1、第三章 微分中值定理与导数的应用习题课 (一 )微分中值定理 一、微分中值定理 1罗尔定理2拉格朗日中值定理3柯西中值定理在 上连续 , 在 内可导 , 且 ,在 上连续 , 在 内可导 , 则至少存在一 使在 上连续 , 在 内可导 , ，则至少存在一 使则至少存在一 使三、三个定理之间的内在联系 拉格朗日中值定理罗尔定理 柯西中值定理 二、判别 的方法 若 ， 则四、典型例题 定理的三个条件。【 例 1】 若方程 有一个正根 ,证明方程 必有一个小于 的正根 . 分析 如果令 ，无法判定, 所以不能利用零点定理 , 考虑利用罗尔定理证明。的左端函数 , 其次 在题设的相应区间上满足罗尔首先
2、构造一个函数 使 ，其中 是欲证方程 证明 : 设由罗尔定理，存在 使即这说明 就是方程的一个小于 的正根 .上连续且可导，由题设 易知多项式函数 在【 例 2】 证明方程 至少有一个正根，其中 是任意常数。零点定理 , 考虑利用罗尔定理证明。因此构造函数分析 如果令 ，由于在范围内 , 不能找到区间 ，使得 , 所以不能利用由于要 证 明方程至少存在根，所以，要在 的范围内找到一个 闭 区 间 ，使得 。通过观察 的系数，不难发现 所以 选 取，因此，对 应 用 罗 尔 定理即可 证 明。 证 明 ：令取区间显然 在 连续，在 内可导，且 即应 用 罗 尔 定理知，存在 ，使得构造函数因此，
3、方程 至少有一个正根。【 例 3】 设 在 上连续 , 在 内可导 , 且 .证明存在一点 使罗尔定理的条件，且从 中能得出 .由于结论是两项和，故 为两个函数乘积的形式。将 分析 从 结论 看 等价于方程有 实 根，但若利用零点定理，无法 验证 ，所以采用罗尔定理证明。 关键是找 , 使 在 上满足换为 若令 则结论为证明 : 令且 , 故由罗尔定理知 ,使 即由已知条件知 在 上连续 , 在 内可导，【 例 4】 设 证明： 分析 将所证不等式变形为 , 可见 ,此题类型为利用拉格朗日中值定理证明不等式。只要对 在 上应用拉格朗日中值定理即可 .证明 : 对函数 在 上应用拉格朗日中值定理 ,即故或得显然有
