1、管卫东轻松考数学：高考大题中的通解思维当前教学上喜欢讲究一题多解，因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧，但是搏众高考中心今天我们要反其道而行之，那就是一解多题。数学大题表面上是很难，但是通过多年的教学积累和经验总结，我们发现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致，能够形成通解，使我们在数学教学上大幅的简化，甚至不需要刻意的思考。我们借助一下历年高考真题，看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里，我们全部采用 0508 全国 I 卷的最后一题，发现是数列、函数或不等式题，没关系，题型不一样，看看是否能用固定的思维解法，解题步骤中存在什么样的共性： （05 全国卷）已知函数 .1,0274)
2、(xxf（）求 的单调区间和值域；)(f（）设 ，函数 。若对于任意 总存在1agxax(),3201， x10，使得 成立，求 a 的取值范围 。x0， 10f解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做，这个分数必须拿到。根据定义得出以下式子：解：（I）对函数 求导，得 到这步几乎大家都)(xf 22)(71)(7164) xxxf 会，题目问的是的单调区间和值域，很多人看到这个式子不敢往下分析，其实仍旧跟据定义： 令解得 然后做表分析即可。【思考：凭什么令 ？】0)(xf .271或 0)(f当 变化时， 的变化情况如下表：)(,xf所以，当 时， 是减函数；当 时， 是增函数.
3、)21,0(x)(xf )1,2(x)(xf当 时， 的值域为4，3.f第二问很多人看题目就晕菜了，其实这道题即使你不会分析，大胆的往下做，就能把题目做对，我们思考下，题目给的条件和我们要求的差距点是什么？这道题的差距点虽然较大，但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的，题目给的是 g(x),x1和 x0,并且给了范围，要我们求解 a 的范围，要想求 a 的值，就必须列出 a 的表达式，a 的表达式想要列出，就必须从 g（x）入手，题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间，因此我们不妨对函数 求导，)(x得 【思考：凭什么进行求导？目的是什么？】到了这一步，由于题目告诉
4、我们).(3)2xg，所以当 时，1a)1,0(x.0)1(3)2axg因此当 时， 为减函数，从而当 时有 这个就是我们1,x).0(,1)(gx所要的缺失条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导，因为题目给了我们取值区间，要想求出 a 值，只要判断这个函数的增减性就行了，这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性，就容易了，马上可列出 a 的表达式：又 即当 时有 有人说这个,2)0(,321)(gg1,0x .2,31)(axg不是表达式，还是个未知数，没关系，我们再用同样的思想去走，发现现在能利用的条件也异常清楚了（因为就这个没用上了）：任给 ， ，存在 使得 ，,01x,
5、4)(1xf ,0x)(10xf则 ,233a即 22解得 ； 351a或 .又 ，故 a 的取值范围为 231a评析：这道题式子复杂，05 年高考时候正确率非常之低，但是其中的解题过程并不复杂，思维方向也十分明确，只是考题将多个概念进行转换，条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合，但是总的思想是异常相似的，几乎全部的解答题都可以用一个思维来做，就是“条件差异弥补法”和“必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果，必须获得的前提是什么，多属于逆推，两者的道理是一样的。这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤：全部的思维步骤：1、 严格按照题目的要求，判断要我们
6、干什么2、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么3、 利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距4、 最终联系条件得出这个结论固定的解题步骤：1、 直接根据课本定义得出结论（某类题注意取值分析）2、 用求同存异的思想进行条件转换3、 函数用式子变形推出结果（引申：若是证明，数列用数学归纳法）我们来看下道题，是否能够套用以上结论：（06 全国卷）设数列 的前 项的和na，14233nS,A（）求首项 与通项 ；1n（）设 ， ，证明：2nTS1,3A132niT解析：题目直接要求我们求首项和通项，由于我们知道通项和 Sn 公式，就能直接根据定义来做。解: ()由 Sn= an 2n+1+
7、 , n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1 4+ 所以 a1=2.43 13 23 43 13 23再由有 Sn1 = an1 2n+ , n=2,3，4, 43 13 23将和相减得: an=SnS n 1= (ana n1 ) (2n+12 n),n=2,3, 做到这一步相信大家都会，那么43 13我们要求 an 公式，通过这个式子，我们发现差距点在 ana n1 ，同时可以 2n+12 n 也是相差一次，因此直接提出后，可以得出： an+2n=4(an1 +2n1 ),n=2,3, , 这个就是我们所弥补的缺失点。因而数列 an+2n是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列
8、,即 : an+2n=44n1 = 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2 n, n=1,2,3, , 做到这里，我们要问自己凭什么这么转化 ，我们所求的 an 和得到的结果(a n与 an1 )存在差异点，要想把这个差异点弥补，就把他们之间的关系列出，就能得出结论。第二问是数学证明，首先可以考虑数学归纳法证明，但是这题题设与我们得到的结论差距较少，直接求解较快，如果为求稳妥，建议用数学归纳法。看看直接求解的思路：题目让干嘛就干嘛，别多想，直接用定义。题目给的是 这个式子，那么必须求出 Sn。2nTS()将 an=4n2 n 代入得 Sn= (4n2 n) 2n+1 + = (2n+1
9、1)(2 n+12) 【请思考】43 13 23 13= (2n+1 1)(2n1) ，然后求出 Tn 和 （问题与题目的差距点，并想办法补上）23 1iTTn= = = ( )2nSn 32 2n(2n+1 1)(2n 1) 32 12n 1 12n+1 1所以, = ) = ( ) 1i32 1i12i 1 12i+1 1 32 121 1 12i+1 1 32评析：这题本身难度不高，但是第一步的难度较大，但是用上必要性思维和求差距思想，要想获得 an 通项，必须结合起来解答，全部的难点仅此而已。总体而言，全部的解题思维是惊人的趋于一致的。不信？看下道题：（07 全国卷）已知数列 中 ，
10、， na121()2nnaa13， ， ， （）求 的通项公式；na（）若数列 中 ， ， ，nb12134nb123， ， ， 证明： ， 432na ， ， ， （07 全国卷）解析：发现这题的做法思路完全和 06 年的一致，显然不能一步到位，还是先求出 an 与某个数的关系式，题目告诉我们 ，说明差距体现在 上，用这1(2)nnaa21个式子来决定我做题的方向：解（）由题设： 1(2)nnaa(21)(21)na， (2)1所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，n，即 的通项公式为 ， (1)nnaa2(1)nna123， ， ， 这道题难在第一步不知道如何去想，题目告诉我们的条件
11、似乎比较棘手，但是用这种“追求差异”并想法弥补的思维定式去做，很容易就将题目解答出来了。对于高考，方法越简单越实用越好，尤其是第二步给出了个看似复杂的式子，我们没有必要花费过多的精力推导，直接用数学归纳法即可（过程略）。评析：整体难度其实不大，但是看起来比较有难度。我们只要沿用这种求同存异的“补差”思想，还是非常容易做的，甚至连计算都不难。看到这里，大家应该能用这种思维去做其他题了吧，我们日常遇见的题型虽然各有差异，其实总的做题思维真的没有太多差距，并且在解题步骤上也十分类同。大家不妨用这种思维去看看 08的最后一题。（08 全国卷）设函数 数列 满足 ， ()lnfxxna101()nnaf
12、（）证明：函数 在区间 是增函数；01，（）证明： ；1na（）设 ，整数 证明： 1()b， 1lnabk 1kab简要解析：看看 08 高考题型结合函数了，依旧用同一个思想，第一步，依旧是题目让干嘛就干嘛，求函数增减性，直接用定义，要证明，数学归纳法。解：第一步（略），第二步证明，发现第一步函数的增减性可以直接利用，直接用数学归纳法。第三步较为复杂，没关系，这题表面是数列，其实考察的是不等式，无论是哪类题型，其根本点还是从条件中寻求差异，要我们证明 ，给的条件是设 ，整数 ，依旧是1kab1()ba， 1lnabk以“必要性思维”来思考，要想获得 这个结论，必须列出他们的表达，要想列出他们
13、的表1k达，必须利用有这两个字母的条件，我们发现题目有 和 ，然后就能()lnfxx1()naf轻松的得出结论：由 ， kkk abl()lnfxx1na到了这里，几乎全部出来了。11lnkiiaba1， 若存在某 满足 ，则由第二步可知：ik iab 1kiab 02， 若对任意 都有 bai，则 kkk abaln1ik bl1111lnkiiab11lnki11()lil1)(1ba0，即 成立.kab解析：这道题出的十分经典，即考察定义，又综合了多个知识点，同时式子看起来比较能够“吓唬”人，思维跳跃过程很大，但是计算本身并不复杂，这题失分率非常之高，第一步的过程就把很多学生难倒，这是不
14、应该的，其实无论多难的数学题，解题的根本方法是从题目本身入手，题目让干嘛就干嘛，要我们做什么就自然而然的做，而不是看到题就联系知识点套用，那样只能做简单的题，对付这类灵活多变的综合题，我们要在做题过程中形成这种相对固定的解题思路，达到用一招就能化解多题，做一题，会百题的效果。纵观近年数学考题，几乎都可以用这种思维拿下，当然这是站在数学的理解基础上，核心原则是以题做题，挖掘各类题型思维的共性，这样才能在数学考试上战无不胜，攻无不克。09 试题的题型虽然比较独特，但是看看能否用这种思维来作出这道题呢？我们看看：设函数在两个极值点 ，且32fxbcx12x、 110,2.x，（I）求 满足的约束条件
15、，并在下面的坐标平面内，画、出满足这些条件的点 的区域；,(II)证明： 2110fx解析：不管这道题的问法是什么，拿到题后还是先关注题目让我们干什么。题目意图是让我们画出关于 f（x）成立 bc 的条件范围，我们什么都不要想，直接顺着题意来：由题意知方程 有两个根236fxbxc0f12x、则有 故有10,且 ， 21,.1f， ， 0ff，这个不等式组全部转化为 c 的表达式，出来后就能通过坐标系画图，它们围起来的区域就是所得的区域。之所以要求导，是因为导数=0 时是极值点，这个就是直接根据定义得来的，符合我们说的通解思维。（具体图不画了）第(II)问很多考生就不会做了，因为有一定的区分度
16、，更主要原因是含字母较多，不易找到突破口。来看我们的思想原则：首先找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么，然后利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距，题目让我们干嘛就干嘛。本题让我们证明 ，既然是要求 x2，我们不妨想办法列出 f（x 2）的表达，从题目2110fx给的极值和 x2 的取值范围，我们不妨根据定义对 求导，得出32fxbc，有了这个式子，我们看看还有什么条件没用上？转化一步，写360fbc成 ，那么直接消去 b 得， 为什么要消去 b 呢？因为cxb21232221cfxx由第一步大家画的区域可以知道 b，c 的取值范围，我们只有将 转为 b 或 c 的表达式，才f能得
17、出结果，这是由题目条件的差异来决定的，当考生拿到题的时候，第一时间要朝着“能利用”的方向转化，要想证明 这个式子，必须列出表达式，表达式列出后，存在两个字母，2xf要想能够得出结论，当然要消去一个字母，这就是通解中求差异的必要性思维。其实无论消去b 或者消去 c，都能根据第一步的结论得出证明结果，只是消去 b 省事一些而已。又 ，且 ，所以有 ，又有 21,x,0cxfc231342 0c0()f最后管卫东总结一下，以后碰上数学大题，千万不要慌乱，直接照着题目意思来，坚信自己能够做下去并且做对。因为高考很难遇到熟悉的题型，所以大家在训练的时候一定把握住上面说的特点：1、题目让干嘛就干嘛；2、找出问题和条件的差距点；3、但凡卡住的时候找“前提”或“后补”。这里只是借用数学高考试题，题型可以说几乎都不一样，但总体的思路却有其相似之处。纵观题海，其实理科大多数学科都能够总结出这类通解方法。当然，作为一个考生，我们没有必要去花费太多时间和精力去刻意整理，但是这种道理应当要有所意识。希望大家在复习过程尤其是做题，最好多花一点时间多看题，多总结，多思考；少盲目做题，少抓瞎训练。这样才能够提高效率，在考试中任何大题都成为自己夺分的筹码。
