1、排列与组合(一)排列学习目标（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。例题分析例 1、用 0 到 9 这十个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：没有重复数字；数字“0”不能排在千位数上；个位数字只能是 0、2、4、6、
2、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数，个位数是2、4、6、8 的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）由此解法一与二如果从千位数入手四位偶数可分为：千位数是 1、3、5、7、9 和千位数是2、4、6、8 两类，由此得解法三如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四解法 1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选 3个来排列，故有 个当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有（
3、个）没有重复数字的四位偶数有 个解法 2：当个位数上排“0”时，同解一有 个；当个位数上排 2、4、6、8 中之一时，千位，百位，十位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：个没有重复数字的四位偶数有个解法 3：千位数上从 1、3、5、7、9 中任选一个，个位数上从 0、2、4、6、8 中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 个干位上从 2、4、6、8 中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括 0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 个没有重复数字的四位偶数有 个解法 4：将没有重复数字的四位数字划分为两类
4、：四位奇数和四位偶数没有重复数字的四位数有 个其中四位奇数有没有重复数字的四位偶数有个说明；这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用例 2、三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 种不同排法对于其中的每一种排
5、法，三个女生之间又都有 对种不同的排法，因此共有 种不同的排法（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有 4 个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 种方法，因此共有 种不同的排法（3） 解法 1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，
6、所以共有 种不同的排法 解法 2：（间接法）3 个女生和 5 个男生排成一排共有 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法解法 3：（元素分析法）从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余 5 个位置又都有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法，（4）解法 1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制
7、了，这样可有 种不同的排法；如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生，有 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余 6 位都有 种不同的排法，这样可有 种不同排法因此共有种不同的排法解法 2：3 个女生和 5 个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 种不同的排法说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件若以元素为主，需先满足特殊
8、元素要求再处理其它的元素间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用例 3、排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子，从中选 4 个放入舞蹈节目，共有 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有： 43200.（2）先排舞蹈节目有 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位，恰好供 5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列
9、的排法有： 2880 种方法。说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有 ，再排舞蹈节目有 ，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。例 4、某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法分析与解法 1：6 六门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有 种排法，如图中；数学排在最后一节有 种排法，如图中；但这两种排法，都
10、包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是：（种）分析与解法 2：根据要求，课程表安排可分为 4 种情况：（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 种；（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法 种；（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 种；（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法 这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有： （种）分析与解法 3： 根据要求，课表安排还可分下述 4 种情况：（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有 种排法；（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有 4 种排法；（3
11、）体育在最后一书，数学木在第一节有 4 种排法；（4）数学在第一节，体育在最后一节有 1 种排法上述 21 种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种 ，故总排法数为（种）下面再提出一个问题，请予解答问题：有 6 个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法请读者完成此题说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法检测题16 人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_种不同的排法25 名男生和 4 名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有_种不同的排法3a,b,c,d 排成一行，其中 a 不排第一，b 不排第二，
12、c 不排第三，d 不排第四的不同排法有_种40，1，2，3，4，5 这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第 71 个数是 5下列各式中与排列数 相等的是（ ）A BC D6 ，且 ，则 等于（ ）A B C D7若 ，则 的个位数字是（ ）A8 B5 C3 D087 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（ ）A720 种 B360 种 C1440 种 D120 种9求和 .105 名男生、2 名女生站成一排照像：（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？（
13、4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？参考答案:1504 217280 39 43140 5D 6.D 7C 8C 9 ， .10（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；（种）；（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；（种）； （3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列；（种）；（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；（种）；（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两
14、个位置女生排法是既定的；（种）；（6）采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的 个，再去掉女生乙在右端的 个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的 种排除了两次，要找回来一次（种）（二）组合学习目标（1）正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；（2）掌握组合数的计算公式、组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题；（3）通过对排列、组合综合问题的求解与剖析，培养按事件发生的过程进行熟练地分类与分步，培养严谨科学的思维习惯培养严谨的学习态度（4）通过对比排列学习组合知识，掌握类比的学习方法，提高分析问题和解决问题的能力，并培养用对立统一规律和辩证
15、唯物主义思想解决实际问题例题分析第一阶梯例 1、计算：（1） ； （2） 分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中， ，经此变形后，可继续使用组合数性质第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形 ，求和；另一方面，变形 ，接着 ， ，反复使用公式解：（1）原式 （2）原式 另一方法是：原式说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论：左边 右边例 2、从 7 名男生 5 名女生中，选出 5 人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？（1）A、B 必须当选；（2）A、B 都不当选；（3）A、B 不全当选；（4）至少有 2 名女生当选；（5）选出 5 名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等 5 种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任分析：本题是组合应用题中典型的选代表问题，通过一些明确的条件对结果进行限制问题（1）A、B 必须当选，它们就不必再考虑，只要再选出余下的代表问题（2）A、B 必须不
