1、高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解1第一章 函数、极限、连续第 1 节 函数基本内容学习一 基本概念和性质1 函数的定义设有两个变量 和 ，变量 的变域为 ，如果对于 中的每一个 值，xyxDx按照一定的法则，变量 有一个确定的值与之对应，则称变量 为变量 的函y数，记作： 。 yf2 函数概念的两要素定义域：自变量 的变化范围对应关系：给定 值,求 值的方法。x xy3 函数的三种表示方法显式：形如 的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的yfx形式。隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如，如椭圆函数 。(,)0Fxy21xyab参数式：形如平抛运动的轨迹方
2、程 称作参数式。参数式将两个2xvtyg变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。4 函数的四个基本性质奇偶性：设函数 在对称区间 上有定义，如果对于 恒有fxXxX高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解2()fx(或) ，则称 为偶函数(或 奇函数)。注：偶函数 图形()fxfxfxfx关于 轴对称，奇函数 的图形关于坐标原点对称。yf有界性：设函数 在区间 上有定义,如果 ,使得对一切 ,恒fxX0MxX有： ,则称 在区间 上有界；若不存在这样的 ，则称 在fxMf f区间 上无界.注：函数 有无界是相对于某个区间而言的。Xfx周期性：设函数 在区间 上有定义,
3、若存在一个与 无关的正数 ，fXxT使对任一 ，恒有 则称 是以 为周期的周期函数，把满xfxTffxT足上式的最小正数 称为函数 的周期。f单调性：设函数 在区间 上有定义，如果对 ,恒有：fxX1212,xXx(或 )则称 在区间 上是单调增加 (或单调减少)的；12fxf12fffx如果对于 ,恒有： (或 )则称 在区间1212,xXx12ff12fxffx上是严格单调增加(或严格单调减少)的。X5 其它函数定义复合函数：设函数 的定义域为 ，而函数 的定义域是yfufDux值域为 ，若 ，则称函数 为 的复合函数，它的定义DZfDZyx域是 。这里 表示空集。x()fx且反函数：设函
4、数 的值域为 ，如果对于 中任一 值，从关系yxfZfZy式 中可确定唯一的一个 值，则称变量 为变量 的函数，记为：yfx x，其中 称为函数 的反函数，习惯上 的反函数记为：yyfxyfx高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解3。1yfx6 初等函数常值函数 ( 为常数)，CxR幂函数 ，定义域由 确定，但不论 如何，在 内总yx(0,)有定义。指数函数 ( 且 ) xya01xR对数函数 ( 且 ) logxa(0,)三角函数 如 ； ； ,sin,ycosyxtanyx； 等(),2xkkZt,(,1)kkZ反三角函数 ； ； , ； , .arcsin,yx1,arcos,yx
5、1,arctnyxRarcotyxR以上六类函数称基本初等函数。由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。7 分段函数一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。常见的分段函数：符号函数 10,sgn.xy当当当取整函数 表示不超过 的最大整数； ,当 ，其中 为xxxn1xnn整数。狄利克莱(Dirichlet) 函数 10yfx当 为 有 理 数 时 ,当 为 无 理 数 时 .绝对值函数 ,x高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解4基本题型训练一 典型例题1 判断函数的等价
6、性例 1.1 下列各题中，函数 与 是否相同？为什么？()fxg(1) (2) 2()lg,l;fx2(),();fxgx(3) ；(4) ；343()121sectan解：(1)不相同，因为 的定义域是 ，而 的定义域是2lgx(,0)(,2lgx。(0,)(2)不相同，因为两者对应法则不同，当 时， 。x()(3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。(4)不相同，因为两者定义域不同。2 求函数的定义域例 1.2 设 的定义域为 则 的定义域为多少？(1)fx0,()a(fx解：函数 的定义域是指 的变化范围，即x。故对函数 而言， 的变化范围为 ，01,1xatt令 则 ()ft1,a由
7、函数表达式的“变量无关性” ，知： 的定义域为 。1,a常见错误： 。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认1,为 ，由此得到 。0xa1xa3 判断函数奇偶性例 1.4 下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？(1) (2) 2sin,xye 2log(1)ayx(0,1)a解：(1)因为 为奇函数， 为偶函数，所以 为奇函数。sinx2x2sinxye(2) ,221()log(1)loglog(1)(aaaf xf高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解5故 为奇函数()fx4 判断函数的周期性例 1.5 下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。(1)
8、 (2) cos(2)yx1sinyx解 (1) 是周期函数，周期为 ；2(2) 是周期函数，周期是 21sinyx5 判断函数单调性例 1.6 设 在 上有定义，且对任意 ， 有()fx,)x(,)y证明 在 上单调增加。()fxy(Fxf(,)证明：设 所以 ，1212,)x212121(fxfxx而 所以 所以21()(ffffx)()f12Fx即 在 上单调增加。(),)6 求反函数例 1.7 求函数 的反函数1xy解：令 ，则 。所以 ， 即 ，所以tt1yt1yx，2214()yyx所以反函数 即为所求。2()x7 复合函数求法高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解6例 1.
9、8 设 则 等于多少？1,0(),2xf2,0()xg()fgx解：当 时， ，所以当 时有 ；0xgf1当 时， 所以 时有 ，故2()0xx2()gx。21,()fgx注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是分析法，下面分别介绍这三种方法。(1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。(2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一
10、般最先想到。(3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下：先画出中间变量函数 的图形；ux把 的分界点在 平面上画出(这是若干条平行于 轴的直线)；yfuo x写出 在不同区间段上 所对应的变化区间；x将所得结果代入 中，便得 的表达式及相应 的yfuyfx变化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。二 能力拓展例 1 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必要“N条件是 N”，则必有(A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数。(B)F(x)是奇函数 f(x)是偶函
11、数。(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数。(D)F(x)是单调函数 f(x)是单调函数。 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解7A解法一：任一原函数可表示为 ，且 当 F(x)xCdtfF0)()( ).(xfF为偶函数时，有 ，于是 ，即 ，也即)(xF)(1()xx )(ff，)fxf可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 为偶函数，xdtf0)(从而 为偶函数，可见选(A)。xCdtfF0)()(解法二：令 f(x)=1，则取 F(x)=x+1，排除(B)、(C)； 令 f(x)=x， 则取 F(x)= ， 排除 (D)；故应选 (A)。21x例 2
12、设 则 等于 。1,()0xf()fx(A) 0 (B)1 (C) (D) 1,0x0,1x解：由 1 得， 1，故应选(B)()fx()fx高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解8函数理论框架图第 2 节 极限与连续性基本内容学习一 基本概念1 极限的概念定义 2.1 一个正整数 ,当 时，恒有 lim0,nxaNn高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解9。若 存在极限，称 收敛，否则称 发散。nxanxnxnx定义 2.2 一个整数 ，当 时，有lim()0,xfaX()fxa定义 2.3 正数 ，当 时，有0li ,xf 0xf2 数列、函数极限的基本性质与相关定理定理 2.
13、1(极限的不等式性质)设 ， 若 ，则 ，当 时， ；若 时，limnxalinybaNnnxyN，则 。nxyb定理 2.2(极限的唯一性) 设 ， 则 。limnxlinxba定理 2.3(收敛数列的有界性)设 收敛，则 有界（即） 。0,12,nMx常 数定理 2.4(极限的不等式性质) 设 ， 若 则 0，0li()xfA0lim()xgBA当 时 ；若 ( )，则 。0x()fxg()fg推论(极限的保号性) 若 ,则存在一个 ，当0li,0xf或 0时， (或 )。00,xxff定理 2.5(极限的唯一性) 设 ， 则 。0limxfA0li(xfBA定理 2.6(夹逼准则) 设在
14、 的领域内，恒有 ，且0 xfx，则 。00limlixxA0lixf定理 2.7(单调有界准则) 单调有界数列 必有极限。nx3 函数连续性定义定义 2.1 设函数 在 的某领域内有定义，给 在 处以增量 ，相应fx0 x0x地得到函数增量 。若极限 ，则称 在 处连yffx0limxyf0高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解10续。定义 2.2 设函数 满足条件：(1) 在 的某领域内有定义；(2)fxfx0存在；(3) 则称 在 处连续。0limxf00limxf定义 2.3 若 在 内任一点均连续，则称 在 内连续。f,abfx,ab定义 2.4 若 在 内连续，在 处右连续(
15、 即 )，在fx,xalimxaff处左连续( 即 )，则称 在 内连续。xblimxbfff,b4 间断点及分类间断点定义 若 在 处出现以下三种情形之一：fx0(1) 在 处无定义；(2) 不存在；(3) 。则称 为fx0 0limxf00limxffx0x的间断点。f间断点 的分类：第类间断点 均存在。其中若0x00,fxf， 称为可去间断点。若 , 称为跳跃0fff0x0fxf0x间断点。第类间断点： 至少有一个不存在。若 之中有一00,fxf 00,fxf个为 ，则 称为无穷间断点。0x5 闭区间上连续函数的性质(1)(连续函数的有界性)设函数 在 上连续，则 在 上有界，fx,abfx,ab即 常数 ，对任意的 ，恒有 。0M,xabfM(2) (最值定理) 设函数 在 上连续，则在 上 至少取得最大值f, ,abfx与最小值各一次，即 使得：,max,bffabmin,axbffab
