1、 2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1) = .exd2ln(2)已知函数 由方程 确定,则 = .()y0162xye()y(3)微分方程 满足初始条件 的特解是 .022xx(4)已知实二次型 经正交变换323112321321 44)(),( xaxf 可化成标准型 ,则 = .xPy6y(5)设随机变量 服从正态分布 ,且二次方程 无实根的概X2(,)0N02Xy率为 ,则 .12二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求
2、,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数 的下面 4 条性质:),(yxf 在点 处连续; 在点 处的两个偏导数连续;,yxf0 ),(yxf),(0 在点 处可微; 在点 处的两个偏导数存在)(),(若用“ ”表示可由性质 推出性质 ,则有PQPQ(A) . (B) .(C) . (D) .(2)设 ,且 ,则级数0(1,23)nuLlim1nu11()nnu(A) 发散. (B) 绝对收敛.(C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数 在 内有界且可导,则()yfx0)(A) 当 时,必有 .limx 0)(lixfx(B) 当 存在时,必有 .)(
3、fm(C) 当 时,必有 .0lix0li()xf(D) 当 存在时,必有 .()f(4)设有三张不同平面的方程 , ,它们所组成的线性方程组的系123iiiiaxyzb321数矩阵与增广矩阵的秩都为,则这三张平面可能的位置关系为(5)设 和 是任意两个相互独立的连续型随机变量 ,它们的概率密度分别为 和 ,1X2 1()fx2f分布函数分别为 和 ,则()Fx(A) 必为某一随机变量的概率密度.1f2f(B) 必为某一随机变量的概率密度 .x()(C) 必为某一随机变量的分布函数.1F2(D) 必为某一随机变量的分布函数.x()三、(本题满分 6 分)设函数 在 的某邻域内具有一阶连续导数
4、,且 ,若xf0(0),()0ff在 时是比 高阶的无穷小,试确定 的值.()2)(0afhbffhba,四、(本题满分 7 分)已知两曲线 与 在点 处的切线相同,写出此切线方程,并求极限(xfyxtdearctn02(0).)2(limnf五、(本题满分 7 分)计算二重积分 ,其中 .dxyeD,max2 10,|),(yxyD六、(本题满分 8 分)设函数 在 内具有一阶连续导数 , 是上半平面( 0)内的有向分段光滑曲线,xf(,Ly其起点为( ),终点为( ).记badc221()()1,LxIyfdyfdy(1)证明曲线积分 与路径 无关;(2)当 时,求 的值.cdabI七、(
5、本题满分 7 分)(1)验证函数 满足微分方程33369(1()!()!nxxy xL;xey(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.30()!nx八、(本题满分 7 分)设有一小山,取它的底面所在的平面为 坐标面,其底部所占的区域为xOy 2(,)|Dxy,小山的高度函数为 .25yx)(hxy275(1)设 为区域 上一点,问 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大 ?),0yxMD),(yxh若记此方向导数的最大值为 ,试写出 的表达式.)(0xg0g(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在 的边界线 上找出使(1)中 达到最大
6、值的点.试确定攀登275y),(yxg起点的位置.九、(本题满分 6 分)已知四阶方阵 , 均为 维列向量,其中 线性无关,),(4321A4321, 432,如果 ,求线性方程组 的通解.321Ax十、(本题满分 8 分)设 为同阶方阵,AB(1)若 相似,证明 的特征多项式相等.,AB(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分 7 分)设维随机变量 的概率密度为X10,cos,()2xf 其 他 .对 独立地重复观察次,用 表示观察值大于 的次数,求 的数学期望.XY32Y十二、(本题满分 7 分)设总体 的概率
7、分布为0 1 2 3P2)(1其中 是未知参数,利用总体 的如下样本值1(0)2X3,3求 的矩估计值和最大似然估计值.2002 年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 原式 2ln1.leedx(2)【分析】 方程两边对 两次求导得60,yxy212.e以 代入原方程得 ,以 代入得 ,再以 代入得0xyxy0y0xy()2.y(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令 (以 为自变量),则yPy .dyPdxy代入方程得 ,即 (或 ,但其不满足初始条件 ).20d0dy012xy分离变量得 ,Py积分得 即 ( 对应 );ln,C1Py01C由 时 得 于是0x1,2yP.
8、C积分得 .,ydx22yxC又由 得 所求特解为01xy2, 1.(4)【分析】 因为二次型 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵TxA的特征值,所以 是 的特征值.A6,0又因 ,故iia60,2.aa(5)【分析】 设事件 表示“二次方程 无实根”,则A42Xy1640AX依题意,有. 1().2PX而 44(),即 1(),(),0.4.二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关()fxy系.我们知道, 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若 可微则必连续,故选(A).()fxy )fxy(2)【分析】 由 充分大时即
9、 时 ,且 不妨认为1lim0nu,Nn10nu1lim0,nu因而所考虑级数是交错级数,但不能保证 的单调性.,0nun按定义考察部分和 1111()()()nnnk kkk kkSuuu1111()(),k nnnlkl原级数收敛.再考察取绝对值后的级数 .注意11()nnu112,nnuu发散 发散.因此选(C).1n11()nn(3)【分析】 证明(B)对:反证法.假设 ,则由拉格朗日中值定理,lim()0xfa2() )fxf(当 时 , ,因为 );但这与 矛盾x2x(2(2)(2fxffxfM).fM(4)【分析】 因为 ,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯()2
10、3rA一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是 ()3.rA(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行 ,故 和()2rA,且 中任两个平行向量都线性无关.3r类似地,(D)中有两个平面平行,故 , ,且 中有两个平行向量共线.()2rA()3A(5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因1212()()()1,.fxdfxdfxdF对于选项(B),若 则对任何12,0,()()0f f其 他 ， 其 他 ， (,), 因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D ).120fx121fxd进一步分析可知,若令 ,而 则 的分布函数 恰是2
11、maX),12,iiXfxX(Fx12().Fx1212()ax(,),FPxPx().XF三、 【解】 用洛必达法则.由题设条件知由于 ,故必有0lim()2)(01)(0.hafbfhfabf()0f10.ab又由洛必达法则 0 02li limh hfbh()(0,af及 ,则有 .(0)f2ab综上,得 1四、 【解】 由已知条件得 (0),f22arctnarctn000() 1,xxtxefed故所求切线方程为 .由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得yx02()()lim()lilim2(0).nnxffff f五、 【分析与求解】 是正方形区域如图.因在 上被积函数分块表示D
12、D22,max,(,),xyy于是要用分块积分法,用 将 分成两块:1212,.DyxDyxUIII1 2max,ma,yyeded( 关于 对称)2 2121xyxDDDyx(选择积分顺序)0xde 22100.xxede六、 【分析与求解】 (1)易知 原函数,PQdy221()()()xPdxQydxfyxf ydxfxyd0()()().xyfdft在 上 原函数,即 .0yPdxQy0(,)()xyuftd积分 在 与路径无关 .I(2)因找到了原函数,立即可得 (,).cdabIuxy七、 【证明】 与书上解答略有不同,参见数三 2002 第七题(1)因为幂级数3693()1!nx
13、xyL的收敛域是 ,因而可在 上逐项求导数,得(),25831()!()!nxxyL,4732()!()!n所以 .21!nxxy eL()(2)与 相应的齐次微分方程为 ,xe0y其特征方程为 ,特征根为 .2101,23i因此齐次微分方程的通解为 .212(cossin)xYeCxx设非齐次微分方程的特解为 ,将 代入方程 可得yAyxye,即有 .13Axe于是,方程通解为 .212331(cossin)xyYCe当 时,有0x1 122(), ,0.330.Cy于是幂级数 的和函数为30()!n2()cosxxee()八、 【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数 在点 处沿该点的梯度方向),(yxhM00(,)(,)00,2,xyxyhhgrad方向导数取最大值即 的模,0(),xy 22000,)()().gyxy
