1、8立体几何（含解析）一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D16【2016，11】平面 过正方体 1BA的顶点 A， /平面 1DCB，I平面 CD m， 平面 n1，则 m,所成角的正弦值为A 23 B 2C 3 D 3【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是 8，则它的表面积是（ ）A 17B C 20D【2015，6】 九章算术是我国古代
2、内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 162 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 1620，则 （ ）A1 B2 C4 D8【2015 年，11 题】 【2014 年
3、，12 题】 【2013 年，6 题】【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）A 62 B 42 C6 D4【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 503cm3 B 86cm3 C 172cm3 D 20cm3【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A168 B88 C1616 D816【2013 年，8】 【2012 年
4、，7】 【2011 年，6】 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A6 B9 C12 D15【2012，11】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A 26 B 36 C 23 D 2【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）二、填空题【2011，15】已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4 的球 O的球面上，且 6,23ABC,则棱锥OABC的体积为 三、解答题【
5、2017，18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且 90PD（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC, 90APD,求二面角 A-PB-C 的余弦值【2016，18】 如图，在以 FEDCBA,为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， 90,2AFD，且二面角 F与二面角 都是 60（）证明：平面 平面 C；（）求二面角 的余弦值【2015，18】如图，四边形 ABCD为菱形， 120ABC，,EF是平面 同一侧的两点， E平面 ，D平面 ， 2F， （I）证明：平面 A平面 ；（II）求直线 E与直线 C所成角的余弦值【2014，19】如图三棱柱
6、1ABC中，侧面 1BC为菱形， 1ABC() 证明： 1；（）若 ， o160，AB=BC，求二面角 1的余弦值ABCDEF【2013，18】如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CA CB，ABAA 1，BAA 160(1)证明：ABA 1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值【2012，19】如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC=BC= 21AA1，D 是棱 AA1 的中点，DC 1BD（1）证明：DC 1BC；（2）求二面角 A1BDC 1 的大小【2011，18】如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 AB
7、CD 为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD 底面ABCD()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值DA1 B1CA BC1ABCDP7立体几何（解析版）一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D16（7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面， 246S梯 ， 21S全 梯 ，故选 B；【2016，11】平面 过正方体 A的顶点 A， /平
8、面 1DC，I平面 ABCD m， 平面 nB1，则 m,所成角的正弦值为A 23 B 2C 3 D 3【解析】如图所示： AA1BB1DCC1D1 CB 平 面 ，若设平面 平面 1ABDm，则 1又平面 平面 1，结合平面 1平面 1CBD 1Dm ，故 ， 同理可得： Cn故 、 n的所成角的大小与 1BD、 1所成角的大小相等，即 1的大小而 11BC（均为面对交线） ，因此 13B，即 3sin2B故选 A【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是 328，则它的表面积是（ ）A 17B 8C 20D【解析】：原立体图如图所
9、示：是一个球被切掉左上角的 18后的三视图表面积是 8的球面面积和三个扇形面积之和2271=4+3=78S， 故选 A【2015，6】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛解析： 284R，圆锥底面半径 16R，米堆体积130Vh，堆放的米约
10、有 2.V，选 B .【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为 1620，则 （ ）A1 B2 C4 D8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都 r，圆柱的高为 r，其表面积为22214541620r，解得 2r，故选 B. 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. 62 B. 4 C.6 D.4【解析】如图所示，原几何体为三棱锥 AB，其中 ,2,25，
11、246DA，故最长的棱的长度为 6，选 C【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 503cm3 B 86cm3 C 172cm3 D 204cm3解析：设球半径为 R，由题可知 R，R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA 为直角三角形，如图BC2，BA4 ，OB R2，OAR，由 R2(R2) 24 2，得 R5，所以球的体积为 350(cm3)，故选 A.【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A16
12、8 B88 C1616 D816答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径 r2，长为 4，在长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为 r24 1422816.故选 A.【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A6 B9 C12 D15【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥 A-BCD， 底面BCD 为底边为 6，高为 3 的等腰三角形，侧面 ABD底面 BCD，AO底面 BCD，因此此几何体的体积为 1(63)92V，故选择 B【2012，11】已知三棱锥 S ABC
13、 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A 6 B 36 C 23 D 2【解析】如图所示，根据球的性质，知 1平面 AB，则 C1OB DCA在直角 CO1中， 1， 3CO，所以 6)(22121 因此三棱锥 S ABC 的体积 6342ABCOV，故选择 A【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）解析：条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的故选 D二、填空题【2011，1
14、5】已知矩形 ABC的顶点都在半径为 4 的球 O的球面上，且 6,23ABC,则棱锥OABCD的体积为 解析：设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM= 21(3),OM= 224()，16238OABCDV.三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且 90BAPCD（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC, 90APD,求二面角 A-PB-C 的余弦值【解析】（1）证明： BC， B， PD，又 AD ， ，又 ， 、 平面 PA， 平面 P，又 平面 ，平面 平面 （2）取 中点 O， 中点 E，连接 O， E， A
15、C，SCOO1B A四边形 ABCD为平行四边形， OEAB，由（1）知， 平面 PA， 平面 PD，又 PO、 平面 ， ， ，又 ， ， 、 、 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，设 2PA， 02D， ， 、 20B， ， 、 2P， ， 、 20C， ， ， ， ，、 P， ，、 B， ，设 nxyz,为平面 BC的法向量，由0nC，得20xyz，令 1，则 2， 0x，可得平面 PB的一个法向量 1n,， 90APD， A，又知 平面 AD， P平面 AD， B，又 ， 平面 ，即是平面 B的一个法向量，02,，23cosnP,，由图知二面角 ABC为
16、钝角，所以它的余弦值为 3【2016，18】 如图，在以 FED,为顶点的五面体中，面EF为正方形， 902A，且二面角 D与二面角 都是 6（）证明：平面 B平面 C；（）求二面角 E的余弦值【解析】： AF为正方形， AFE， 90AFD， AFD， =EF 面 DC， 面 ， 平面 B平面 EC 由知 60， BE ， 平面 E， 平面 A 平面 ， AB平面 CD面 CI面 F D ， 四边形 E为等腰梯形以 为原点，如图建立坐标系，设 a，002Ba， ， ， ， 3020CAa， ， ， ， ，Eur， ， 2aur， ， Bur， ， 设面 BEC法向量为 mxyz， ， ， B
17、C0mEBCur，即 1120302ayxaz，11130xyz， ， ， 301mur， ，设面 A法向量为 nyr， ，=nBCAru.即 220aax222034xyz， ， 034r， ， 设二面角 EA的大小为 .219cos16mnur， 二面角 BC的余弦值为 219【2015，18】如图，四边形 ABCD为菱形， 120A，,EF是平面 同一侧的两点， E平面 BC，D平面 ， 2F， .（I）证明：平面 A平面 ；（II）求直线 E与直线 C所成角的余弦值.解：（）证明：连接 BD，设 AG，连接 E， F， .在菱形 中，不妨设 1，由 120ABC，可得 3AGC，由 E平面 C，可知 E.又 ，所以 3， 且.在 RtB中，可得 2,故 2DF.在tFDG中，可得 6.在直角梯形 BE中，由 2D， BE， 2DF，可得 32EF.因为 22F，所以 G，又 ACG，则 平面 AC.因为 G平面 AC，所以平面 平面 AE. 6 分（）如图，以 为坐标原点，分别以,B的方向为 x轴， y轴正方向， |GB为单
