1、 matlab在自动控制中的应用研究 姓名：王思鹏 学号： 12012242035 2012 级 自动化 3 班 【 摘要 】 本文介绍了自动控制中 matlab 的一般运用，以及在自动控制主要系统中的具体应用。利用 matlab 强大的数值计算和图形绘制能力，作为程序主要设计方向。运用这种功能设计了 matlab 在自动控制理理论分析”的计算辅助程序。程序包含了稳定性分析、时域响应分析和根轨迹分析三个主要模块，这些模块改变了传统的工程繁杂运算，充分利用计算机集成软件的表现能力，将抽象问题具体化，而且程序易懂，操作简便，对自动控制理论的应用研究具有一定的实用性 关键词 自动控制原理； Matl
2、ab；稳定性分析；时域响应分析；根轨迹分析 1.概论 1.1 设计目的及意义 自动控制原理是自动化学科重要的专业基础，分为经典控制理论和现代控制理论。经典控制理论是以传递函数为基础，利用时域分析法、频率分析法和根轨迹法对线性定常系统进行分析和设计。这是主要研究自动控制系统的一般规律，涉及控制系统的模型建立、系统分析，以及系统设计的基本理论和相关技术。其特点是具有一定的概括性和抽象性，数学知识和运算的应用多，计算复杂。因此，通过计算机 的计算表现能力将抽象问题具体化。 随着计算机技术的发展和应用，自动控制理论和技术在宇航、机器人控制等高新技术领域中的应用也愈来愈深入广泛。不仅如此，自动控制技术的
3、应用范围现在已扩展到生物、医学、经济管理和其它许多社会生活领域中，成为现代社会生活中不可缺少的一部分。随着时代进步和人们生活水平的提高，建设高度文明和发达社会的活动中，自动控制理论和技术必将进一步发挥更加重要的作用 1。 而在自动控制工程实际中，可控制系统的结构往往很复杂，如果不借助专用的系统建模软件，则很难准确地把一个控制系统的复杂模型输入 计算机，对其进行进一步的分析与仿真。所以需要一种高级科学分析与计算软件，具有强大的数值计算能力，而且速度快，使用方法简便， matlab 是为数不多的完全满足这些要求和条件的软件工具，并且凭借它在科学计算方面的天然优势，建立了从设计构思实现到最终设计要求
4、的可视化桥梁，大大弥补了传统设计与开发工具的不足， 是工程控制设计中不可多得的工具，并且在科研、生产和数学等领域具有广泛的应用前景和推广价值。因此，matlab 在自动控制方面的应用具有相当广泛的研究意义以及达到更优化设计的目的 1.2 设计基本要求 根据所学的 Matlab的知识来进行编程实现基于 MATLAB的自动控制原理理论进行分析与设计（时域），本次设计预期完成以下功能： （ 1）运用 MATLAB 命令分析控制系统的性能及其稳， （ 2）利用时域分析法对控制系统（一阶系统和典型二阶系统）进行分析，并给出控制系统的瞬态性能指标； （ 3）利用根轨迹法对控制系统进行分析； （ 4）提供直
5、观、形象的波形演示定性 1.3 设计的基本框架和功能 描述各个模块的功能： （ 1）稳定性分析模块：包含系统的稳定性的判断和显示闭环系统所有的特征根，很直观地显示系统的稳定性判断是否正确，快捷地表示已知系统的稳定性。 （ 2）时域分析响应模块：包括了一阶系统、典型二阶系统、任意阶系统三个主要界面，可以通过此界面绘制时域的响应曲线并且计算相关参数。 （ 3）根轨迹分析模块：包含了绘制根轨迹的函数计算，可以通过此界面绘制系统的根轨迹 3.2 Matlab 软件的编程研究 2.1 Matlab 软件的使用 MATLAB 环境 (中文名是矩阵实验室 )是 MATLAB 是 Math works 公司推
6、出的种面向工程和科学运算的交互式计算软件，经过近二十年的发展与竞争、完善，现已成为国际公认的最优秀的科技应用软件。 MATLAB 有三大特点 :一是功能强大，它包括了数值计算和符号计算、计算结果和编程可视化、数学和文字统一处理、离线和在线计算等功能；二是界面友好、语言自然， MATLAB 以复数矩阵为计算单元 ,指令表达与标准教科书的数学表达式相近；三是开放性强， MATLAB 有很好的可扩充性，可以把它当作一种高级的语言去使用，用它容易地编写各种通用或专用应用程序 1。 SIMULINK 是 MATLAB 的一个重要的伴随工具，它通过对真实世界中的各种物理系统建立模型，进而用计算机实现仿真的
7、软件工具。将SIMULINK 应用于自动控制系统，可以很容易构建出符合要求的模型，灵活的修改参数，方便的改变系统结构或进行转换模型，同时可以得到大量的有关系统设计的充分的、直观的曲线，这使得它成为国际控制界应用最广的首选计算机工具软件。 正是因为 MATLAB 具有这些特点，因而被广泛使 用，不仅成为世界上最受欢迎的科学与工程计算软件之一，而且成为国际上最流行的控制系统计算机辅助设计的工具。现在的 MATLAB 已经成为一种具有广阔应用前景的全新的计算机高级编程语言 2.2 Matlab 软件在自动控制原理中的应用 自动控制是控制理论中理论性较强的技术基础课，在工科的专业培养方向都占有重要地位
8、。在控制理论中涉及许多复杂的计算问题，并且还有时域分析中涉及许多根轨迹作图和伯德制图，而 Matlab 以矩阵和向量为基本数据单位，具有十分突出的矩阵计算能力。同时 Matlab 含有各种可选的工具箱，如神经网络、小 波分析、模糊控制、信号处理、鲁棒控制等功能强大的计算辅助工具。在自主探索式学习过程中掌握用 MATLAB 来计算与模拟自动控制理论中一些难以理解的问题，使原本比较抽象的问题更加形象化。在自动控制原理理论的研究应用上，我们运用 MATLAB 语言解决稳态分析和作图问题的尝试，使计算和作图问题变得简单化，高效化 随着计算机技术的发展和应用， MATLAB 对自动控制理论和技术在宇航、
9、机器人控制等高新技术领域中的应用也愈来愈深入广泛。不仅如此，自动控制技术在生物、医学、经济管理和其它许多社会生活领域的应用越来越依靠 MATLAB 强大的功能处理来实现自动控制要求，这些应用成为现代社会生活中不可缺少的一部分。随着时代进步和人们生活水平的提高，建设高度文明和发达社会的活动中，MATLAB 对自动控制理论和技术的应用和研究必将进一步发挥更加重要的作用。 2.3 Matlab 在绘图方面的应用 虽然数值计算、符号计算给人们的科学研究带来了很大帮助，很多时候人们难以直接从大量的数据中感受到它们的具体含义和内在规律。人们更喜欢通过图形的方式直观形象地感受科学结果的全局意义和内在本质。而
10、 MATLAB 的出现解决了这个问题。 MATLAB 有很强的图形功能 ，可以方便地实现数据的视觉化，这使得 matlab 在工程方面的提升不仅仅在数据上而且具体化到图形绘制。强大的计算功能与图形功能的结合，为 MATLAB 在科学技术和自动控制图形绘制方面的应用提供了更加广阔的天地。 3 Matlab 程序的设计和调试 3.1 利用 Matlab 进行系统稳定性判定的设计 3 1 1 自动控制原理中稳定性的判断 稳定性是指控制系统在受到扰动信号作用，原有平衡状态被破坏后，经过自动调节能够重新达到平衡状态的性能。当系统在扰动信号作用（如电网电压波动，电动机负载转矩变化等）下偏离了原来的 平衡状
11、态时，若系统能通过自身的调节作用使得偏差逐渐见笑，重新回到平衡状态，则系统是稳定的；若偏差不断增加，即使扰动消失，系统也不能回到平衡状态，则这种系统是不稳定的，这表明稳定性是表征系统在扰动消失后的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性。系统的稳定性又分为两种：一种是大范围的稳定，即初始偏差可以很大，但系统仍然稳定；另一种是小范围稳定，即初始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统，如果小范围内是稳定的，则它的大范围也是稳定的。而非线性系统不存在类似结论。 通常而言，线性定常 系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。当把控制系统的响应分为过渡状态和稳定状态来考虑时，若随
12、着时间的推移，其过渡过程逐渐衰减，系统的响应最终收敛到稳定状态，则称该系统是稳定的；如果过渡过程是发散的，则该系统就是不稳定的 2。 任何一个自动控制系统正常运行的首要条件是，它必须是稳定的。因此，判别系统的稳定性和使系统处于稳定的工作状态，是自动控制的基本问题之一。稳定性是系统去掉扰动以后，系统自身的一种恢复能力，是系统本身所固有的特性。它仅仅取决系统的结构参数，而与初始条件及输入信号无关。根据分析我们知道，如 果系统所有的闭环特征根（闭环极点）都分布在 S平面左半部，则系统的暂态分量随时间增加逐渐消失为零，这种系统是稳定的。如果有一个或一个以上的闭环特征根是位于 S平面右半部或虚轴上，则系
13、统是不稳定的。 综上所述，线性系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环特征方程式所有的根，均位于 S平面的左半部。虽然对于高阶系统，求其闭环特征方程的根是件很麻烦的工作，但是利用劳斯判据来判断需要设计很复杂的界面，又因为 Matlab具有很强大的计算能力，并且提供了直接求解代数方程根的函数，所以利用Matlab 来求闭环特征方程的根不是一件很 难的事，同时本次设计对软件的运行速度的要求不是很高，只要起到演示的效果即可。经过求闭环特征方程的根和劳师判据来判断系统稳定性的优缺点的对比，我们在本次设计中选择求闭环特征方程的根来判断系统的稳定性。 3 1 2 利用 Matlab 程序设计进行系统稳定性的判
14、断 系统稳定是系统实现预期目标的一个重要因素。因此对系统进行稳定性判定是很有必要的。利用 matlab 软件对系统稳定性进行分析判定，获得系统传递函数的特征值分布，以此为依据进行判断，是判断过程更加方便、简单、快捷，避免繁琐的分析计算过程。同时，有数据的支持能 使得结论的科学性和真实性更加清晰。 具体利用 Matlab 实现系统稳定性判定方法：在 Matlab 中编制一个M 文件，用于判断系统的闭环特征根是否都位于 S 平面的左半部，并显示闭环特 征的根，保存的名字为 wending.m，并将此文件保存在 Matlab 的 work 文给出 wending.m 文件，详细程序见附录件夹下。论文
15、已给出 wending.m 文件，详细程序见附录 A=roots (sys.den1) sum=0; a,b=size(A); c=a*b for i=1:c if real(A(c)0 sum=sum+1; end end 由自动控制原理理论可知系统的传递函数标准型为： 3.2 利用 Matlab 进行系统时域分析的设计 对控制系统而言，其数学模型由微分方程和差分方程给出，因此可以从给定的初始值开始，通过某种算法逐步求出系统某一时刻的响应，从而丝线对控制系统的分析。此外，通过对系统的时域分析，可以求得系统响应的性能指标。在经典控制理论中，时域分析法是一种十分重要的分析和设计控制系统的方法，它
16、包括系统稳定性分析、动态性能和稳态性能指标的计算等内容。时 域分析法是通过传递函数、拉氏变换及其反拉氏变换求出系统在典型输入下的输出表达式，从而分析系统的时间响应的全部信息。与其他分析法相比较，时域分析法是一种直接分析法，具有直观和准确的优点，尤其适用于一、二阶系统的分析计算。而对于二阶以上的高阶系统则须采用频率分析法或根轨迹法，因此在本次设计中对于高阶系统的性能指标不进行计算。 与控制系统的其他 Matlab 仿真一样，时域响应 Matlab 的仿真方法也可以在 Matlab 函数的指令方式下进行时域仿真，对于线性系统， Matlab 控制系统工具箱提供了若干函数完成线性 系统的仿真。 3
17、2 1 自动控制原理中的时域分析 （ 1）典型输入信号 控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速函数、单位脉冲函数及正弦函数。在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程这两部分组成。相应地，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常也由动态性能指标和稳态性能指标这两部分组成。 （ 2）时域性能指标 动态过程又称瞬态过程或暂态过程，是指系统在典型输入信号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的响应过程。系统在动态过程中所提供的系统 响应速度和阻尼情况等用动态性能指标描述。 时域中评价系统的暂态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依
18、据。为了评价系统的暂态性能，则规定其性能指标如图 3所示。 通 常，在单位阶跃函数作用下，稳定系统的动态过程随时间 t变化的指标成为动态性能指标。对于图 3所示 的单位阶跃响应，通常定义动态性能指标为以下几种 2。 上升时间（ Rise time） rt 对于无振荡的系统，定义系统响应从终值的 10%上升到 90%所需的时间为上升时间；对于有振荡的系统，定义响应从零第一次上升到终值所需的时间为上升时间。缺省情况下， MATLAB 按照第一种定义方式计算上升时间，但可以通过设置得到第二种方式定义的上升时间。 峰值时间（ Peak time） pt 响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间定义为峰值
19、时间。 超调量（ Overshoot） % 响应的最大偏差量与终值的差 与终值之比的百分数，定义为超调量，即超调量也称为最大超调量或百分比超调量。 调节时间（ Setting time） st 响应到达并保持在终值 2%或 5%内所需的最短时间定义为调节时间。缺省情况， Matlab 计算动态性能时，取误差范围为 2%，可以通过设置得到误差范围为 5%时的调节时间。 在上述的指标中，上升时间 rt、峰值时间 pt都是表征系统响应初始阶段速度的快慢；调节时间 st 表征过渡时间（暂态时间）的持续时间，从整体上反应了系统的快速性；而超调量 %输入信 号的最终精度。 （ 3）一阶系统时域分析 由一阶
20、微分方程描述的系统，称为一阶系统，它的传递函数为： 式中的 T成为时间常数，它是表征系统惯性的重要参数。所以一阶系统是一个非周期的惯性环节。 下面以单位阶跃信号为例来进行一阶系统的时域分析。 当输入信号 U t=1 t时， U s=1/s，系统输出量的拉氏变换为： 对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为 : 对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为： 由 此可见，一阶系统的阶跃响应是一条初始值为 0，按指数规律上升到稳态值 1 的曲线，见图 4。由系统的输出响应可得到如下的性能： 单位阶跃响应曲线的初始斜率为 这表明一阶系统的单位 阶跃响应如果以初始速度上升到稳态值 1，所需的时间恰好等 T。 根据
21、暂态性能指标的定义可以求得 调节时间为： 3()s tTs5%的误差带） 4()s tTs 2%的误差带） 延迟时间为： 0.69()d tTs 上升时间为： )(020 .2sTtr其中峰值时间和超调量都为 0。 （ 4）二阶系统时域分析 凡是可用二阶微分方程描写的系统称为二阶系统。在工程实践中，二阶系统不乏其例。特别是：不少高阶系统在一定条件下可用二阶系统的特性来近似表征。因此，研究典型二阶系 统的分析和计算方法，具有较大的实际意义。 图 3.4 为典型的二阶系统动态结构图，系统的开环传递函数为： 阻尼比） n于 零所得方程式称为系统的特 征方程式。典型二阶系统的特征方程式为 当 01，称
22、为过阻尼状态。特征根为两个不相等的负实数。 当 =0，称为无阻尼状态。特征根为一对纯虚数。 由 n性完全由 这两个参数来决定的。 二阶系统的阶跃响应 3 由于本次设计中只以单位阶跃响应为例来分析系统的参数，所以在这里不再像一阶系统那样来详细的分析各种输入信号的输出响应，在这里只以单位阶跃信号为例来分析典型二阶系统的输出响应及其性能指标。在单位阶跃函数作用下，二阶系统输出的拉氏变换为： 求 Y(s)的拉氏变换，可得典型二阶系统单位阶跃响应。由于特征根与系统阻尼比有关。当阻尼比为不同值时，单位阶跃响应有不同的形式，下面只对处于欠阻尼情况下的二阶系统进行分析（因为本次设计的软件主要实现欠阻尼的系 统
23、分析）。 当系统处于欠阻尼情况下，则 0 1，即系统的一对共轭复数根可写为 当输入信号为单位阶跃函数时，系统输出量的拉氏变换为： 式中： 对上式进行拉氏反变换，则欠阻尼二阶系统的单位阶跃 响应为： 由上式知欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组 成：第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。它是一个幅值按指数规律衰减的有阻尼的正弦振荡，振荡角频率为 d 系统的暂态性能指标（在单位阶跃输入信号和欠阻尼系统情况下）下面介 绍欠阻尼二阶系统暂态响应的性能指标和计算公式。 上升时间 rt； 根据定义，由欠阻尼系统的单位阶跃响应的公式可得 于是上升时间 rt可得，显然，增大 n rt，从而加快系统的初始响应速
24、度。 峰值时间 pt； 对欠阻尼系统的单位阶跃响应的公式求导可令其为零，可求的峰值时间 pt为： 按峰值时间的定义，它对应最大超调量，即 y(t)第一次出 现峰值所对应的时间 pt ，所以应取 远， pt 则越小 最大超调量 % 当 t=pt 时， y(t)有最大值 y(pt)，对于单位阶跃输入，系统的稳态值 y( )=1，将峰值时间的表达式欠阻尼系统 的单位阶跃响应的公式得最大输出为： 则超调量为： % 调节时间 st； 根据调节时间的定义，可由下式求出： 通过上式分析可知， st 近似与 n件下，通过改变 n （ 5）任意阶 系统的时域分析 任意阶系统主要是指高阶系统（高于二阶），由于对任意阶系统的时域分析比较困难，特别是求其性能指标，因此本设计的软件中只是实现了其在单位阶跃输入的作用下的响应曲线。 任意阶系统的传递函数可表示为： 对该传递函数进行分析可知，任意阶系统的响应是一阶惯 性环节和二阶振荡响应分量的合成。系统的响应不仅和 k nk有关。这些悉数的大小和闭环系统的所有极点和零点有关，所以单位阶跃响应取决于高阶系统闭环零极点的分布情况 5。 3 2 2 利用 matlab 进行系统的时域分析 在此模块中利用 Matlab来进行系统的时域分析时，可以直接利用 matlab 的命
