值则是在整个区间上的
12、研究的整体性问题的概念根据函数的导数求函数的极(最)值解答这样问题的步骤可大概分为：（1）根据求导的一般法则对该函数求导，求出导数，即求导数 .()fx（2）假设函数的导数是等于 0 的,从而可以解出该函数的导函数的零点，即是在求方程的根.()0fx（3）分区间加以讨论研究,得到函数的单调增区间及单调减区间（4）先判断出极值所在的点，然后顺利的求出极值（5）算出区间端点值及其极值进行比较，计算出最值判断函数极值的几种方法：（1）直接代入法：这种方法是将极值问题进行转化，将问题简单化的过程，最终使问题加以解决，可以与其用来解决一些较为简单而实际的极值问题（2） 拉格朗日乘数法（利用二阶偏导数矩阵
13、判断、利用全微分判断等作为了解）.导数是 0 的点可以不是极值点，而要是极值点的导数则必然为 0，同时要是不可导的点也是可能为极值点的因此函数的极值点要么是在导数为 0 的点，要么是在不可导的点处产生利用导数求一确定函数的极值主要题型有：(1)根据函数极值的性质求解参数的实际问题；(2)根据函数解析式求解极值.解答时要准确应用并且利用导数求极值的原理来进行求解例 7 求函数 在 条件下的极值(,)fxyz2xyz解 由2xyz解得82244()033403A 2(,)328(,)27f2(,)3p2zxy将上式代入函数 得(,)fxyz(,)(2)gxyxy由 ， 得2xgy2y解得 ，1(0
14、,)又 ， ， 在点 处 xgy2xgygx1p2040所以 不是极值点，而从函数 在相应点（0，0，2）处无极限1 (,)fz在点 ，处2p又 所以 为极小值点，因而函数 在相应点 处有极小值，极小p(,)fxyz值为例 8 假设函数 ，求解函数 的单调区间及其极值.sinco1 ,0fx()fx分析 要求其单调区间，则先判断其导数的正负，再根据函数的走向来判断函数的极值解()sinco1,02fxxx知()cosin1fxx于是20xygyx9()12sin()4fxx2sin()4x32x3(,)232(,2)323(,2)3(,)23()2f12令 ，从而 得 或.()0fx当 发生变
15、化的时候， ， 相应的变化情况如下表所示：x()fxf表一： x(0,)()f+ 0 - 0 +x单调递增函数单调递减函数单调递增函数故，由上表可知 的单调递增区间是 ， ，递减区间是 ，极小()fx0,)值则为 ，极大值则是 .()2f根据函数的单调性可判断出函数的极值点，从而求出极值， （极值必定是函数在某个区间内的最值，如果是要判断该题的最值，则将其极值与端点上的值进行比较，从而进行判断）.例 9 设函数 ln2(0)fxxa（1）当 时，求 的单调区间af（2）若 在 上的最大值为，求 的值fx0， a分析 要求函数的最值，则首先判断该函数的一级导数的正负，从而判断出单调区间范围，确定
16、出函数的极值，再与区间端点值进行比较，从而求出最值解 函数求导得1()2fxax1021+=002xx（ ） 1()02fxaxmax(1)f2k定义域为（0，2）.（1）当 时，令 得a()0f.当 ，为增区间；当 ,为减函数(0,2)(0xfx(2),(0fx，（2）区间 上的最值问题，经过一级导数得到单调性，结合极值点和端点的对比获得，1，得到待定量 的值当 有最大值，则一定不是减函数，且 ，a1，的解为单调递增区间最大值在右端点处取得 .求函数的最值和极值是有区别的，极值是函数在某区间内的最值，而最值是整个函数在定义域中的最值注：函数的极值与最值得联系与区别： 函数的极值必定是该函数在
17、某个区间内的最值 假如函数的最值在某个区间内计算所得，则这一点肯定是极值点 函数的极值不一定就是该函数的最值3.2.3 导数在判断函数奇偶性中的应用已知函数 是在定义域内为可导的，假设函数 是为奇函数，那么 就是为偶()fx ()fx()fx函数，要是 为偶函数，那么 就是为奇函数，该定义是可以用来解决一些根据函数()fx奇偶性定义而无法解决的一些问题例 10 设函数 ，其中 ，则函数 为偶函数的充分条件且非必()sin)fx0()fx要条件是 （ ）A. B. C. D. (0)f(0)1f()1f(0)f分析 本题用常规方法很难判断出函数 是偶函数的充要条件.x解 题知 由定理二我们知道，由于函数 是偶函数，则()cos()fx()fx为奇函数，所以 又当 时，即 ，此时有 ，代入()fx 00fcos0
